Resumão Completo

Autovalores e Autovetores

O que são Autovetores e Autovalores?

Bom, vamos começar a aprender sobre um tipo especial de vetores (autovetores). Essa é a parte preferida do curso pra maioria das pessoas (pra mim também haha), então animação e vamos em frente!

Vamos pegar a matriz abaixo:

A = 2 0 0 1

Repare que:

2 0 0 1 1 0 = 2 0 = 2 1 0

Viu que quando aplicamos a nossa matriz A no vetor 1,0 resultou no mesmo vetor só que multiplicado por 2 ?? Vamos chamar esse número de λ = 2

Agora vamos aplicar a matriz no vetor ( 0,1 ) .

2 0 0 1 0 1 = 0 1 = 1 0 1

E esse agora é o mesmo vetor só que multiplicado por 1 (meio óbvio, né?). Nesse caso, λ = 1 .

Quando isso acontece, dizemos que ( 1,0 ) é um autovetor associado ao autovalor λ = 2 e então ( 0,1 ) é um autovetor associado ao autovalor λ = 1 .

Ta, aprendemos os nomes, mas o que isso significa na real? Bom, os autovetores são as direções preservadas por uma matriz!! Lembre-se que quando multiplicamos um escalar por um vetor, nós preservamos a direção do vetor. Já o autovalor é simplesmente o nome que damos para esse escalar que está alterando a norma do vetor.

Entendeu? A definição formal é essa aqui embaixo. Mas não é nada mais nada menos do que a generalização do que acabamos de ver no exemplo.

Só tem uma coisinha diferente dos exemplos. Faltou falar que definimos autovetor como um vetor não nulo, então o vetor nulo nunca poderá ser autovetor mesmo satisfazendo a condição A b = λ b !!

Antes de seguirmos em frente vamos ver algumas observações importantes sobre autovalores e autovetores:

  • Só faz sentido falarmos de autovetores e autovalores em matrizes quadradas!
  • Autovalores e autovetores sempre estão juntos! Não existe um autovalor que não esteja associado a um autovetor e vice-versa.
  • Cada autovetor só pode estar associado a um único autovalor. O que se você pensar bem faz completo sentido, já que uma transformação não pode retornar duas vezes um vetor e três vezes ele ao mesmo tempo né.
  • λ pode ser zero, mas v não! Isso decorre da observação acima. Se v = ( 0,0 ) fosse um autovetor ele estaria associado a infinitos autovalores!
  • Por outro lado, nada impede que um autovalor esteja associado a mais de um autovetor! Quando isso acontece, dizemos que o autovalor tem multiplicidade n , onde n é a dimensão dos autoespaços aos quais o autovalor está associado.
  • Autovetores associados a autovalores diferentes sempre serão L I !
  • Se te pedirem para provar que um vetor é um autovetor, não basta provar somente que A b = λ b ! É necessário provar que b 0 também! Não se esqueça disso!
  • Até agora, somente usamos vetores pertencentes ao R n como autovetores! Mas se por acaso matrizes e polinômios satisfizerem as condições dadas, eles também serão autovetores!

Autoespaços

Agora repara uma coisa só. Vamos pegar o vetor ( 2,0 ) e aplicar naquela nossa matriz. Assim:

2 0 0 1 2 0 = 4 0 = 2 2 0

Caramba! O vetor ( 2,0 ) também é um autovetor associado ao autovalor λ = 2 ! É, mas como já tínhamos visto antes, ( 2,0 ) e ( 1,0 ) são múltiplos. E repare, também, que se a gente pegar quaisquer outros múltiplos de ( 1,0 ) , eles “sempre sairão dobrados”, ou seja, serão autovetores associados ao autovalor λ = 2 .

Então vamos ter infinitos autovetores?? Sim! Sempre!! VOCÊ NUNCA IRÁ ACHAR APENAS UM ÚNICO AUTOVETOR! VOCÊ SEMPRE TERÁ UM ESPAÇO GERADO DE AUTOVETORES!!

Então os autovetores associados ao autovalor λ = 2 são s p a n 1,0 . E para λ = 1 a mesma coisa! Os seus autovetores são s p a n 0,1 .

Observe que o vetor nulo está contido no autoespaço de qualquer autovalor, mesmo que os autovetores de λ não possam ser nulos, por definição. O vetor nulo satisfaz a definição de autoespaço, mas o vetor nulo não satisfaz a definição de autovetor.

Logo, podemos concluir que o autoespaço de um autovalor de λ é diferente do conjunto de autovetores de λ , já que um tem o vetor nulo e o outro não ;)

Obs.: A soma da dimensão dos autoespaços de uma matriz será sempre menor ou igual à dimensão do seu domínio (ou contradomínio, ela é quadrada né :p)! Quando a soma da dimensão dos autoespaços da matriz for igual à dimensão do seu domínio, dizemos que temos uma base de autovetores.

Autovalor zero

Agora, vamos pegar outra matriz, por exemplo:

A = 1 - 1 0 1 - 1 0 2 - 2 0

Vamos achar o seu núcleo. Para isso, resolvemos o sistema aumentado:

1 - 1 0 1 - 1 0 2 - 2 0 0 0 0 e s c a l o n a n d o 1 - 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Portanto temos:

x - y = 0 x = y

Assim, nosso núcleo será:

y , y , z = y 1,1 , 0 + z 0,0 , 1

N u c A = s p a n 1,1 , 0 , 0,0 , 1

Pera mas o núcleo não são os caras do domínio que satisfazem A b = 0 ? Então podemos interpretar como A b = 0 b = 0 . E assim, os vetores do núcleo SÃO SEMPRE OS AUTOVETORES ASSOCIADOS AO AUTOVALOR λ = 0 .

Então, se λ é nulo, os autovetores associados a λ = 0 são exatamente os elementos do N u c A .

Daí, chegamos à conclusão de que se A possui um autovalor zero ( λ = 0 ) , então N u c A 0 . E, portanto, A não é injetiva.

Basicamente o último fato acima nos diz que, se tem um autovalor zero, então tem que ter gente no núcleo associado a esse autovalor, ou seja, os autovetores.

Se liga num bizu que pode te ajudar muito na prova:

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Autovalores e Autovetores de uma T.L.

