Resumão Completo

Autovalores e Autovetores

O que são Autovetores e Autovalores?

Bom, vamos começar a aprender sobre um tipo especial de vetores (autovetores). Essa é a parte preferida do curso pra maioria das pessoas (pra mim também haha), então animação e vamos em frente!

Vamos pegar a matriz abaixo:

A = 2 0 0 1

Repare que:

2 0 0 1 1 0 = 2 0 = 2 1 0

Viu que quando aplicamos a nossa matriz A no vetor 1,0 resultou no mesmo vetor só que multiplicado por 2 ?? Vamos chamar esse número de λ = 2

Agora vamos aplicar a matriz no vetor ( 0,1 ) .

2 0 0 1 0 1 = 0 1 = 1 0 1

E esse agora é o mesmo vetor só que multiplicado por 1 (meio óbvio, né?). Nesse caso, λ = 1 .

Quando isso acontece, dizemos que ( 1,0 ) é um autovetor associado ao autovalor λ = 2 e então ( 0,1 ) é um autovetor associado ao autovalor λ = 1 .

Ta, aprendemos os nomes, mas o que isso significa na real? Bom, os autovetores são as direções preservadas por uma matriz!! Lembre-se que quando multiplicamos um escalar por um vetor, nós preservamos a direção do vetor. Já o autovalor é simplesmente o nome que damos para esse escalar que está alterando a norma do vetor.

Entendeu? A definição formal é essa aqui embaixo. Mas não é nada mais nada menos do que a generalização do que acabamos de ver no exemplo.

Só tem uma coisinha diferente dos exemplos. Faltou falar que definimos autovetor como um vetor não nulo, então o vetor nulo nunca poderá ser autovetor mesmo satisfazendo a condição A b = λ b !!

Antes de seguirmos em frente vamos ver algumas observações importantes sobre autovalores e autovetores:

  • Só faz sentido falarmos de autovetores e autovalores em matrizes quadradas!
  • Autovalores e autovetores sempre estão juntos! Não existe um autovalor que não esteja associado a um autovetor e vice-versa.
  • Cada autovetor só pode estar associado a um único autovalor. O que se você pensar bem faz completo sentido, já que uma transformação não pode retornar duas vezes um vetor e três vezes ele ao mesmo tempo né.
  • λ pode ser zero, mas v não! Isso decorre da observação acima. Se v = ( 0,0 ) fosse um autovetor ele estaria associado a infinitos autovalores!
  • Por outro lado, nada impede que um autovalor esteja associado a mais de um autovetor! Quando isso acontece, dizemos que o autovalor tem multiplicidade n , onde n é a dimensão dos autoespaços aos quais o autovalor está associado.
  • Autovetores associados a autovalores diferentes sempre serão L I !
  • Se te pedirem para provar que um vetor é um autovetor, não basta provar somente que A b = λ b ! É necessário provar que b 0 também! Não se esqueça disso!
  • Até agora, somente usamos vetores pertencentes ao R n como autovetores! Mas se por acaso matrizes e polinômios satisfizerem as condições dadas, eles também serão autovetores!

Autoespaços

Agora repara uma coisa só. Vamos pegar o vetor ( 2,0 ) e aplicar naquela nossa matriz. Assim:

2 0 0 1 2 0 = 4 0 = 2 2 0

Caramba! O vetor ( 2,0 ) também é um autovetor associado ao autovalor λ = 2 ! É, mas como já tínhamos visto antes, ( 2,0 ) e ( 1,0 ) são múltiplos. E repare, também, que se a gente pegar quaisquer outros múltiplos de ( 1,0 ) , eles “sempre sairão dobrados”, ou seja, serão autovetores associados ao autovalor λ = 2 .

Então vamos ter infinitos autovetores?? Sim! Sempre!! VOCÊ NUNCA IRÁ ACHAR APENAS UM ÚNICO AUTOVETOR! VOCÊ SEMPRE TERÁ UM ESPAÇO GERADO DE AUTOVETORES!!

