Resumão Completo

Elevando Matrizes

Bom, até agora eu disse um monte de coisas sobre diagonalização: matrizes de autovalores, autovetores, teorema espectral. Mas... pra que serve isso tudo?

Você deve saber como elevar matrizes a um expoente não? Por exemplo se:

A = 1 2 2 4

Então:

A 2 = A A = 1 2 2 4 1 2 2 4 = 5 10 10 20

Tá, mas e se eu quisesse elevar essa matriz a 10 ??? Você iria multiplicar ela 10 vezes no braço??? Acho que não né?

Mas olha pra matriz ali em cima, nós sabemos que ela é simétrica né? Então pelo teorema espectral sabemos que a matriz é diagonalizável e portanto podemos escrevê-la da forma:

A = P D P - 1

Mas se eu elevar ao quadrado dos dois lados:

A 2 = A A = P D P - 1 P D P - 1 = P D P - 1 P I D P - 1

A 2 = P D D P - 1 = P D 2 P - 1

Caramba então só foi necessário elevar a matriz diagonal ao quadrado!!! E isso não funciona só quando elevamos ao quadrado, podemos dizer que se uma matriz é diagonalizável, essa mesma matriz elevada à um expoente é igual a:

A k = P D k P - 1

Po legal, mas ainda temos que multiplicar k a matriz diagonal... Bom, vamos voltar pro exemplo e antes de tudo vamos calcular os autovalores e autovetores:

Fazendo algumas contas achamos que os autovalores são λ = 0 ,   λ = 5 e seus respectivos autoespaços são:

V λ = 0 = s p a n - 2,1

V λ = 5 = s p a n 1 2 , 1

Assim podemos dizer que:

D = 0 0 0 5

P = - 2 1 2 1 1

P - 1 = - 2 5 1 5 2 5 4 5

Tá beleza, até ai tudo bem. Vamos então elevar ao quadrado a matriz diagonal:

D 2 = 0 0 0 25

Repare que ela deu exatamente cada um dos autovalores ao quadrado!!

0 2 = 0

5 2 = 25

E isso não é por acaso! Sempre que tivermos uma matriz diagonal elevada a um expoente, basta elevar cada um dos seus elementos da diagonal ao mesmo expoente:

D k = λ 1 k 0 0 0 0 λ 2 k 0 0 0 0 λ n - 1 k 0 0 0 0 λ n k

Assim, vamos tentar elevar a matriz a 10 !!

A 10 = - 2 1 2 1 1 0 0 0 5 10 - 2 5 1 5 2 5 4 5

A 10 = 1953125 3906250 3906250 7812500

Pode confiar, dá isso aí mesmo haha. Relaxa que nos exercícios não vão ter valores bizarros assim não xD

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Exercícios Passo a Passo

1 2 3

Enunciado

Calcule:

a   A 10 para A = 1 0 - 1 2

b   A para A = 13 14 4 14 24 18 4 18 29

Resolução

Enunciado

Sejam P = 5 7 2 3 , D = 2 0 0 1 e A = P D P - 1 . Calcule A 8

Resolução

Enunciado

Calcule - 1 7 - 1 0 1 0 0 15 - 2 100

Resolução

Aulão de Autovalores, Autovetores e Diagonalização

Aulão de Autovalores, Autovetores e Diagonalização
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2h03min

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