Já sabemos como calcular os autovetores e autovalores de uma matriz. Mas lembra que toda matriz pode ser representada por uma T L ? Então, como calcular os autovalores e autovetores de uma T L ?

Bom, é mais simples do que você imagina. Quando associamos um autovalor ou autovetor a uma matriz, estamos nos referindo a matriz que representa uma transformação T indo da base canônica para a canônica.

Primeiramente, podemos reescrever aquela definição que demos de autovetor e autovalor usando transformação no lugar de matriz. No fundo, é a mesma coisa que vimos com matrizes. Se você aplica uma transformação em algum vetor e ela “cospe” um múltiplo do vetor, então esse vetor é um autovetor. E o valor que foi multiplicado por ele é um autovalor. Se liga:

Bom, vamos usar a T L abaixo como exemplo.

T x , y = ( 2 x , y )

Para encontrarmos seus autovalores primeiramente basta calcular as raízes do polinômio característico. Lembra dele? Esse aqui oh:

  p λ = det T - λ I

Só que agora temos T , que é a matriz que representa a transformação na base canônica. Assim sendo:

p λ = det T ε - λ I d ε = det T ε - λ I

p λ = det T ε - λ I d ε

OBS: Lembre-se que I é a matriz identidade e I d a transformação identidade.

Então, para encontrar os autovalores basta fazer p λ = 0 .

Vamos testar para a nossa T x , y = ( 2 x , y ) .

T ε = 2 0 0 1

2 0 0 1 - λ 1 0 0 1 = 2 - λ 0 0 1 - λ

det 2 - λ 0 0 1 - λ = 0

2 - λ 1 - λ = 0

Logo, λ = 2 e λ = 1 !!

E para achar os autovetores?

Como já vimos, podemos usar a forma matricial fazendo:

A u = λ u

o u

A - λ I u = 0

Ou então podemos usar agora a T L . Basta fazer:

T u = λ u

Vamos usar essa para λ = 2 :

T x , y = λ x , y

2 x , y = 2 x , y

2 x , y = 2 x , 2 y

0 , - y = 0 y = 0

Assim, nossos autovetores são x , 0 = x ( 1,0 ) . Que é a mesma coisa que s p a n 1,0 . Era de se esperar que desse infinitos valores, já que temos um autoespaço né?

Agora vamos um método de matrizes para λ = 1 :

2 - λ 0 0 1 - λ x y = 2 - 1 0 0 1 - 1 x y

1 0 0 0 x y = 0

Resolvendo o sistema achamos que x = 0 , e portanto, nossos autovetores são 0 , y = y ( 0,1 ) .

Repare que a fórmula usada acima foi basicamente:

T ε - λ I d ε u ε = 0

Caso você não tenha a matriz na base canônica, é só usar a mesma fórmula acima só que para outra base qualquer:

T β - λ I d β u β = 0

Tanto o polinômio característico, quanto os autovalores da T L serão os mesmos. A única coisa que vai mudar é que você não vai encontrar o autovetor direto, e sim as coordenadas do autovetor na base β . Preste bastante atenção nisso ;)

Proposições com Autovalores e Autovetores

Bom galera não tem nada novo nesse capítulo. Vamos apenas nos limitar a usar as propriedades de autovalores e autovetores para provar coisas. Vamos ver um exemplo que é o melhor jeito de entendermos.

Sejam u e v autovetores, definimos w = α u + β v com w 0 ,   α ,   β R . Temos que u e v estão associados ao mesmo autovalor λ . Prove que w é autovetor associado a λ .

Taí o problema que temos que resolver. Vamos dar uma traduzida no que ele quer? Ele quer que a gente prove que, se tivermos dois autovetores associados ao mesmo autovalor λ , qualquer vetor gerado pela C L desses dois autovetores também será um autovetor associado à λ .

Vamos começar a usar as propriedades que conhecemos. Sabemos que u e v são autovetores de uma matriz, ou de uma T L . Vamos chamar essa T L de T . Logo, pelo enunciado, temos:

T u = λ u

T v = λ v

Então queremos que:

T α u + β v = λ α u + β v

Pela linearidade, temos:

α T u + β T v = λ α u + β v

α λ u + β λ v = λ α u + β v

λ α u + β v = λ α u + β v

Opa, os dois lados da igualdade batem, então está provado ;)

Basicamente é isso aí que você vai fazer. Vamos dar uma praticada nos exercícios!

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Projeção e Reflexão

Já vimos o que são autovalores e autovetores e como calcular eles. Aí você se pergunta:

Pô, tudo bem, eu ponho um vetor e sai um múltiplo dele, e aí? Pra que isso serve?

E aí que você pode entender o significado de uma matriz só olhando pros autovalores e autovetores dela! Olha essa matriz aqui, por exemplo:

- 1 0 0 1

Calculando os autovetores e autovalores dela chegamos ao vetor ( 1,0 ) associado ao autovalor λ   =   - 1 e ao autovetor ( 0,1 ) associado ao autovalor λ   =   1 (calcula aí!). Tá, mas o que isso quer dizer? Quer dizer que essa matriz é uma reflexão em torno do eixo y !!

Mas da onde você tirou isso cara???

Veja bem, o que essa matriz faz é pegar as coordenadas x de um vetor e multiplicar por - 1 enquanto mantém as coordenadas y inalteradas!

Então, se aplicarmos ela ao vetor ( 3,2 ) esperamos ter como retorno o vetor ( - 3,2 ) . Saca só:

- 1 0 0 1 3 2 = 3 - 1 + 2 0 3 0 + 2 1 = - 3 2

E é isso o que acontece! Se ainda não conseguiu visualizar, olha as imagens aqui em baixo! A matriz é aplicada nos vetores azuis e leva nos vetores laranja.

Agora olha essa:

1 2 1 2 1 2 1 2

Essa matriz possui o autovetor ( 1,1 ) associado ao autovalor 1 e o autovetor ( - 1,1 ) associado ao autovalor 0 (calcula aí!). Então o que você acha que ela faz?

Se você disse que ela é uma projeção sobre a reta x = y você está completamente correto!!

