Resumão Completo

Autovalores e Autovetores

O que são Autovetores e Autovalores?

Bom, vamos começar a aprender sobre um tipo especial de vetores (autovetores). Essa é a parte preferida do curso pra maioria das pessoas (pra mim também haha), então animação e vamos em frente!

Vamos pegar a matriz abaixo:

A = 2 0 0 1

Repare que:

2 0 0 1 1 0 = 2 0 = 2 1 0

Viu que quando aplicamos a nossa matriz A no vetor 1,0 resultou no mesmo vetor só que multiplicado por 2 ?? Vamos chamar esse número de λ = 2

Agora vamos aplicar a matriz no vetor ( 0,1 ) .

2 0 0 1 0 1 = 0 1 = 1 0 1

E esse agora é o mesmo vetor só que multiplicado por 1 (meio óbvio, né?). Nesse caso, λ = 1 .

Quando isso acontece, dizemos que ( 1,0 ) é um autovetor associado ao autovalor λ = 2 e então ( 0,1 ) é um autovetor associado ao autovalor λ = 1 .

Ta, aprendemos os nomes, mas o que isso significa na real? Bom, os autovetores são as direções preservadas por uma matriz!! Lembre-se que quando multiplicamos um escalar por um vetor, nós preservamos a direção do vetor. Já o autovalor é simplesmente o nome que damos para esse escalar que está alterando a norma do vetor.

Entendeu? A definição formal é essa aqui embaixo. Mas não é nada mais nada menos do que a generalização do que acabamos de ver no exemplo.

Só tem uma coisinha diferente dos exemplos. Faltou falar que definimos autovetor como um vetor não nulo, então o vetor nulo nunca poderá ser autovetor mesmo satisfazendo a condição A b = λ b !!

Antes de seguirmos em frente vamos ver algumas observações importantes sobre autovalores e autovetores:

  • Só faz sentido falarmos de autovetores e autovalores em matrizes quadradas!
  • Autovalores e autovetores sempre estão juntos! Não existe um autovalor que não esteja associado a um autovetor e vice-versa.
  • Cada autovetor só pode estar associado a um único autovalor. O que se você pensar bem faz completo sentido, já que uma transformação não pode retornar duas vezes um vetor e três vezes ele ao mesmo tempo né.
  • λ pode ser zero, mas v não! Isso decorre da observação acima. Se v = ( 0,0 ) fosse um autovetor ele estaria associado a infinitos autovalores!
  • Por outro lado, nada impede que um autovalor esteja associado a mais de um autovetor! Quando isso acontece, dizemos que o autovalor tem multiplicidade n , onde n é a dimensão dos autoespaços aos quais o autovalor está associado.
  • Autovetores associados a autovalores diferentes sempre serão L I !
  • Se te pedirem para provar que um vetor é um autovetor, não basta provar somente que A b = λ b ! É necessário provar que b 0 também! Não se esqueça disso!
  • Até agora, somente usamos vetores pertencentes ao R n como autovetores! Mas se por acaso matrizes e polinômios satisfizerem as condições dadas, eles também serão autovetores!

Autoespaços

Agora repara uma coisa só. Vamos pegar o vetor ( 2,0 ) e aplicar naquela nossa matriz. Assim:

2 0 0 1 2 0 = 4 0 = 2 2 0

Caramba! O vetor ( 2,0 ) também é um autovetor associado ao autovalor λ = 2 ! É, mas como já tínhamos visto antes, ( 2,0 ) e ( 1,0 ) são múltiplos. E repare, também, que se a gente pegar quaisquer outros múltiplos de ( 1,0 ) , eles “sempre sairão dobrados”, ou seja, serão autovetores associados ao autovalor λ = 2 .

Então vamos ter infinitos autovetores?? Sim! Sempre!! VOCÊ NUNCA IRÁ ACHAR APENAS UM ÚNICO AUTOVETOR! VOCÊ SEMPRE TERÁ UM ESPAÇO GERADO DE AUTOVETORES!!

