Resumão Completo

Autovalores e Autovetores

O que são Autovetores e Autovalores?

Bom, vamos começar a aprender sobre um tipo especial de vetores (autovetores). Essa é a parte preferida do curso pra maioria das pessoas (pra mim também haha), então animação e vamos em frente!

Vamos pegar a matriz abaixo:

A = 2 0 0 1

Repare que:

2 0 0 1 1 0 = 2 0 = 2 1 0

Viu que quando aplicamos a nossa matriz A no vetor 1,0 resultou no mesmo vetor só que multiplicado por 2 ?? Vamos chamar esse número de λ = 2

Agora vamos aplicar a matriz no vetor ( 0,1 ) .

2 0 0 1 0 1 = 0 1 = 1 0 1

E esse agora é o mesmo vetor só que multiplicado por 1 (meio óbvio, né?). Nesse caso, λ = 1 .

Quando isso acontece, dizemos que ( 1,0 ) é um autovetor associado ao autovalor λ = 2 e então ( 0,1 ) é um autovetor associado ao autovalor λ = 1 .

Ta, aprendemos os nomes, mas o que isso significa na real? Bom, os autovetores são as direções preservadas por uma matriz!! Lembre-se que quando multiplicamos um escalar por um vetor, nós preservamos a direção do vetor. Já o autovalor é simplesmente o nome que damos para esse escalar que está alterando a norma do vetor.

Entendeu? A definição formal é essa aqui embaixo. Mas não é nada mais nada menos do que a generalização do que acabamos de ver no exemplo.

Só tem uma coisinha diferente dos exemplos. Faltou falar que definimos autovetor como um vetor não nulo, então o vetor nulo nunca poderá ser autovetor mesmo satisfazendo a condição A b = λ b !!

Antes de seguirmos em frente vamos ver algumas observações importantes sobre autovalores e autovetores:

  • Só faz sentido falarmos de autovetores e autovalores em matrizes quadradas!
  • Autovalores e autovetores sempre estão juntos! Não existe um autovalor que não esteja associado a um autovetor e vice-versa.
  • Cada autovetor só pode estar associado a um único autovalor. O que se você pensar bem faz completo sentido, já que uma transformação não pode retornar duas vezes um vetor e três vezes ele ao mesmo tempo né.
  • λ pode ser zero, mas v não! Isso decorre da observação acima. Se v = ( 0,0 ) fosse um autovetor ele estaria associado a infinitos autovalores!
  • Por outro lado, nada impede que um autovalor esteja associado a mais de um autovetor! Quando isso acontece, dizemos que o autovalor tem multiplicidade n , onde n é a dimensão dos autoespaços aos quais o autovalor está associado.
  • Autovetores associados a autovalores diferentes sempre serão L I !
  • Se te pedirem para provar que um vetor é um autovetor, não basta provar somente que A b = λ b ! É necessário provar que b 0 também! Não se esqueça disso!
  • Até agora, somente usamos vetores pertencentes ao R n como autovetores! Mas se por acaso matrizes e polinômios satisfizerem as condições dadas, eles também serão autovetores!

Autoespaços

Agora repara uma coisa só. Vamos pegar o vetor ( 2,0 ) e aplicar naquela nossa matriz. Assim:

2 0 0 1 2 0 = 4 0 = 2 2 0

Caramba! O vetor ( 2,0 ) também é um autovetor associado ao autovalor λ = 2 ! É, mas como já tínhamos visto antes, ( 2,0 ) e ( 1,0 ) são múltiplos. E repare, também, que se a gente pegar quaisquer outros múltiplos de ( 1,0 ) , eles “sempre sairão dobrados”, ou seja, serão autovetores associados ao autovalor λ = 2 .

Então vamos ter infinitos autovetores?? Sim! Sempre!! VOCÊ NUNCA IRÁ ACHAR APENAS UM ÚNICO AUTOVETOR! VOCÊ SEMPRE TERÁ UM ESPAÇO GERADO DE AUTOVETORES!!