Essa matriz mantém inalterada a componente de um vetor que está sobre a reta x = y e zera a componente sobre x = - y (ortogonal a x = y ). Olha as imagens ai em baixo! Novamente, a matriz é aplicada no vetor azul e leva no laranja.

Demais né?! Agora se te perguntarem pra que uma matriz serve você já sabe como descobrir!

Autovetores e Autovalores da Projeção e da Reflexão

Acabamos de ver alguns exemplos de matrizes projeção e reflexão e vimos seus autovalores e autovetores. Agora vamos dar uma generalizada. Imagine uma base β formada pela base de um conjunto H com a base de H (espaço perpendicular à H ).

Se essa matriz representar a transformação de projeção, os vetores da base de H serão autovetores associados ao autovalor 0 ou 1 . Já os vetores da base de H serão autovetores associados ao autovalor 1 ou 0 .

Ou seja, quando um for 0 o outro é 1 e vice versa. Com o conhecimento que já temos, fica claro que isso não é coincidência. Se a projeção leva os vetores de um espaço no 0 ela manterá os vetores do espaço ortogonal inalterados (autovalor 1 )!!

O espaço associado ao autovalor 1 será sempre o espaço aonde se está projetando!

Por outro lado, se essa matriz representar a transformação de reflexão, os vetores da base de H serão autovetores associados ao autovalor - 1 ou 1 . Já os vetores da base de H serão autovetores associados ao autovalor 1 ou - 1 .

Ou seja, quando um for - 1 o outro é 1 e vice versa. Se pensarmos novamente no motivo disso veremos que se a reflexão leva os vetores de um espaço no inverso deles (autovalor - 1 ), ela manterá os vetores do espaço ortogonal inalterados (autovalor 1 )!!

O espaço associado ao autovalor 1 será sempre o espaço em torno do qual se está refletindo!

Podemos resumir isso na tabela abaixo:

Um macete interessante é que podemos saber a dimensão do espaço sobre o qual a matriz reflete ou projeta apenas pelo traço dela! Sabemos que o traço é a soma dos autovalores, e sabemos que a projeção tem apenas autovalores 1 e 0 , e a reflexão tem apenas autovalores - 1 e 1 .

Imagine que você tem uma matriz de projeção 5 × 5 com traço 3 . Os autovalores tem que ser 1 ,   1 ,   1 ,   0   e   0 ! Logo, você está projetando num espaço de dimensão 3 !

E se tivermos uma matriz reflexão 4 × 4 com traço - 2 . Os autovalores tem que ser - 1 ,   - 1 ,   - 1   e   1 ! Então estaremos refletindo por uma reta!

Se você for curioso(a), você estará se perguntando agora quais são os autovalores de uma matriz rotação. Afinal as três principais transformações geométricas que vimos foram a projeção, a reflexão e a rotação, certo?

Bom, em geral as matrizes de rotação possuem autovalores complexos. No R 3 ela normalmente terá o autovalor 1 (a reta em torno da qual estamos rodando) e um par de autovalores complexos (sim, autovalores complexos sempre vêm em pares). Já no R 2 em geral ela terá um par de autovalores complexos.

Obs.: Se a matriz possui apenas autovalores complexos isso significa que ela não preserva nenhuma direção e, portanto, não possui autovetores!

O único caso em que elas não terão autovalores complexos é quando forem uma rotação de 180 ° ou de 360 ° . Nesses casos elas assumirão o papel respectivamente de uma matriz reflexão e da matriz identidade ;)

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Subespaços Invariantes

Você lembra o que é uma transformação linear? É uma função só que com as condições da linearidade, e aí da pra fazer um monte de coisas com vetores, e outros espaços vetoriais.

Bom, vou fazer uma pergunta meio aleatória agora.

Sendo T : U U , existe algum subespaço V U que satisfaça T V = V ?? Ou seja, que o espaço gerado pelos vetores depois de terem passado pela transformação linear seja o mesmo de antes

O que é o subespaço T ( V ) ??? Bom, acho que fica meio implícito e já deve ter aparecido em algumas questões ou livros, mas, se não, vamos explicar agora.

Por exemplo, se V = s p a n 1,0 , ( 2,1 ) , ou seja, V é gerado por   ( 1,0 ) e ( 2,1 ) . O nosso T ( V ) seria: s p a n T 1,0 , T ( 2,1 ) . Sacou? Então, é só aplicar T em cada um dos geradores do espaço em questão.

Agora que já entendemos a pergunta, vamos pensar em algum exemplo de transformação.

T x , y = ( 2 x , 2 y )

T V = s p a n T 1,0 , T ( 2,1 )

T V = s p a n 2,0 , ( 4,2 )

Ihhh caramba deu diferente, então não é igual né?

Lembre-se da definição de s p a n ! Podemos ver que o conjunto de vetores { 1,0 , ( 4,2 ) } é múltiplo de { 2,0 , ( 4,2 ) } e, portanto, geram o mesmo espaço (plano). Assim concluímos que s p a n 1,0 , ( 2,1 ) = s p a n 2,0 , ( 4,2 ) .

Logo, podemos afirmar que:

T V = V

Chamamos os espaços que satisfazem essa condição de subespaços invariantes. Vamos formalizar.

Agora vamos ver como essa coisa que acabamos de aprender se relaciona com autovalores e autovetores!

Na verdade quando falamos de subespaços invariantes, estamos falando de autoespaços! Lembra que os autovetores são aqueles que depois de aplicados na transformação, viram múltiplos dos vetores iniciais? Foi exatamente isso que aconteceu no nosso subespaço invariante.

Repare só! Se pegarmos o autoespaço:

V λ = 2 = s p a n 1,0 , ( 2,1 )

T V λ = 2 = s p a n T 1,0 , T ( 2,1 ) = s p a n 2,0 , ( 4,2 ) = s p a n 1,0 , ( 2,1 )

Fato: Autoespaços são subespaços invariantes.

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Diagonalização

Mágica da Álgebra Linear

Neste capitulo vamos falar de diagonalização. Acho que a primeira coisa que você se perguntou foi: tem alguma coisa a ver com matriz diagonal? Bom, na verdade tem sim!

Vamos falar exatamente das matrizes diagonais só que vamos misturar com autovetores e autovalores também.