Então os autovetores associados ao autovalor λ = 2 são s p a n 1,0 . E para λ = 1 a mesma coisa! Os seus autovetores são s p a n 0,1 .

Observe que o vetor nulo está contido no autoespaço de qualquer autovalor, mesmo que os autovetores de λ não possam ser nulos, por definição. O vetor nulo satisfaz a definição de autoespaço, mas o vetor nulo não satisfaz a definição de autovetor.

Logo, podemos concluir que o autoespaço de um autovalor de λ é diferente do conjunto de autovetores de λ , já que um tem o vetor nulo e o outro não ;)

Obs.: A soma da dimensão dos autoespaços de uma matriz será sempre menor ou igual à dimensão do seu domínio (ou contradomínio, ela é quadrada né :p)! Quando a soma da dimensão dos autoespaços da matriz for igual à dimensão do seu domínio, dizemos que temos uma base de autovetores.

Autovalor zero

Agora, vamos pegar outra matriz, por exemplo:

A = 1 - 1 0 1 - 1 0 2 - 2 0

Vamos achar o seu núcleo. Para isso, resolvemos o sistema aumentado:

1 - 1 0 1 - 1 0 2 - 2 0 0 0 0 e s c a l o n a n d o 1 - 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Portanto temos:

x - y = 0 x = y

Assim, nosso núcleo será:

y , y , z = y 1,1 , 0 + z 0,0 , 1

N u c A = s p a n 1,1 , 0 , 0,0 , 1

Pera mas o núcleo não são os caras do domínio que satisfazem A b = 0 ? Então podemos interpretar como A b = 0 b = 0 . E assim, os vetores do núcleo SÃO SEMPRE OS AUTOVETORES ASSOCIADOS AO AUTOVALOR λ = 0 .

Então, se λ é nulo, os autovetores associados a λ = 0 são exatamente os elementos do N u c A .

Daí, chegamos à conclusão de que se A possui um autovalor zero ( λ = 0 ) , então N u c A 0 . E, portanto, A não é injetiva.

Basicamente o último fato acima nos diz que, se tem um autovalor zero, então tem que ter gente no núcleo associado a esse autovalor, ou seja, os autovetores.

Se liga num bizu que pode te ajudar muito na prova:

Expandir

Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4

Enunciado

Em cada item determine se v é autovetor de A .

a   v = 1 4 e A = - 1 1 - 1 8

b   v = 4 - 3 1 e A = 3 7 9 - 4 - 5 1 2 4 4

Resolução

Enunciado

Seja A = 2 0 1 0 1 0 - 2 0 5 e seja v = v 1 , v 2 , v 3 um autovetor de A associado ao autovalor 4 . Se v 1 = 1 , quanto vale v 3 ?

a   2

b   3

c   4

d   5

Resolução

Enunciado

Seja A uma matriz 3 × 3 , não-nula, tal que a terceira coluna é igual a soma das duas primeiras. Assinale abaixo um autovetor de A :

a   1 , - 1,1 T

b   1,1 , - 1 T

c   1,1 , 2 T

d   1,1 , - 2 T

Resolução

Enunciado

A matriz A 3 × 3 tem três autovalores distintos, λ 1 , λ 2 e λ 3 . Os vetores v = 1,1 , 0 e u = 0,1 , 1 são autovetores associados a λ 1 e λ 2 respectivamente. Assinale abaixo o vetor que poderia ser um autovetor associado a λ 3 :

( a ) - 1,0 , 1

( b ) 2,1 , - 1

( c ) 2,3 , 1

( d ) 1 , - 2,1

Resolução

Videoaulas Curtinhas

Aulão de Autovalores, Autovetores e Diagonalização

Aulão de Autovalores, Autovetores e Diagonalização
Saia do zero para a aprovação em
2h03min

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