Resumão Completo

Limite de Matrizes

Hã o que é isso?? Limite e matrizes juntos??? Não se espante que é mais tranquilo do que você pensa!

Você já pensou em calcular o limite de:

lim k A k

Provavelmente não, porque ninguém normal pensaria nisso, hahah. Mas você tem alguma ideia de como fazer isso??? Bom já que esse é o capítulo de diagonalização eu iria por aí.

Vamos supor que:

A = 7 4 - 10 - 17 3

Tá, mas como se eleva uma matriz a um expoente mesmo? Ahh sim usando diagonalização! Calculando os autovalores e autovetores, vemos que:

λ = 1   e   λ = 1 3

E os autoespaços são:

V λ = 1 = s p a n 2 , - 3

V λ = 1 3 = s p a n - 3,5

Portanto:

P = 2 - 3 - 3 5  

D = 1 0 0 1 3

P - 1 = 5 3 3 2

Tá, então sabemos que:

A k = P D k P - 1

D k = 1 k 0 0 1 k 3 k

Aplicando o limite:

lim k A k = lim k P D k P - 1

lim k A k = P lim k D k P - 1

E assim, basta calcular o limite na matriz diagonal, ou seja, o limite em cada um de seus elementos na diagonal. Como:

lim k 1 k = 1

lim k 1 3 k = 0

Podemos dizer que:

lim k D k = 1 0 0 0

lim k A k = P 1 0 0 0 P - 1

lim k A k = 10 6 - 15 - 9

Mas se por caso os autovalores tivessem dado número diferente de 1 , ou de números entre 0 e 1 , por exemplo: λ = 3 e λ = 5

lim k D k = 3 k 0 0 5 k

O que daria infinito nas diagonais! E você poderia pensar, ah então o limite não existe né?! Só que não meu caro leitor! Nesse caso, como o limite vai pra infinito entra um detalhe matematesco na jogada! Aquela macetada de passar o limite pra dentro deixa de valer! Ou seja, não podemos fazer isso: lim k A k = lim k P D k P - 1

lim k A k = P lim k D k P - 1

Logo, teríamos que resolver o produto P D k P - 1 em função de k e só depois fazer o limite ;)

Vamos ver um exemplo desse caso nos exercícios então partiu praticar!

Expandir

Exercícios Passo a Passo

1 2

Enunciado

Calcule:

a   lim k 0.6 0.2 0.4 0.8 k

b   lim k 0.4 0.3 0.6 0.7 k

Resolução

Enunciado

Seja u = ( 1 , 2 , 2 ) e A = 1 1 1 0 1 1 0 - 1 1 1 0 0 0 - 2 0 0 0 4 1 - 1 0 0 1 2 - 1 2 0 1 2 1 2 . Para qual direção converge o produto A k u , quando k tende a infinito?

a   Não converge

b   s p a n 1,3 , 2

c   s p a n 10,1 , 12

d   s p a n { 1,1 , 1 }

Resolução

Aulão de Autovalores, Autovetores e Diagonalização

Aulão de Autovalores, Autovetores e Diagonalização
Saia do zero para a aprovação em
2h03min

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