Então presta muita atenção nessa parte! Primeiro de tudo, o que são matrizes diagonalizáveis? Vou até enquadrar pra você de tão importante que é isso! Haha

Reorganizando essa equação, podemos escrever a igualdade como A = P D P - 1 . Essa é a chamada decomposição espectral de uma matriz. É bom você gravar esse nome porque de vez em quando ele aparece em questões. Quando pedirem a decomposição espectral é só escrever a matriz na forma P D P - 1

Ta, mas como eu faço isso? Vamos ver o exemplo abaixo pra ficar mais claro:

Vamos pegar uma T , tal que T x , y = x + y ,   x + y

Assim se formos representar a matriz de T na base canônica, teremos:

T ε = A = 1 1 1 1

Agora, vamos ver se existe essa matriz D :

A = P D P - 1

Deve existir alguma matriz P que satisfaça essa condição. Então queremos achar uma P que torne D diagonal fazendo aquela multiplicação lá em cima. Um possível jeito é fazer:

P = 1 1 1 - 1

E para achar a D , basta usarmos a equação lá do quadro haha.

D = P - 1 A P

Fazendo a multiplicação descobrimos que:

D = 1 1 1 - 1 - 1 1 1 1 1 1 1 1 - 1

D = 1 2 1 2 1 2 - 1 2 1 1 1 1 1 1 1 - 1

D = 1 1 0 0 1 1 1 - 1

D = 2 0 0 0

Pô, não vale, você chutou um valor para a matriz P . É..., é verdade hahaha.

Mas se liga no que eu vou falar agora. Vamos calcular os autovetores e os autovalores de A .

Mas o que isso tem a ver cara?

Confia em mim haha, agora que entra a mágica.

det ( A - λ I ) = 0

1 - λ 1 1 1 - λ = 0

1 - λ 2 - 1 = 0

λ 2 - 2 λ + 1 - 1 = 0

λ 2 - 2 λ = 0

λ = 0   o u   λ = 2

Para achar os autovetores de λ = 0 (lembre-se que está tudo na base canônica):

1 1 1 1 x y = 0

x + y = 0 y = - x

V λ = 0 = s p a n { 1 , - 1 }

Para achar os autovetores de λ = 2 :

- 1 1 1 - 1 x y = 0

- x + y = 0 x = y

V λ = 2 = s p a n { 1,1 }

Tá, agora vem a mágica. Repara que os autovalores SÃO EXATAMENTE OS ELEMENTOS DA NOSSA MATRIZ DIAGONAL D !! E QUE OS AUTOVETORES DERAM EXATAMENTE OS VETORES COLUNA DA NOSSA MATRIZ P !!

Bom, isso não é coincidência!! Ao diagonalizarmos uma matriz (ou fazermos a decomposição espectral dela), a matriz diagonal D SEMPRE será a matriz dos autovalores. E a matriz P , SEMPRE será a matriz dos autovetores em coluna. Lembrando que a ordem que os autovetores aparecem em P deve respeitar a ordem que os autovalores associados aparecem em D !

O truque por trás da Mágica

Sei que todos estão morrendo de vontade de saber o truque por trás dessa mágica então vou revelar pra vocês (ou não tão nem aí pra saber, mas vou dizer assim mesmo).

Podemos reescrever aquela nossa equação assim oh:

A = P D P - 1

T ε = I d ε γ T γ I d ε γ - 1

Sendo γ = 1,1 , 1 , - 1 uma base cujos elementos são os autovetores de T .

Então, a nossa I d ε γ vai ficar:

I d 1,1 = 1,1

I d 1 , - 1 = ( 1 , - 1 )

E como temos que reescrevê-los nas coordenadas da base canônica

I d ε γ = 1 1 1 - 1

Que é igual a matriz P !!

E a T γ vai ficar:

T 1,1 = 2 1,1 = ( 2,2 )

T 1 , - 1 = 0 1 , - 1 = 0,0

Assim a nossa matriz vai ficar:

T γ = 2 0 0 0

Que é igual a nossa matriz D !!!

Resumindo: Diagonalizar uma matriz não é nada mais, nada menos, que escrever a matriz que representa T indo de uma base (nesse caso a canônica) para a base dos autovetores.

Tá beleza, entendi! Mas eu vou ter que ficar montando essas matrizes nas bases dos autovetores sempre?? COM CERTEZA NÃO!!

Basta você botar os autovalores na diagonal sua matriz D , e os autovetores em coluna na sua matriz P , respeitando a ordem que escolheu para os autovalores em D !!!

Lembra que estamos escrevendo matrizes que representam T L s em bases diferentes, logo a ordem da base IMPORTA!! Lembre-se que base é um conjunto ordenado! Ou seja, se você escolheu sua D como:

D = 0 0 0 2

A sua P será:

P = 1 1 - 1 1

Quando uma matriz ou T L será diagonalizável?

Beleza, já vimos quando uma matriz A será diagonalizável. Mas quando uma T L será? Bom, como já devem imaginar, se uma matriz que represente a T L em uma base qualquer for diagonalizável, a transformação será diagonalizável!

Legal, mas então pra sabermos se é ou não teremos sempre que resolver aquelas contas? Na verdade não, existe um macetinho pra sabermos se uma matriz é diagonalizável ou não!

Obs.: Quando eu falo matriz, entenda que estou me referindo a T L também já que para uma T L ser diagonalizável, basta que alguma representação matricial sua seja ;)

Tá, mas então qual é esse bizu?

Nós só podemos diagonalizar uma matriz, se existir uma base de autovetores para o seu domínio. No caso do nosso exemplo eles eram L I s .

Em outras palavras, uma matriz A n × n é diagonalizável se, e somente se, a soma das dimensões dos autoespaços associados a cada autovalor de A é n . Então para diagonalizar uma matriz A de dimensão n , basta seguirmos os passos abaixo:

  • Calcule os autovalores através das raízes do polinômio característico: p λ = det T - λ I .
  • Encontre os autovetores (bases para os autoespaços) resolvendo os sistemas homogêneos: T - λ I v = 0 para cada autovalor λ .
  • Junte os autovetores que você achou. Se tivermos n autovetores L I a matriz A é diagonalizável.