Então os autovetores associados ao autovalor λ = 2 são s p a n 1,0 . E para λ = 1 a mesma coisa! Os seus autovetores são s p a n 0,1 .

Observe que o vetor nulo está contido no autoespaço de qualquer autovalor, mesmo que os autovetores de λ não possam ser nulos, por definição. O vetor nulo satisfaz a definição de autoespaço, mas o vetor nulo não satisfaz a definição de autovetor.

Logo, podemos concluir que o autoespaço de um autovalor de λ é diferente do conjunto de autovetores de λ , já que um tem o vetor nulo e o outro não ;)

Obs.: A soma da dimensão dos autoespaços de uma matriz será sempre menor ou igual à dimensão do seu domínio (ou contradomínio, ela é quadrada né :p)! Quando a soma da dimensão dos autoespaços da matriz for igual à dimensão do seu domínio, dizemos que temos uma base de autovetores.

Autovalor zero

Agora, vamos pegar outra matriz, por exemplo:

A = 1 - 1 0 1 - 1 0 2 - 2 0

Vamos achar o seu núcleo. Para isso, resolvemos o sistema aumentado:

1 - 1 0 1 - 1 0 2 - 2 0 0 0 0 e s c a l o n a n d o 1 - 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Portanto temos:

x - y = 0 x = y

Assim, nosso núcleo será:

y , y , z = y 1,1 , 0 + z 0,0 , 1

N u c A = s p a n 1,1 , 0 , 0,0 , 1

Pera mas o núcleo não são os caras do domínio que satisfazem A b = 0 ? Então podemos interpretar como A b = 0 b = 0 . E assim, os vetores do núcleo SÃO SEMPRE OS AUTOVETORES ASSOCIADOS AO AUTOVALOR λ = 0 .

Então, se λ é nulo, os autovetores associados a λ = 0 são exatamente os elementos do N u c A .

Daí, chegamos à conclusão de que se A possui um autovalor zero ( λ = 0 ) , então N u c A 0 . E, portanto, A não é injetiva.

Basicamente o último fato acima nos diz que, se tem um autovalor zero, então tem que ter gente no núcleo associado a esse autovalor, ou seja, os autovetores.

Se liga num bizu que pode te ajudar muito na prova:

Como Achar os Autovalores e Autovetores?

Beleza, já sabemos tudo o que tem pra saber sobre autovalores e autovetores menos . . . como calcular!

É bem simples na verdade, basta calcular as raízes do polinômio característico!

Do o que?! Calma, olha ele aí em baixo:

p λ = d e t ( A - λ I )

onde I é a matriz identidade e A é a sua matriz.

Então, para encontrar os autovalores basta fazer p λ = 0 . Vamos usar a nossa primeira matriz como exemplo.

2 0 0 1 - λ 1 0 0 1 = 2 - λ 0 0 1 - λ

det 2 - λ 0 0 1 - λ = 0

2 - λ 1 - λ = 0

Logo, λ = 2 e λ = 1 , igualzinho ao que já sabíamos!!

Existe uma outra dica para calcular autovalores. Genericamente para matrizes n × n , temos:

det A = λ 1 λ n

t r A = λ 1 + + λ n

sendo A , a matriz e t r o traço de A .

Usando essa dica, não dá pra calcular nada, pois temos n variáveis e duas equações. Mas para matrizes 2 × 2 , temos:

det A = λ 1 λ 2

t r A = λ 1 + λ 2

Agora com isso, podemos calcular os autovalores, com apenas essa equação.

E para achar os autovetores?

Basta fazer:

A b = λ b

o u

A - λ I b = 0

Vamos usar a primeira para λ = 2 :

2 0 0 1 x y = 2 x y

2 x y = 2 x 2 y

2 x = 2 x x = x y = 2 y y = 0

Assim, nossos autovetores são x , 0 = x ( 1,0 ) . Que é a mesma coisa que s p a n 1,0 . Era de se esperar que desse infinitos valores né?

