Resumão Completo

Espaços Complexos

Os Números Complexos

Se você, assim como eu na época que estudei isso, fez logo essa cara ao ver o nome da matéria...

Calma, não se desespere meu amigo. Os espaços complexos não são tão complexos assim não. Você já chegou aqui e vai dar de letra nessa matéria. É só vir com a gente.

Primeiro, vamos lembrar o que são números complexos. Se você se lembrar bem deles lá do ensino médio pode pular essa parte. Se não, se liga aí.

Bem galera, os números complexos surgiram pra gente resolver alguns tipos de equação, tipo:

x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1

Vocês devem ter sacado que não existe nenhum número real que multiplicado por ele mesmo dá - 1 né. Mas se a gente definir:

i = - 1

Acabou. Fácil né hahaha. Chamamos então i de unidade imaginária e seguimos com a vida.

Um número complexo é então qualquer coisa que pode ser escrita como x + i y , com x , y R . O conjunto C dos números complexos é então formado por todos os números desse tipo. Alguns exemplos de complexos são:

  • i
  • 2 + 3 i
  • 4

Sim!! Os números reais também são números complexos, é só jogar y = 0 . Pra fixar: R C . Veja também que pra dois números complexos serem iguais devemos ter:

z 1 = x 1 + i y 1 z 2 = x 2 + i y 2 z 1 = z 2 x 1 = x 2 y 1 = y 2

Ou seja, as partes reais e imaginárias são separadas. Pra dois complexos serem iguais, as suas partes têm que ser iguais separadamente também.

Pra gente somar complexos a gente faz assim:

x 1 + i y 1 + x 2 + i y 2 = x 1 + x 2 + i ( y 1 + y 2 )

E pra multiplicar:

x 1 + i y 1 x 2 + i y 2 = x 1 x 2 + i x 1 y 2 + i x 2 y 1 + i 2 y 1 y 2

E como i 2 = - 1 :

x 1 + i y 1 x 2 + i y 2 = x 1 x 2 - y 1 y 2 + i ( x 1 y 2 + x 2 y 1 )

Alguns exemplos:

  • 2 + 3 i + - 1 + i = 1 + 4 i
  • 2 + 3 i - 1 + i = - 2 + 2 i - 3 i + 3 i 2 = - 5 - i

Pra terminar, vamos definir o número conjugado z - de um complexo z :

x = x + i y z - = x - i y

Por exemplo, o conjugado de 2 + 3 i é 2 - 3 i . Com isso a gente já consegue fazer contas com os complexos

Espaços complexos

E agora, o que são os espaços complexos?

Bem, os espaços complexos são espaços vetoriais nos quais, invés de fazermos contas usando somente números reais, usamos números complexos. Óbvio né? Usando essa definição, quase tudo que a gente estudou pros espaços reais também vale pros complexos, subespaços, bases, transformações e por aí vai.

Por exemplo, podemos definir um operador sobre o espaço complexo C ² como:

T z 1 , z 2 = 1 + i z 1 - 2 z 2 , i z 1 + 3 - i z 2

Lembrando que operador é apenas uma transformação linear que tem o domínio igual ao conta-domínio.

A matriz dessa transformação na base canônica de C ² , C a n = { 1,0 , 0,1 } , fica:

T C a n = 1 + i - 2 i 3 - i

Igualzinho a gente sempre fez.

Obs: Podemos considerar C ² como um espaço real também. Aí a base canônica de C ² vai ser C a n = 1,0 , i , 0 , 0,1 , 0 , i . Com essa consideração, qualquer que seja o operador T , sua matriz só poderá ter valores reais. Em geral, se um espaço é de dimensão n , sobre C , ele será de dimensão 2 n sobre R .

Uma diferença dos espaços reais pros complexos é a definição de produto interno.

Se a definição fosse a mesma, teríamos um problema por exemplo com o produto interno canônico em C ¹ :

i , i = i . i = - 1 < 0

Que vai contra o axioma:

u , u 0

Então, pra consertar esses problemas, no caso complexo, o axioma da simetria:

u , v = v , u

Fica um pouco diferente:

u , v = v - , u

Observe que esse axioma engloba o antigo já que se v é real temos v - = v . O produto interno canônico no C n é então:

x 1 , x 2   , , x n , ( y 1 , y 2 , , y n ) = x 1 y 1 - + x 2 y 2 - + + x n y n -

Por exemplo, o produto interno de z 1 = ( 1 + i , 2 + 3 i ) e z 2 = ( - 2 - i , i ) é:

1 + i , 2 + 3 i , - 2 - i , i = 1 + i - 2 + i + 2 + 3 i - i

1 + i , 2 + 3 i , ( - 2 - i , i ) = - 2 + i - 2 i + i 2 - 2 i - 3 i 2 = - 3 i

Outra coisa que é diferente nos espaços complexos é o Teorema Espectral, mas não vem ao caso descobrirmos como fica ele, só se lembre de não usá-lo se aparecerem os i ' s na questão beleza.

Se liga agora nos exercícios pra gente praticar um pouquinho a fazer contas com os complexos.

Expandir

Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4

Enunciado

Calcule T ( v ) considerando v = ( - 2 + i , 3 ) e:

T c a n = 2 3 i 2 + i - 5 + i

Resolução

Enunciado

Calcule T ( v ) considerando v = ( i , 1 + i ) e:

T c a n = 1 - i 3 i 1 2 - i

Resolução

Enunciado

Sendo , : C 2 C o produto interno canônico de C ² , calcule:

3 + i , 2 - i , ( 1 + 3 i , 1 )

Resolução

Enunciado

Sendo , : C 2 C o produto interno canônico de C ² , calcule:

z 1 , z 2

Sendo z 1 = ( 1 + i , i ) e z 2 = ( 1 - i , - i )

Resolução

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