Também podemos pensar que uma matriz só será diagonalizável se e somente se a multiplicidade geométrica de seus autovalores for igual à algébrica!

Uma última forma de verificar se uma matriz é diagonalizável, e isso pode ajudar vocês a resolver alguns problemas mais rapidamente é se ela tiver todos os autovalores distintos!

Lembra de quando vimos que autovetores associados a autovalores diferentes sempre serão L I ? Então, se todos os autovalores forem diferentes, todos os autovetores serão L I e teremos a base de autovetores para o nosso domínio ;)

Só toma cuidado que toda matriz com autovalores distintos é diagonalizável, mas nem toda matriz diagonalizável tem autovalores distintos!!

Dica: Aqui vai uma dica que pode vir a te ajudar muito na prova, se A é diagonalizável, então A T também é!

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Teorema Espectral

Acabamos de ver como descobrir se uma matriz ou uma T L são diagonalizáveis ou não. Mas existe um caso particular no qual é muito mais fácil descobrirmos isso. E é sobre esse caso que trata o Teorema Espectral.

OBS: tanto faz falarmos de matrizes ou transformações lineares, pois afinal um é a mesma coisa que o outro. Se A é diagonalizável, sabemos que existe alguma T que é essa A em alguma base, e, portanto, se ela é diagonalizável todas as outras são também.

Vejamos a matriz abaixo:

A = 1 1 1 1

Observe que ela é simétrica (é como se a diagonal principal fosse um espelho!). Além disso, repare que os autovetores γ = 1,1 , 1 , - 1 são ortogonais mas não estão normalizados!!

1,1 , 1 , - 1 = 0

( 1,1 ) 1

( 1 , - 1 ) 1

Assim, vamos finalmente enunciar o teorema:

O que esse segundo item do teorema quer dizer?!

Basicamente, isso quer dizer que podemos escolher uma base de vetores ortonormais. Lembra que normalizar é só escolher um múltiplo desse vetor, só que com a norma 1 ? Então, no nosso exemplo poderíamos ter normalizado nossos autovetores. Mas NÃO É OBRIGATÓRIO!!

Tá mas pra que eu vou querer ter mais trabalho, e normalizar os autovetores? Se eles agora são ortonormais podemos botá-los em coluna na nossa matriz P !!! Tá, e daí?? Você lembra qual a definição de matriz ortogonal?

É aquela que possui suas colunas ortonormais! E é exatamente isso que vai acontecer com a nossa P , não é??

Tá, mas eu ainda não estou entendendo. A parada é que quando uma matriz é ortogonal, sabemos que sua inversa é igual a sua transposta!

Assim, se P é uma matriz ortogonal, e, portanto, seus vetores coluna são ortonormais, então:

P - 1 = P T

E assim, fica muito mais fácil de resolver as contas na mão! Visto que inverter uma matriz é um processo muito chato, enquanto transpor não xD.

Nesse caso, nossa matriz diagonal se torna:

D = P T A P

E nossa matriz A pode ser escrita por:

A = P D P T

Resumindo o teorema espectral:

  • A é diagonalizável;
  • PODEMOS (não é necessário), ortonormalizar os autovetores;
  • Se fizermos isso, P é ortogonal agora, e portanto, P - 1 = P T .

Outra coisa muito interessante sobre matrizes simétricas é que os autovetores associados a autovalores diferentes são sempre ortogonais!

OBS: Se desde o começo seus autovetores não são ORTOGONAIS (pode acontecer), você além de normalizá-los terá que ORTOGONALIZÁ-LOS! Para isso, utilize ou o processo de Gram-Schimdt ou o Produto Vetorial para vetores do R 3 . Se isso não cai na sua prova, ou seja, os seus vetores serão sempre ortogonais, não ligue para essa observação haha.

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Construindo Matrizes e Tranformações

Fala galera, lembra de quando vimos como os autovalores e autovetores podem nos dizer o que uma matriz faz?

Por exemplo, se um autoespaço estava associado ao autovalor 0 e seu complemento ortogonal estivesse associado ao autovalor 1 , nós teríamos uma projeção. Então, os autovalores e autovetores nos permitiam de fato entender o que está por trás de um monte de números em uma matriz.

Tá, mas onde eu quero chegar com isso? Agora que temos a diagonalização não precisamos mais nos limitar a dizer o que alguma matriz faz! Agora nós podemos montar a matriz ou T L que quisermos!!

Vamos ver um exemplo de como fazemos isso.

Vamos construir a matriz reflexão em torno do plano 3 x - y + 2 z = 0 no R 3

Bom, como fazemos isso? Primeiro devemos lembrar que uma reflexão sempre terá dois autovalores: λ = - 1 e λ = 1 .

Se estamos refletindo em torno do plano 3 x - y + 2 z = 0 , então os vetores desse plano não serão alterados. Logo, estarão associados ao autovalor 1 . Vamos descobrir quais são eles xD

3 x - y + 2 z = 0 y = 3 x + 2 z

Então os vetores do plano tem essa cara aqui:

x , 3 x + 2 z , z = x 1,3 , 0 + z 0,2 , 1

Então uma base para esse autoespaço são os autovetores 1,3 , 0 e 0,2 , 1 .

Por fim, o complemento ortogonal desse plano será o autoespaço associado ao autovalor - 1 . Como estamos no R 3 ele será uma reta. Uma base para essa reta é o vetor cujas coordenadas são dadas pelos coeficientes da equação do plano:

3 x - y + 2 z = 0

3 , - 1,2

Opa, então resumindo tudo, temos os autovetores 1,3 , 0 e 0,2 , 1 associados ao autovalor λ = 1 . E o autovetor 3 , - 1,2 associado ao autovalor λ = - 1 .