Agora vamos usar o último método para λ = 1 :

2 - λ 0 0 1 - λ x y = 2 - 1 0 0 1 - 1 x y

1 0 0 0 x y = 0

Resolvendo o sistema achamos que x = 0 , e, portanto, nossos autovetores são 0 , y = y 0,1 , o que também era esperado.

Então, relembrando o processo:

  • Determinamos os zeros de d e t ( A   -   λ I )   =   0 para achar os autovalores.
  • Substituímos os autovalores na equação ( T     λ I ) b   =   0 para determinar os autovetores b .

Multiplicidade

Ali em cima eu falei que se um autovalor tem multiplicidade n , ele está associado a um autoespaço de dimensão n . Só que existem dois tipos de multiplicidade! A algébrica e a geométrica.

Imagine que temos a seguinte equação como polinômio característico de uma matriz:

p λ = λ - 2 2 λ + 3

Nesse caso temos o autovalor - 3 e o autovalor 2 certo? Mas repare no quadrado ali em cima! Isso quer dizer que o autovalor 2 é raiz do polinômio duas vezes, então ele tem multiplicidade algébrica igual a 2 .

Já a multiplicidade geométrica está relacionada à dimensão do autoespaço ao qual o autovalor está associado! Tá, mas essas duas coisas se relacionam de alguma forma? Sim! A seguinte relação sempre será válida:

1 m u l t i p l i c i d a d e   g e o m é t r i c a m u l t i p l i c i d a d e   a l g é b r i c a

O que isso quer dizer? Bom, todo autovalor está associado a algum autovetor. Então a multiplicidade geométrica (a dimensão do autoespaço associado ao autovalor) tem que ser pelo menos 1 . E ela sempre será menor ou igual à multiplicidade algébrica (número de vezes que o autovalor é raiz do polinômio característico).

Bizu

Você deve ter percebido que autovalores e autovetores têm MUITAS propriedades que vão se relacionando com todos os conceitos que já vimos no curso.

Como esse tipo de coisa é muito cobrado em prova, se você conseguir memorizar já vai te adiantar muito, já que não vai precisar ficar pensando ou deduzindo na hora.

Sendo assim, aqui vão uns bizus que são muito úteis na prova. Não espero que decore todos logo de cara, mas sempre que quiser dar uma olhada vão estar aqui. Alguns eu já até comentei, mas vale por aqui de novo. Aí vai:

  • O determinante de uma matriz A é o produto dos seus autovalores.
  • O traço de uma matriz A é a soma de seus autovalores.
  • Os autovalores de A - 1 são iguais ao inverso dos autovalores de A . Os autovetores são os mesmos.
  • Os autovalores de A são iguais aos autovalores de A T .
  • Os autovalores de uma matriz triangular são os elementos da diagonal.
  • Se trocarmos as linhas e colunas correspondentes de uma matriz de lugar os autovalores permanecem os mesmos. (por exemplo, se trocarmos a linha 1 com a linha 2 , temos que trocar a coluna 1 com a coluna 2 !)

Fim de papo, vamos fazer alguns exercícios!!

Expandir

Autovalores e Autovetores de uma T.L.

Já sabemos como calcular os autovetores e autovalores de uma matriz. Mas lembra que toda matriz pode ser representada por uma T L ? Então, como calcular os autovalores e autovetores de uma T L ?

Bom, é mais simples do que você imagina. Quando associamos um autovalor ou autovetor a uma matriz, estamos nos referindo a matriz que representa uma transformação T indo da base canônica para a canônica.

Primeiramente, podemos reescrever aquela definição que demos de autovetor e autovalor usando transformação no lugar de matriz. No fundo, é a mesma coisa que vimos com matrizes. Se você aplica uma transformação em algum vetor e ela “cospe” um múltiplo do vetor, então esse vetor é um autovetor. E o valor que foi multiplicado por ele é um autovalor. Se liga:

Bom, vamos usar a T L abaixo como exemplo.