Então os autovetores associados ao autovalor λ = 2 são s p a n 1,0 . E para λ = 1 a mesma coisa! Os seus autovetores são s p a n 0,1 .

Observe que o vetor nulo está contido no autoespaço de qualquer autovalor, mesmo que os autovetores de λ não possam ser nulos, por definição. O vetor nulo satisfaz a definição de autoespaço, mas o vetor nulo não satisfaz a definição de autovetor.

Logo, podemos concluir que o autoespaço de um autovalor de λ é diferente do conjunto de autovetores de λ , já que um tem o vetor nulo e o outro não ;)

Obs.: A soma da dimensão dos autoespaços de uma matriz será sempre menor ou igual à dimensão do seu domínio (ou contradomínio, ela é quadrada né :p)! Quando a soma da dimensão dos autoespaços da matriz for igual à dimensão do seu domínio, dizemos que temos uma base de autovetores.

Autovalor zero

Agora, vamos pegar outra matriz, por exemplo:

A = 1 - 1 0 1 - 1 0 2 - 2 0

Vamos achar o seu núcleo. Para isso, resolvemos o sistema aumentado:

1 - 1 0 1 - 1 0 2 - 2 0 0 0 0 e s c a l o n a n d o 1 - 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Portanto temos:

x - y = 0 x = y

Assim, nosso núcleo será:

y , y , z = y 1,1 , 0 + z 0,0 , 1

N u c A = s p a n 1,1 , 0 , 0,0 , 1

Pera mas o núcleo não são os caras do domínio que satisfazem A b = 0 ? Então podemos interpretar como A b = 0 b = 0 . E assim, os vetores do núcleo SÃO SEMPRE OS AUTOVETORES ASSOCIADOS AO AUTOVALOR λ = 0 .

Então, se λ é nulo, os autovetores associados a λ = 0 são exatamente os elementos do N u c A .

Daí, chegamos à conclusão de que se A possui um autovalor zero ( λ = 0 ) , então N u c A 0 . E, portanto, A não é injetiva.

Basicamente o último fato acima nos diz que, se tem um autovalor zero, então tem que ter gente no núcleo associado a esse autovalor, ou seja, os autovetores.

Se liga num bizu que pode te ajudar muito na prova:

Como Achar os Autovalores e Autovetores?

Beleza, já sabemos tudo o que tem pra saber sobre autovalores e autovetores menos . . . como calcular!

É bem simples na verdade, basta calcular as raízes do polinômio característico!

Do o que?! Calma, olha ele aí em baixo:

p λ = d e t ( A - λ I )

onde I é a matriz identidade e A é a sua matriz.

Então, para encontrar os autovalores basta fazer p λ = 0 . Vamos usar a nossa primeira matriz como exemplo.

2 0 0 1 - λ 1 0 0 1 = 2 - λ 0 0 1 - λ

det 2 - λ 0 0 1 - λ = 0

2 - λ 1 - λ = 0

Logo, λ = 2 e λ = 1 , igualzinho ao que já sabíamos!!

Existe uma outra dica para calcular autovalores. Genericamente para matrizes n × n , temos:

det A = λ 1 λ n

t r A = λ 1 + + λ n

sendo A , a matriz e t r o traço de A .

Usando essa dica, não dá pra calcular nada, pois temos n variáveis e duas equações. Mas para matrizes 2 × 2 , temos:

det A = λ 1 λ 2

t r A = λ 1 + λ 2

Agora com isso, podemos calcular os autovalores, com apenas essa equação.

E para achar os autovetores?

Basta fazer:

A b = λ b

o u

A - λ I b = 0

Vamos usar a primeira para λ = 2 :

2 0 0 1 x y = 2 x y

2 x y = 2 x 2 y

2 x = 2 x x = x y = 2 y y = 0

Assim, nossos autovetores são x , 0 = x ( 1,0 ) . Que é a mesma coisa que s p a n 1,0 . Era de se esperar que desse infinitos valores né?

