Resumão Completo

Projeção e Reflexão

Já vimos o que são autovalores e autovetores e como calcular eles. Aí você se pergunta:

Pô, tudo bem, eu ponho um vetor e sai um múltiplo dele, e aí? Pra que isso serve?

E aí que você pode entender o significado de uma matriz só olhando pros autovalores e autovetores dela! Olha essa matriz aqui, por exemplo:

- 1 0 0 1

Calculando os autovetores e autovalores dela chegamos ao vetor ( 1,0 ) associado ao autovalor λ   =   - 1 e ao autovetor ( 0,1 ) associado ao autovalor λ   =   1 (calcula aí!). Tá, mas o que isso quer dizer? Quer dizer que essa matriz é uma reflexão em torno do eixo y !!

Mas da onde você tirou isso cara???

Veja bem, o que essa matriz faz é pegar as coordenadas x de um vetor e multiplicar por - 1 enquanto mantém as coordenadas y inalteradas!

Então, se aplicarmos ela ao vetor ( 3,2 ) esperamos ter como retorno o vetor ( - 3,2 ) . Saca só:

- 1 0 0 1 3 2 = 3 - 1 + 2 0 3 0 + 2 1 = - 3 2

E é isso o que acontece! Se ainda não conseguiu visualizar, olha as imagens aqui em baixo! A matriz é aplicada nos vetores azuis e leva nos vetores laranja.

Agora olha essa:

1 2 1 2 1 2 1 2

Essa matriz possui o autovetor ( 1,1 ) associado ao autovalor 1 e o autovetor ( - 1,1 ) associado ao autovalor 0 (calcula aí!). Então o que você acha que ela faz?

Se você disse que ela é uma projeção sobre a reta x = y você está completamente correto!!

Essa matriz mantém inalterada a componente de um vetor que está sobre a reta x = y e zera a componente sobre x = - y (ortogonal a x = y ). Olha as imagens ai em baixo! Novamente, a matriz é aplicada no vetor azul e leva no laranja.

Demais né?! Agora se te perguntarem pra que uma matriz serve você já sabe como descobrir!

Autovetores e Autovalores da Projeção e da Reflexão

Acabamos de ver alguns exemplos de matrizes projeção e reflexão e vimos seus autovalores e autovetores. Agora vamos dar uma generalizada. Imagine uma base β formada pela base de um conjunto H com a base de H (espaço perpendicular à H ).

Se essa matriz representar a transformação de projeção, os vetores da base de H serão autovetores associados ao autovalor 0 ou 1 . Já os vetores da base de H serão autovetores associados ao autovalor 1 ou 0 .

Ou seja, quando um for 0 o outro é 1 e vice versa. Com o conhecimento que já temos, fica claro que isso não é coincidência. Se a projeção leva os vetores de um espaço no 0 ela manterá os vetores do espaço ortogonal inalterados (autovalor 1 )!!

O espaço associado ao autovalor 1 será sempre o espaço aonde se está projetando!

Por outro lado, se essa matriz representar a transformação de reflexão, os vetores da base de H serão autovetores associados ao autovalor - 1 ou 1 . Já os vetores da base de H serão autovetores associados ao autovalor 1 ou - 1 .

Ou seja, quando um for - 1 o outro é 1 e vice versa. Se pensarmos novamente no motivo disso veremos que se a reflexão leva os vetores de um espaço no inverso deles (autovalor - 1 ), ela manterá os vetores do espaço ortogonal inalterados (autovalor 1 )!!

O espaço associado ao autovalor 1 será sempre o espaço em torno do qual se está refletindo!

Podemos resumir isso na tabela abaixo:

Um macete interessante é que podemos saber a dimensão do espaço sobre o qual a matriz reflete ou projeta apenas pelo traço dela! Sabemos que o traço é a soma dos autovalores, e sabemos que a projeção tem apenas autovalores 1 e 0 , e a reflexão tem apenas autovalores - 1 e 1 .

Imagine que você tem uma matriz de projeção 5 × 5 com traço 3 . Os autovalores tem que ser 1 ,   1 ,   1 ,   0   e   0 ! Logo, você está projetando num espaço de dimensão 3 !

E se tivermos uma matriz reflexão 4 × 4 com traço - 2 . Os autovalores tem que ser - 1 ,   - 1 ,   - 1   e   1 ! Então estaremos refletindo por uma reta!

Se você for curioso(a), você estará se perguntando agora quais são os autovalores de uma matriz rotação. Afinal as três principais transformações geométricas que vimos foram a projeção, a reflexão e a rotação, certo?

Bom, em geral as matrizes de rotação possuem autovalores complexos. No R 3 ela normalmente terá o autovalor 1 (a reta em torno da qual estamos rodando) e um par de autovalores complexos (sim, autovalores complexos sempre vêm em pares). Já no R 2 em geral ela terá um par de autovalores complexos.

Obs.: Se a matriz possui apenas autovalores complexos isso significa que ela não preserva nenhuma direção e, portanto, não possui autovetores!

O único caso em que elas não terão autovalores complexos é quando forem uma rotação de 180 ° ou de 360 ° . Nesses casos elas assumirão o papel respectivamente de uma matriz reflexão e da matriz identidade ;)

Expandir

Exercícios Passo a Passo

1 2 3

Enunciado

Calcule os autovalores e autoespaços associados de:

a   uma reflexão no plano 3 x - 2 y + z = 0 em R 3 ;

b   uma projeção ortogonal numa reta em R 3 com P 1 , - 1,0 = 1 , - 1,0 ;

c   P : R 4 R 4 uma projeção ortogonal na reta gerada por 1,2 , - 1,1 .

Resolução

Enunciado

Seja A a projeção ortogonal sobre a direção do vetor ( 0 , 1 ) seguida de uma expansão de 2 na direção ( 1,0 ) .

Os autovalores de A são:

( a ) 1 e 1

( b ) 2 e 0

( c ) 2 e 1

( d ) 1 e 0

Resolução

Enunciado

Seja A a matriz 3 × 3 que representa uma reflexão através do plano x + 2 z = 0 .

Marque a alternativa correta:

a   Os autovalores de A são 0 e 1

b   Os autovalores de A são - 1 ,   0 e 1

c   Os autovalores de A são - 1 e 0

d   Os autovalores de A são - 1 e 1

Resolução

Aulão de Autovalores, Autovetores e Diagonalização

Aulão de Autovalores, Autovetores e Diagonalização
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