T x , y = ( 2 x , y )

Para encontrarmos seus autovalores primeiramente basta calcular as raízes do polinômio característico. Lembra dele? Esse aqui oh:

  p λ = det T - λ I

Só que agora temos T , que é a matriz que representa a transformação na base canônica. Assim sendo:

p λ = det T ε - λ I d ε = det T ε - λ I

p λ = det T ε - λ I d ε

OBS: Lembre-se que I é a matriz identidade e I d a transformação identidade.

Então, para encontrar os autovalores basta fazer p λ = 0 .

Vamos testar para a nossa T x , y = ( 2 x , y ) .

T ε = 2 0 0 1

2 0 0 1 - λ 1 0 0 1 = 2 - λ 0 0 1 - λ

det 2 - λ 0 0 1 - λ = 0

2 - λ 1 - λ = 0

Logo, λ = 2 e λ = 1 !!

E para achar os autovetores?

Como já vimos, podemos usar a forma matricial fazendo:

A u = λ u

o u

A - λ I u = 0

Ou então podemos usar agora a T L . Basta fazer:

T u = λ u

Vamos usar essa para λ = 2 :

T x , y = λ x , y

2 x , y = 2 x , y

2 x , y = 2 x , 2 y

0 , - y = 0 y = 0

Assim, nossos autovetores são x , 0 = x ( 1,0 ) . Que é a mesma coisa que s p a n 1,0 . Era de se esperar que desse infinitos valores, já que temos um autoespaço né?

Agora vamos um método de matrizes para λ = 1 :

2 - λ 0 0 1 - λ x y = 2 - 1 0 0 1 - 1 x y

1 0 0 0 x y = 0

Resolvendo o sistema achamos que x = 0 , e portanto, nossos autovetores são 0 , y = y ( 0,1 ) .

Repare que a fórmula usada acima foi basicamente:

T ε - λ I d ε u ε = 0

Caso você não tenha a matriz na base canônica, é só usar a mesma fórmula acima só que para outra base qualquer:

T β - λ I d β u β = 0

Tanto o polinômio característico, quanto os autovalores da T L serão os mesmos. A única coisa que vai mudar é que você não vai encontrar o autovetor direto, e sim as coordenadas do autovetor na base β . Preste bastante atenção nisso ;)

Expandir

Projeção e Reflexão

Já vimos o que são autovalores e autovetores e como calcular eles. Aí você se pergunta:

Pô, tudo bem, eu ponho um vetor e sai um múltiplo dele, e aí? Pra que isso serve?

E aí que você pode entender o significado de uma matriz só olhando pros autovalores e autovetores dela! Olha essa matriz aqui, por exemplo:

- 1 0 0 1

Calculando os autovetores e autovalores dela chegamos ao vetor ( 1,0 ) associado ao autovalor λ   =   - 1 e ao autovetor ( 0,1 ) associado ao autovalor λ   =   1 (calcula aí!). Tá, mas o que isso quer dizer? Quer dizer que essa matriz é uma reflexão em torno do eixo y !!

Mas da onde você tirou isso cara???

Veja bem, o que essa matriz faz é pegar as coordenadas x de um vetor e multiplicar por - 1 enquanto mantém as coordenadas y inalteradas!

Então, se aplicarmos ela ao vetor ( 3,2 ) esperamos ter como retorno o vetor ( - 3,2 ) . Saca só:

- 1 0 0 1 3 2 = 3 - 1 + 2 0 3 0 + 2 1 = - 3 2

E é isso o que acontece! Se ainda não conseguiu visualizar, olha as imagens aqui em baixo! A matriz é aplicada nos vetores azuis e leva nos vetores laranja.