Agora vem a parte da diagonalização. Vamos jogar essas informações na nossa fórmula A = P D P - 1 :

D = 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1

P = 1 0 3 3 2 - 1 0 1 2

P - 1 = 5 14 3 14 - 3 7 - 3 7 1 7 5 7 3 14 - 1 14 1 7

Agora calculamos nossa matriz:

A = 1 0 3 3 2 - 1 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1 5 14 3 14 - 3 7 - 3 7 1 7 5 7 3 14 - 1 14 1 7 = 2 7 3 7 - 6 7 3 7 6 7 2 7 - 6 7 2 7 3 7

E está aí a matriz que faz o que a gente queria!! Ah e seu eu quisesse a T L ? Aí é só aplicar o vetor x , y , z na matriz:

T x , y , z = 2 7 3 7 - 6 7 3 7 6 7 2 7 - 6 7 2 7 3 7 x y z = 1 7 2 x + 3 y - 6 z 3 x + 6 y + 2 z - 6 x + 2 y + 3 z =

= 1 7 2 x + 3 y - 6 z , 3 x + 6 y + 2 z , - 6 x + 2 y + 3 z

E é isso aí galera. Maneiro né? ;)

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Elevando Matrizes

Bom, até agora eu disse um monte de coisas sobre diagonalização: matrizes de autovalores, autovetores, teorema espectral. Mas... pra que serve isso tudo?

Você deve saber como elevar matrizes a um expoente não? Por exemplo se:

A = 1 2 2 4

Então:

A 2 = A A = 1 2 2 4 1 2 2 4 = 5 10 10 20

Tá, mas e se eu quisesse elevar essa matriz a 10 ??? Você iria multiplicar ela 10 vezes no braço??? Acho que não né?

Mas olha pra matriz ali em cima, nós sabemos que ela é simétrica né? Então pelo teorema espectral sabemos que a matriz é diagonalizável e portanto podemos escrevê-la da forma:

A = P D P - 1

Mas se eu elevar ao quadrado dos dois lados:

A 2 = A A = P D P - 1 P D P - 1 = P D P - 1 P I D P - 1

A 2 = P D D P - 1 = P D 2 P - 1

Caramba então só foi necessário elevar a matriz diagonal ao quadrado!!! E isso não funciona só quando elevamos ao quadrado, podemos dizer que se uma matriz é diagonalizável, essa mesma matriz elevada à um expoente é igual a:

A k = P D k P - 1

Po legal, mas ainda temos que multiplicar k a matriz diagonal... Bom, vamos voltar pro exemplo e antes de tudo vamos calcular os autovalores e autovetores:

Fazendo algumas contas achamos que os autovalores são λ = 0 ,   λ = 5 e seus respectivos autoespaços são:

V λ = 0 = s p a n - 2,1

V λ = 5 = s p a n 1 2 , 1

Assim podemos dizer que:

D = 0 0 0 5

P = - 2 1 2 1 1

P - 1 = - 2 5 1 5 2 5 4 5

Tá beleza, até ai tudo bem. Vamos então elevar ao quadrado a matriz diagonal:

D 2 = 0 0 0 25

Repare que ela deu exatamente cada um dos autovalores ao quadrado!!

0 2 = 0

5 2 = 25

E isso não é por acaso! Sempre que tivermos uma matriz diagonal elevada a um expoente, basta elevar cada um dos seus elementos da diagonal ao mesmo expoente:

D k = λ 1 k 0 0 0 0 λ 2 k 0 0 0 0 λ n - 1 k 0 0 0 0 λ n k

Assim, vamos tentar elevar a matriz a 10 !!

A 10 = - 2 1 2 1 1 0 0 0 5 10 - 2 5 1 5 2 5 4 5

A 10 = 1953125 3906250 3906250 7812500

Pode confiar, dá isso aí mesmo haha. Relaxa que nos exercícios não vão ter valores bizarros assim não xD

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Limite de Matrizes

Hã o que é isso?? Limite e matrizes juntos??? Não se espante que é mais tranquilo do que você pensa!

Você já pensou em calcular o limite de:

lim k A k

Provavelmente não, porque ninguém normal pensaria nisso, hahah. Mas você tem alguma ideia de como fazer isso??? Bom já que esse é o capítulo de diagonalização eu iria por aí.

Vamos supor que:

A = 7 4 - 10 - 17 3

Tá, mas como se eleva uma matriz a um expoente mesmo? Ahh sim usando diagonalização! Calculando os autovalores e autovetores, vemos que:

λ = 1   e   λ = 1 3

E os autoespaços são:

V λ = 1 = s p a n 2 , - 3

V λ = 1 3 = s p a n - 3,5

Portanto:

P = 2 - 3 - 3 5  

D = 1 0 0 1 3

P - 1 = 5 3 3 2

Tá, então sabemos que:

A k = P D k P - 1

D k = 1 k 0 0 1 k 3 k

Aplicando o limite:

lim k A k = lim k P D k P - 1

lim k A k = P lim k D k P - 1

E assim, basta calcular o limite na matriz diagonal, ou seja, o limite em cada um de seus elementos na diagonal. Como:

lim k 1 k = 1

lim k 1 3 k = 0

Podemos dizer que:

lim k D k = 1 0 0 0

lim k A k = P 1 0 0 0 P - 1

lim k A k = 10 6 - 15 - 9

Mas se por caso os autovalores tivessem dado número diferente de 1 , ou de números entre 0 e 1 , por exemplo: λ = 3 e λ = 5

lim k D k = 3 k 0 0 5 k

O que daria infinito nas diagonais! E você poderia pensar, ah então o limite não existe né?! Só que não meu caro leitor! Nesse caso, como o limite vai pra infinito entra um detalhe matematesco na jogada! Aquela macetada de passar o limite pra dentro deixa de valer! Ou seja, não podemos fazer isso: lim k A k = lim k P D k P - 1

lim k A k = P lim k D k P - 1

Logo, teríamos que resolver o produto P D k P - 1 em função de k e só depois fazer o limite ;)

Vamos ver um exemplo desse caso nos exercícios então partiu praticar!

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Espaços Complexos

Os Números Complexos

Se você, assim como eu na época que estudei isso, fez logo essa cara ao ver o nome da matéria...

Calma, não se desespere meu amigo. Os espaços complexos não são tão complexos assim não. Você já chegou aqui e vai dar de letra nessa matéria. É só vir com a gente.

Primeiro, vamos lembrar o que são números complexos. Se você se lembrar bem deles lá do ensino médio pode pular essa parte. Se não, se liga aí.

