Resumão Completo

Construindo Matrizes e Tranformações

Fala galera, lembra de quando vimos como os autovalores e autovetores podem nos dizer o que uma matriz faz?

Por exemplo, se um autoespaço estava associado ao autovalor 0 e seu complemento ortogonal estivesse associado ao autovalor 1 , nós teríamos uma projeção. Então, os autovalores e autovetores nos permitiam de fato entender o que está por trás de um monte de números em uma matriz.

Tá, mas onde eu quero chegar com isso? Agora que temos a diagonalização não precisamos mais nos limitar a dizer o que alguma matriz faz! Agora nós podemos montar a matriz ou T L que quisermos!!

Vamos ver um exemplo de como fazemos isso.

Vamos construir a matriz reflexão em torno do plano 3 x - y + 2 z = 0 no R 3

Bom, como fazemos isso? Primeiro devemos lembrar que uma reflexão sempre terá dois autovalores: λ = - 1 e λ = 1 .

Se estamos refletindo em torno do plano 3 x - y + 2 z = 0 , então os vetores desse plano não serão alterados. Logo, estarão associados ao autovalor 1 . Vamos descobrir quais são eles xD

3 x - y + 2 z = 0 y = 3 x + 2 z

Então os vetores do plano tem essa cara aqui:

x , 3 x + 2 z , z = x 1,3 , 0 + z 0,2 , 1

Então uma base para esse autoespaço são os autovetores 1,3 , 0 e 0,2 , 1 .

Por fim, o complemento ortogonal desse plano será o autoespaço associado ao autovalor - 1 . Como estamos no R 3 ele será uma reta. Uma base para essa reta é o vetor cujas coordenadas são dadas pelos coeficientes da equação do plano:

3 x - y + 2 z = 0

3 , - 1,2

Opa, então resumindo tudo, temos os autovetores 1,3 , 0 e 0,2 , 1 associados ao autovalor λ = 1 . E o autovetor 3 , - 1,2 associado ao autovalor λ = - 1 .

Agora vem a parte da diagonalização. Vamos jogar essas informações na nossa fórmula A = P D P - 1 :

D = 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1

P = 1 0 3 3 2 - 1 0 1 2

P - 1 = 5 14 3 14 - 3 7 - 3 7 1 7 5 7 3 14 - 1 14 1 7

Agora calculamos nossa matriz:

A = 1 0 3 3 2 - 1 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1 5 14 3 14 - 3 7 - 3 7 1 7 5 7 3 14 - 1 14 1 7 = 2 7 3 7 - 6 7 3 7 6 7 2 7 - 6 7 2 7 3 7

E está aí a matriz que faz o que a gente queria!! Ah e seu eu quisesse a T L ? Aí é só aplicar o vetor x , y , z na matriz:

T x , y , z = 2 7 3 7 - 6 7 3 7 6 7 2 7 - 6 7 2 7 3 7 x y z = 1 7 2 x + 3 y - 6 z 3 x + 6 y + 2 z - 6 x + 2 y + 3 z =

= 1 7 2 x + 3 y - 6 z , 3 x + 6 y + 2 z , - 6 x + 2 y + 3 z

E é isso aí galera. Maneiro né? ;)

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Exercícios Passo a Passo

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Enunciado

Determine a decomposição espectral de T se:

a   T : R 3 R 3 uma projeção ortogonal no plano x - 2 y - z = 0

b   T : R 4 R 4 uma projeção ortogonal em H = 1,2 , 3,4 , 2,3 , 4,5

Obs.: Não precisa calcular as inversas.

Resolução

Enunciado

Encontre a matriz que produz as transformações abaixo:

a   Uma reflexão em torno da reta x = 3 y no R 2

b   Uma projeção na reta gerada pelo vetor 1 , - 1,0

c   Uma projeção no plano x + y - w = 0 y - z = 0 no R 4

Resolução

Aulão de Autovalores, Autovetores e Diagonalização

Aulão de Autovalores, Autovetores e Diagonalização
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