Agora olha essa:

1 2 1 2 1 2 1 2

Essa matriz possui o autovetor ( 1,1 ) associado ao autovalor 1 e o autovetor ( - 1,1 ) associado ao autovalor 0 (calcula aí!). Então o que você acha que ela faz?

Se você disse que ela é uma projeção sobre a reta x = y você está completamente correto!!

Essa matriz mantém inalterada a componente de um vetor que está sobre a reta x = y e zera a componente sobre x = - y (ortogonal a x = y ). Olha as imagens ai em baixo! Novamente, a matriz é aplicada no vetor azul e leva no laranja.

Demais né?! Agora se te perguntarem pra que uma matriz serve você já sabe como descobrir!

Autovetores e Autovalores da Projeção e da Reflexão

Acabamos de ver alguns exemplos de matrizes projeção e reflexão e vimos seus autovalores e autovetores. Agora vamos dar uma generalizada. Imagine uma base β formada pela base de um conjunto H com a base de H (espaço perpendicular à H ).

Se essa matriz representar a transformação de projeção, os vetores da base de H serão autovetores associados ao autovalor 0 ou 1 . Já os vetores da base de H serão autovetores associados ao autovalor 1 ou 0 .

Ou seja, quando um for 0 o outro é 1 e vice versa. Com o conhecimento que já temos, fica claro que isso não é coincidência. Se a projeção leva os vetores de um espaço no 0 ela manterá os vetores do espaço ortogonal inalterados (autovalor 1 )!!

O espaço associado ao autovalor 1 será sempre o espaço aonde se está projetando!

Por outro lado, se essa matriz representar a transformação de reflexão, os vetores da base de H serão autovetores associados ao autovalor - 1 ou 1 . Já os vetores da base de H serão autovetores associados ao autovalor 1 ou - 1 .

Ou seja, quando um for - 1 o outro é 1 e vice versa. Se pensarmos novamente no motivo disso veremos que se a reflexão leva os vetores de um espaço no inverso deles (autovalor - 1 ), ela manterá os vetores do espaço ortogonal inalterados (autovalor 1 )!!

O espaço associado ao autovalor 1 será sempre o espaço em torno do qual se está refletindo!

Podemos resumir isso na tabela abaixo:

Um macete interessante é que podemos saber a dimensão do espaço sobre o qual a matriz reflete ou projeta apenas pelo traço dela! Sabemos que o traço é a soma dos autovalores, e sabemos que a projeção tem apenas autovalores 1 e 0 , e a reflexão tem apenas autovalores - 1 e 1 .

Imagine que você tem uma matriz de projeção 5 × 5 com traço 3 . Os autovalores tem que ser 1 ,   1 ,   1 ,   0   e   0 ! Logo, você está projetando num espaço de dimensão 3 !

E se tivermos uma matriz reflexão 4 × 4 com traço - 2 . Os autovalores tem que ser - 1 ,   - 1 ,   - 1   e   1 ! Então estaremos refletindo por uma reta!

Se você for curioso(a), você estará se perguntando agora quais são os autovalores de uma matriz rotação. Afinal as três principais transformações geométricas que vimos foram a projeção, a reflexão e a rotação, certo?

Bom, em geral as matrizes de rotação possuem autovalores complexos. No R 3 ela normalmente terá o autovalor 1 (a reta em torno da qual estamos rodando) e um par de autovalores complexos (sim, autovalores complexos sempre vêm em pares). Já no R 2 em geral ela terá um par de autovalores complexos.

Obs.: Se a matriz possui apenas autovalores complexos isso significa que ela não preserva nenhuma direção e, portanto, não possui autovetores!

O único caso em que elas não terão autovalores complexos é quando forem uma rotação de 180 ° ou de 360 ° . Nesses casos elas assumirão o papel respectivamente de uma matriz reflexão e da matriz identidade ;)

Expandir

Subespaços Invariantes

Você lembra o que é uma transformação linear? É uma função só que com as condições da linearidade, e aí da pra fazer um monte de coisas com vetores, e outros espaços vetoriais.