Bem galera, os números complexos surgiram pra gente resolver alguns tipos de equação, tipo:

x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1

Vocês devem ter sacado que não existe nenhum número real que multiplicado por ele mesmo dá - 1 né. Mas se a gente definir:

i = - 1

Acabou. Fácil né hahaha. Chamamos então i de unidade imaginária e seguimos com a vida.

Um número complexo é então qualquer coisa que pode ser escrita como x + i y , com x , y R . O conjunto C dos números complexos é então formado por todos os números desse tipo. Alguns exemplos de complexos são:

  • i
  • 2 + 3 i
  • 4

Sim!! Os números reais também são números complexos, é só jogar y = 0 . Pra fixar: R C . Veja também que pra dois números complexos serem iguais devemos ter:

z 1 = x 1 + i y 1 z 2 = x 2 + i y 2 z 1 = z 2 x 1 = x 2 y 1 = y 2

Ou seja, as partes reais e imaginárias são separadas. Pra dois complexos serem iguais, as suas partes têm que ser iguais separadamente também.

Pra gente somar complexos a gente faz assim:

x 1 + i y 1 + x 2 + i y 2 = x 1 + x 2 + i ( y 1 + y 2 )

E pra multiplicar:

x 1 + i y 1 x 2 + i y 2 = x 1 x 2 + i x 1 y 2 + i x 2 y 1 + i 2 y 1 y 2

E como i 2 = - 1 :

x 1 + i y 1 x 2 + i y 2 = x 1 x 2 - y 1 y 2 + i ( x 1 y 2 + x 2 y 1 )

Alguns exemplos:

  • 2 + 3 i + - 1 + i = 1 + 4 i
  • 2 + 3 i - 1 + i = - 2 + 2 i - 3 i + 3 i 2 = - 5 - i

Pra terminar, vamos definir o número conjugado z - de um complexo z :

x = x + i y z - = x - i y

Por exemplo, o conjugado de 2 + 3 i é 2 - 3 i . Com isso a gente já consegue fazer contas com os complexos

Espaços complexos

E agora, o que são os espaços complexos?

Bem, os espaços complexos são espaços vetoriais nos quais, invés de fazermos contas usando somente números reais, usamos números complexos. Óbvio né? Usando essa definição, quase tudo que a gente estudou pros espaços reais também vale pros complexos, subespaços, bases, transformações e por aí vai.

Por exemplo, podemos definir um operador sobre o espaço complexo C ² como:

T z 1 , z 2 = 1 + i z 1 - 2 z 2 , i z 1 + 3 - i z 2

Lembrando que operador é apenas uma transformação linear que tem o domínio igual ao conta-domínio.

A matriz dessa transformação na base canônica de C ² , C a n = { 1,0 , 0,1 } , fica:

T C a n = 1 + i - 2 i 3 - i

Igualzinho a gente sempre fez.

Obs: Podemos considerar C ² como um espaço real também. Aí a base canônica de C ² vai ser C a n = 1,0 , i , 0 , 0,1 , 0 , i . Com essa consideração, qualquer que seja o operador T , sua matriz só poderá ter valores reais. Em geral, se um espaço é de dimensão n , sobre C , ele será de dimensão 2 n sobre R .

Uma diferença dos espaços reais pros complexos é a definição de produto interno.

Se a definição fosse a mesma, teríamos um problema por exemplo com o produto interno canônico em C ¹ :

i , i = i . i = - 1 < 0

Que vai contra o axioma:

u , u 0

Então, pra consertar esses problemas, no caso complexo, o axioma da simetria:

u , v = v , u

Fica um pouco diferente:

u , v = v - , u

Observe que esse axioma engloba o antigo já que se v é real temos v - = v . O produto interno canônico no C n é então:

x 1 , x 2   , , x n , ( y 1 , y 2 , , y n ) = x 1 y 1 - + x 2 y 2 - + + x n y n -

Por exemplo, o produto interno de z 1 = ( 1 + i , 2 + 3 i ) e z 2 = ( - 2 - i , i ) é:

1 + i , 2 + 3 i , - 2 - i , i = 1 + i - 2 + i + 2 + 3 i - i

1 + i , 2 + 3 i , ( - 2 - i , i ) = - 2 + i - 2 i + i 2 - 2 i - 3 i 2 = - 3 i

Outra coisa que é diferente nos espaços complexos é o Teorema Espectral, mas não vem ao caso descobrirmos como fica ele, só se lembre de não usá-lo se aparecerem os i ' s na questão beleza.

Se liga agora nos exercícios pra gente praticar um pouquinho a fazer contas com os complexos.

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Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

Enunciado

Em cada item determine se v é autovetor de A .

a   v = 1 4 e A = - 1 1 - 1 8

b   v = 4 - 3 1 e A = 3 7 9 - 4 - 5 1 2 4 4

Resolução

Enunciado

Seja A = 2 0 1 0 1 0 - 2 0 5 e seja v = v 1 , v 2 , v 3 um autovetor de A associado ao autovalor 4 . Se v 1 = 1 , quanto vale v 3 ?

a   2

b   3

c   4

d   5

Resolução

Enunciado

Seja A uma matriz 3 × 3 , não-nula, tal que a terceira coluna é igual a soma das duas primeiras. Assinale abaixo um autovetor de A :

a   1 , - 1,1 T

b   1,1 , - 1 T

c   1,1 , 2 T

d   1,1 , - 2 T

Resolução

Enunciado

A matriz A 3 × 3 tem três autovalores distintos, λ 1 , λ 2 e λ 3 . Os vetores v = 1,1 , 0 e u = 0,1 , 1 são autovetores associados a λ 1 e λ 2 respectivamente. Assinale abaixo o vetor que poderia ser um autovetor associado a λ 3 :

( a ) - 1,0 , 1

( b ) 2,1 , - 1

( c ) 2,3 , 1

( d ) 1 , - 2,1

Resolução

Enunciado

Sejam α = { 1,1 , 0 ,   1,0 , 1 ,   0,1 , 0 } uma base de R 3 e T : R 3 R 3 a transformação linear tal que:

  • T 1,1 , 0 = 0 , - 2,0
  • T 1,0 , 1 = 2,0 , - 2
  • T 0,1 , 0 = - 1 , - 2,0

a   Encontre T α

b   Encontre o polinômio característico de T

c   Encontre os autovalores de T

d   Encontre os autovetores de T

Resolução

Enunciado

Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações abaixo:

  1. T : R 2 R 2 ,   T x , y = ( x + 2 y , - x + 4 y )
  2. T : R 3 R 3 ,   T x , y , z = x , - 2 x - y , 2 x + y + 2 z

Resolução

Enunciado

Se λ 1 = 4 e λ 2 = 2 são valores próprios de um operador linear T : R 2 R 2 associados aos vetores próprios u = 2,1 e v = - 1,3 , respectivamente, determinar T 3 u - v

Resolução

Enunciado

Seja T : R 2 R 2 uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor u = 2,1 e triplica o comprimento do vetor v = 1,2 , sem alterar as direções nem inverter os sentidos.

a   Calcular T 0,3

b   Qual a matriz do operador T na base 2,1 , 1,2 ?

