Resumão Completo

Autovalores e Autovetores de uma T.L.

Já sabemos como calcular os autovetores e autovalores de uma matriz. Mas lembra que toda matriz pode ser representada por uma T L ? Então, como calcular os autovalores e autovetores de uma T L ?

Bom, é mais simples do que você imagina. Quando associamos um autovalor ou autovetor a uma matriz, estamos nos referindo a matriz que representa uma transformação T indo da base canônica para a canônica.

Primeiramente, podemos reescrever aquela definição que demos de autovetor e autovalor usando transformação no lugar de matriz. No fundo, é a mesma coisa que vimos com matrizes. Se você aplica uma transformação em algum vetor e ela “cospe” um múltiplo do vetor, então esse vetor é um autovetor. E o valor que foi multiplicado por ele é um autovalor. Se liga:

Bom, vamos usar a T L abaixo como exemplo.

T x , y = ( 2 x , y )

Para encontrarmos seus autovalores primeiramente basta calcular as raízes do polinômio característico. Lembra dele? Esse aqui oh:

  p λ = det T - λ I

Só que agora temos T , que é a matriz que representa a transformação na base canônica. Assim sendo:

p λ = det T ε - λ I d ε = det T ε - λ I

p λ = det T ε - λ I d ε

OBS: Lembre-se que I é a matriz identidade e I d a transformação identidade.

Então, para encontrar os autovalores basta fazer p λ = 0 .

Vamos testar para a nossa T x , y = ( 2 x , y ) .

T ε = 2 0 0 1

2 0 0 1 - λ 1 0 0 1 = 2 - λ 0 0 1 - λ

det 2 - λ 0 0 1 - λ = 0

2 - λ 1 - λ = 0

Logo, λ = 2 e λ = 1 !!

E para achar os autovetores?

Como já vimos, podemos usar a forma matricial fazendo:

A u = λ u

o u

A - λ I u = 0

Ou então podemos usar agora a T L . Basta fazer:

T u = λ u

Vamos usar essa para λ = 2 :

T x , y = λ x , y

2 x , y = 2 x , y

2 x , y = 2 x , 2 y

0 , - y = 0 y = 0

Assim, nossos autovetores são x , 0 = x ( 1,0 ) . Que é a mesma coisa que s p a n 1,0 . Era de se esperar que desse infinitos valores, já que temos um autoespaço né?

Agora vamos um método de matrizes para λ = 1 :

2 - λ 0 0 1 - λ x y = 2 - 1 0 0 1 - 1 x y

1 0 0 0 x y = 0

Resolvendo o sistema achamos que x = 0 , e portanto, nossos autovetores são 0 , y = y ( 0,1 ) .

Repare que a fórmula usada acima foi basicamente:

T ε - λ I d ε u ε = 0

Caso você não tenha a matriz na base canônica, é só usar a mesma fórmula acima só que para outra base qualquer:

T β - λ I d β u β = 0

Tanto o polinômio característico, quanto os autovalores da T L serão os mesmos. A única coisa que vai mudar é que você não vai encontrar o autovetor direto, e sim as coordenadas do autovetor na base β . Preste bastante atenção nisso ;)

Proposições com Autovalores e Autovetores

Bom galera não tem nada novo nesse capítulo. Vamos apenas nos limitar a usar as propriedades de autovalores e autovetores para provar coisas. Vamos ver um exemplo que é o melhor jeito de entendermos.

Sejam u e v autovetores, definimos w = α u + β v com w 0 ,   α ,   β R . Temos que u e v estão associados ao mesmo autovalor λ . Prove que w é autovetor associado a λ .

Taí o problema que temos que resolver. Vamos dar uma traduzida no que ele quer? Ele quer que a gente prove que, se tivermos dois autovetores associados ao mesmo autovalor λ , qualquer vetor gerado pela C L desses dois autovetores também será um autovetor associado à λ .

Vamos começar a usar as propriedades que conhecemos. Sabemos que u e v são autovetores de uma matriz, ou de uma T L . Vamos chamar essa T L de T . Logo, pelo enunciado, temos:

T u = λ u

T v = λ v

Então queremos que:

T α u + β v = λ α u + β v

Pela linearidade, temos:

α T u + β T v = λ α u + β v

α λ u + β λ v = λ α u + β v

λ α u + β v = λ α u + β v

Opa, os dois lados da igualdade batem, então está provado ;)

Basicamente é isso aí que você vai fazer. Vamos dar uma praticada nos exercícios!

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Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5 6 7

Enunciado

Sejam α = { 1,1 , 0 ,   1,0 , 1 ,   0,1 , 0 } uma base de R 3 e T : R 3 R 3 a transformação linear tal que:

  • T 1,1 , 0 = 0 , - 2,0
  • T 1,0 , 1 = 2,0 , - 2
  • T 0,1 , 0 = - 1 , - 2,0

a   Encontre T α

b   Encontre o polinômio característico de T

c   Encontre os autovalores de T

d   Encontre os autovetores de T

Resolução

Enunciado

Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações abaixo:

  1. T : R 2 R 2 ,   T x , y = ( x + 2 y , - x + 4 y )
  2. T : R 3 R 3 ,   T x , y , z = x , - 2 x - y , 2 x + y + 2 z

Resolução

Enunciado

Se λ 1 = 4 e λ 2 = 2 são valores próprios de um operador linear T : R 2 R 2 associados aos vetores próprios u = 2,1 e v = - 1,3 , respectivamente, determinar T 3 u - v

Resolução

Enunciado

Seja T : R 2 R 2 uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor u = 2,1 e triplica o comprimento do vetor v = 1,2 , sem alterar as direções nem inverter os sentidos.

a   Calcular T 0,3

b   Qual a matriz do operador T na base 2,1 , 1,2 ?

Resolução

Enunciado

Mostre que dois autovetores associados a autovalores diferentes são linearmente independentes.

Dica: suponha que não sejam linearmente independentes e tente chegar a alguma contradição.

Resolução

Enunciado

Suponha que λ é autovalor de A invertível e μ autovalor de B com mesmo autovetor v .

Determine o autovalor associado ao autovetor v de:

a   A 2

b   A - 1

c   A B

d   C = a A + b B   c o m   a , b R

Resolução

Enunciado

Se T : R n R n é uma transformação linear tal que para quaisquer dois vetores u , v R n satisfaz:

T u , v = u , T v

Se w 1 e w 2 são autovetores associados respectivamente aos autovalores λ 1 e λ 2 com λ 1 λ 2 , então w 1 e w 2 são ortogonais.

  1. Defina os conceitos que apareçam sublinhados na afirmação anterior.
  2. Prove que dita afirmação é verdadeira.

Resolução

Videoaulas Curtinhas

Aulão de Autovalores, Autovetores e Diagonalização

Aulão de Autovalores, Autovetores e Diagonalização
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