Agora vamos usar o último método para λ = 1 :

2 - λ 0 0 1 - λ x y = 2 - 1 0 0 1 - 1 x y

1 0 0 0 x y = 0

Resolvendo o sistema achamos que x = 0 , e, portanto, nossos autovetores são 0 , y = y 0,1 , o que também era esperado.

Então, relembrando o processo:

  • Determinamos os zeros de d e t ( A   -   λ I )   =   0 para achar os autovalores.
  • Substituímos os autovalores na equação ( T     λ I ) b   =   0 para determinar os autovetores b .

Multiplicidade

Ali em cima eu falei que se um autovalor tem multiplicidade n , ele está associado a um autoespaço de dimensão n . Só que existem dois tipos de multiplicidade! A algébrica e a geométrica.

Imagine que temos a seguinte equação como polinômio característico de uma matriz:

p λ = λ - 2 2 λ + 3

Nesse caso temos o autovalor - 3 e o autovalor 2 certo? Mas repare no quadrado ali em cima! Isso quer dizer que o autovalor 2 é raiz do polinômio duas vezes, então ele tem multiplicidade algébrica igual a 2 .

Já a multiplicidade geométrica está relacionada à dimensão do autoespaço ao qual o autovalor está associado! Tá, mas essas duas coisas se relacionam de alguma forma? Sim! A seguinte relação sempre será válida:

1 m u l t i p l i c i d a d e   g e o m é t r i c a m u l t i p l i c i d a d e   a l g é b r i c a

O que isso quer dizer? Bom, todo autovalor está associado a algum autovetor. Então a multiplicidade geométrica (a dimensão do autoespaço associado ao autovalor) tem que ser pelo menos 1 . E ela sempre será menor ou igual à multiplicidade algébrica (número de vezes que o autovalor é raiz do polinômio característico).

Bizu

Você deve ter percebido que autovalores e autovetores têm MUITAS propriedades que vão se relacionando com todos os conceitos que já vimos no curso.

Como esse tipo de coisa é muito cobrado em prova, se você conseguir memorizar já vai te adiantar muito, já que não vai precisar ficar pensando ou deduzindo na hora.

Sendo assim, aqui vão uns bizus que são muito úteis na prova. Não espero que decore todos logo de cara, mas sempre que quiser dar uma olhada vão estar aqui. Alguns eu já até comentei, mas vale por aqui de novo. Aí vai:

  • O determinante de uma matriz A é o produto dos seus autovalores.
  • O traço de uma matriz A é a soma de seus autovalores.
  • Os autovalores de A - 1 são iguais ao inverso dos autovalores de A . Os autovetores são os mesmos.
  • Os autovalores de A são iguais aos autovalores de A T .
  • Os autovalores de uma matriz triangular são os elementos da diagonal.
  • Se trocarmos as linhas e colunas correspondentes de uma matriz de lugar os autovalores permanecem os mesmos. (por exemplo, se trocarmos a linha 1 com a linha 2 , temos que trocar a coluna 1 com a coluna 2 !)

Fim de papo, vamos fazer alguns exercícios!!

Expandir

Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4

Enunciado

Em cada item determine se v é autovetor de A .

a   v = 1 4 e A = - 1 1 - 1 8

b   v = 4 - 3 1 e A = 3 7 9 - 4 - 5 1 2 4 4

Resolução

Enunciado

Calcule os autovalores e os autoespaços associados de:

a   A = 3 0 0 0 3 2 0 - 1 0

b   A = 0 1 0 0

c   A = 2 - 1 0 0 1 - 1 0 1 3

Resolução

Enunciado

Calcular os autovalores e os correspondentes autovetores próprios das seguintes matrizes:

a   A = 2 1 3 4

b   A = 3 - 1 - 3 0 2 - 3 0 0 - 1

c   A = 3 3 - 2 0 - 1 0 8 6 - 5

d   A = 0 0 2 0 - 1 0 2 0 0

Resolução

Enunciado

Quais são os autovalores e autovetores próprios da matriz identidade?

Resolução

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Aulão de Autovalores, Autovetores e Diagonalização

Aulão de Autovalores, Autovetores e Diagonalização
Saia do zero para a aprovação em
2h03min

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