Resolução

Enunciado

Mostre que dois autovetores associados a autovalores diferentes são linearmente independentes.

Dica: suponha que não sejam linearmente independentes e tente chegar a alguma contradição.

Resolução

Enunciado

Suponha que λ é autovalor de A invertível e μ autovalor de B com mesmo autovetor v .

Determine o autovalor associado ao autovetor v de:

a   A 2

b   A - 1

c   A B

d   C = a A + b B   c o m   a , b R

Resolução

Enunciado

Se T : R n R n é uma transformação linear tal que para quaisquer dois vetores u , v R n satisfaz:

T u , v = u , T v

Se w 1 e w 2 são autovetores associados respectivamente aos autovalores λ 1 e λ 2 com λ 1 λ 2 , então w 1 e w 2 são ortogonais.

  1. Defina os conceitos que apareçam sublinhados na afirmação anterior.
  2. Prove que dita afirmação é verdadeira.

Resolução

Enunciado

Calcule os autovalores e autoespaços associados de:

a   uma reflexão no plano 3 x - 2 y + z = 0 em R 3 ;

b   uma projeção ortogonal numa reta em R 3 com P 1 , - 1,0 = 1 , - 1,0 ;

c   P : R 4 R 4 uma projeção ortogonal na reta gerada por 1,2 , - 1,1 .

Resolução

Enunciado

Seja A a projeção ortogonal sobre a direção do vetor ( 0 , 1 ) seguida de uma expansão de 2 na direção ( 1,0 ) .

Os autovalores de A são:

( a ) 1 e 1

( b ) 2 e 0

( c ) 2 e 1

( d ) 1 e 0

Resolução

Enunciado

Seja A a matriz 3 × 3 que representa uma reflexão através do plano x + 2 z = 0 .

Marque a alternativa correta:

a   Os autovalores de A são 0 e 1

b   Os autovalores de A são - 1 ,   0 e 1

c   Os autovalores de A são - 1 e 0

d   Os autovalores de A são - 1 e 1

Resolução

Enunciado

Construa uma transformação linear T : R 3 R 3 satisfazendo as seguintes condições:

  • Algum subespaço U R 3 tal que dim T U = 1
  • T U U

Resolução

Enunciado

Seja T : R 3 R 3 a reflexão (espelhamento) em relação ao plano π e

T γ = - 1 0 - 2 2 1 2 0 0 1

A matriz de T na base γ = { v 1 ,   v 2 , v 3 } de R 3 .

Dê um exemplo de um subespaço vetorial H de R 3 tal que as duas seguintes condições sejam satisfeitas:

  • H não é autoespaço de T , mas é invariante por T
  • dim H = 2

Resolução

Enunciado

Seja λ R um autovalor de T : U U . O autoespaço de T associado a λ é o conjunto

V λ = u U T u = λ u }

Prove que V λ é um subespaço invariante de T .

Resolução

Enunciado

A matriz abaixo está fatorada na forma M D M - 1 . Sem fazer contas, determine os autovalores da matriz e bases para cada um dos autoespaços.

3 1 - 2 - 2 0 4 0 0 2 = 1 2 - 1 1 0 2 1 1 0 2 0 0 0 2 0 0 0 1 - 2 - 1 4 2 1 - 3 1 1 - 2

Resolução

Enunciado

Diga se a matriz abaixo é diagonalizável:

2 1 0 1

Resolução

Enunciado

Seja T : R 3 R 3 dada por:

T x , y , z = ( x + 2 y ,   - 2 x + y ,   3 z )

a   Encontre os autovalores de T e os respectivos autoespaços.

b   A transformação T é diagonalizável? Se sim, dê sua forma diagonal.

Resolução

Enunciado

Considere A x , y , z = x + y 2 , x + y 2 ,   z . Determine P e Q tais que:

a   P - 1 A P = 1 0 0 0 1 0 0 0 0

b   Q - 1 A Q = 1 0 0 0 0 0 0 0 1

Resolução

Enunciado

Determinar uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e calcular P - 1 A P .

a   A = 5 3 3 5

b   A = 0 0 2 0 - 1 0 2 0 0

Resolução

Enunciado

Seja A = 1 - 1 - 1 1

a   Determine de A é diagonalizável.

b   Se ela for, apresente uma P e P - 1 que satisfaça a diagonalização.

Considere:

A = P D P - 1

Resolução

Enunciado

Para cada k real, considere a transformação T : R 3 R 3 dada por:

T x , y , z = k x + 2 y ,   2 x + k y + 2 z ,   2 y + k z

Existe um valor de k para qual T não seja diagonalizável?

Resolução

Enunciado

Considere T : R 3 R 3 dada por T x , y , z = x , y , z × 0 , a , 0 + ( 2 x + 2 a z , a y , 2 z ) , onde a R . Denotamos por ε a base canônica de R 3 .

a   Calcule a matriz T ε ε e determine se T é diagonalizável para qualquer valor a R . (Dica: não tente calcular os autovetores)

b   No caso em que a = 2 , ache uma base de R 3 constituída de autovetores de T .

Resolução

Enunciado

Determine a decomposição espectral de T se:

a   T : R 3 R 3 uma projeção ortogonal no plano x - 2 y - z = 0

b   T : R 4 R 4 uma projeção ortogonal em H = 1,2 , 3,4 , 2,3 , 4,5

Obs.: Não precisa calcular as inversas.

Resolução