Bom, vou fazer uma pergunta meio aleatória agora.

Sendo T : U U , existe algum subespaço V U que satisfaça T V = V ??

O quer dizer T ( V ) ??? Bom, acho que fica meio implícito e já deve ter aparecido em algumas questões ou livros, mas, se não, vamos explicar agora.

Por exemplo, se V = s p a n v 1 , v 2 , ou seja, V é gerado por v 1 e v 2 . O nosso T ( V ) seria: s p a n T v 1 ,   T v 2 . Sacou? Então, é só aplicar T em cada um dos geradores do espaço em questão.

Agora que já entendemos a pergunta, vamos pensar em algum exemplo.

Vamos primeiro pensar em uma transformação.

T x , y = ( 2 x , y )

Vamos pegar essa aí. Agora falta definir nosso espaço V . Vamos tentar para V = s p a n 1,0 . Aplicando a condição:

T V = s p a n T 1,0

T V = s p a n 2,0

Ihhh caramba deu diferente, então não é igual né?

Lembre-se da definição de s p a n ! Podemos ver que os vetores ( 1,0 ) e ( 2,0 ) são múltiplos, e, portanto geram a mesma reta. Assim concluímos que s p a n 1,0 = s p a n 2,0 .

Logo, podemos afirmar que:

T V = V

Chamamos os espaços que satisfazem essa condição de subespaços invariantes. Vamos formalizar.

Agora vamos ver como essa coisa que acabamos de aprender se relaciona com autovalores e autovetores!

Na verdade quando falamos de subespaços invariantes, estamos falando de autoespaços!!

Repare só! Se pegarmos o autoespaço:

V λ = 2 = s p a n 1,0

T V λ = 2 = s p a n T 1,0 = s p a n 2,0 = s p a n 1,0

Fato: Autoespaços são subespaços invariantes.

Expandir

Diagonalização

Mágica da Álgebra Linear

Neste capitulo vamos falar de diagonalização. Acho que a primeira coisa que você se perguntou foi: tem alguma coisa a ver com matriz diagonal? Bom, na verdade tem sim!

Vamos falar exatamente das matrizes diagonais só que vamos misturar com autovetores e autovalores também.

Então presta muita atenção nessa parte! Primeiro de tudo, o que são matrizes diagonalizáveis? Vou até enquadrar pra você de tão importante que é isso! Haha

Reorganizando essa equação, podemos escrever a igualdade como A = P D P - 1 . Essa é a chamada decomposição espectral de uma matriz. É bom você gravar esse nome porque de vez em quando ele aparece em questões. Quando pedirem a decomposição espectral é só escrever a matriz na forma P D P - 1

Ta, mas como eu faço isso? Vamos ver o exemplo abaixo pra ficar mais claro:

Vamos pegar uma T , tal que T x , y = x + y ,   x + y

Assim se formos representar a matriz de T na base canônica, teremos:

T ε = A = 1 1 1 1

Agora, vamos ver se existe essa matriz D :

A = P D P - 1

Deve existir alguma matriz P que satisfaça essa condição. Então queremos achar uma P que torne D diagonal fazendo aquela multiplicação lá em cima. Um possível jeito é fazer:

P = 1 1 1 - 1

E para achar a D , basta usarmos a equação lá do quadro haha.

D = P - 1 A P

Fazendo a multiplicação descobrimos que:

D = 1 1 1 - 1 - 1 1 1 1 1 1 1 1 - 1

D = 1 2 1 2 1 2 - 1 2 1 1 1 1 1 1 1 - 1

D = 1 1 0 0 1 1 1 - 1

D = 2 0 0 0

Pô, não vale, você chutou um valor para a matriz P . É..., é verdade hahaha.

Mas se liga no que eu vou falar agora. Vamos calcular os autovetores e os autovalores de A .