Resumão Completo

Subespaços Invariantes

Você lembra o que é uma transformação linear? É uma função só que com as condições da linearidade, e aí da pra fazer um monte de coisas com vetores, e outros espaços vetoriais.

Bom, vou fazer uma pergunta meio aleatória agora.

Sendo T : U U , existe algum subespaço V U que satisfaça T V = V ??

O quer dizer T ( V ) ??? Bom, acho que fica meio implícito e já deve ter aparecido em algumas questões ou livros, mas, se não, vamos explicar agora.

Por exemplo, se V = s p a n v 1 , v 2 , ou seja, V é gerado por v 1 e v 2 . O nosso T ( V ) seria: s p a n T v 1 ,   T v 2 . Sacou? Então, é só aplicar T em cada um dos geradores do espaço em questão.

Agora que já entendemos a pergunta, vamos pensar em algum exemplo.

Vamos primeiro pensar em uma transformação.

T x , y = ( 2 x , y )

Vamos pegar essa aí. Agora falta definir nosso espaço V . Vamos tentar para V = s p a n 1,0 . Aplicando a condição:

T V = s p a n T 1,0

T V = s p a n 2,0

Ihhh caramba deu diferente, então não é igual né?

Lembre-se da definição de s p a n ! Podemos ver que os vetores ( 1,0 ) e ( 2,0 ) são múltiplos, e, portanto geram a mesma reta. Assim concluímos que s p a n 1,0 = s p a n 2,0 .

Logo, podemos afirmar que:

T V = V

Chamamos os espaços que satisfazem essa condição de subespaços invariantes. Vamos formalizar.

Agora vamos ver como essa coisa que acabamos de aprender se relaciona com autovalores e autovetores!

Na verdade quando falamos de subespaços invariantes, estamos falando de autoespaços!!

Repare só! Se pegarmos o autoespaço:

V λ = 2 = s p a n 1,0

T V λ = 2 = s p a n T 1,0 = s p a n 2,0 = s p a n 1,0

Fato: Autoespaços são subespaços invariantes.

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Exercícios Passo a Passo

1 2 3

Enunciado

Construa uma transformação linear T : R 3 R 3 satisfazendo as seguintes condições:

  • Algum subespaço U R 3 tal que dim T U = 1
  • T U U

Resolução

Enunciado

Seja T : R 3 R 3 a reflexão (espelhamento) em relação ao plano π e

T γ = - 1 0 - 2 2 1 2 0 0 1

A matriz de T na base γ = { v 1 ,   v 2 , v 3 } de R 3 .

Dê um exemplo de um subespaço vetorial H de R 3 tal que as duas seguintes condições sejam satisfeitas:

  • H não é autoespaço de T , mas é invariante por T
  • dim H = 2

Resolução

Enunciado

Seja λ R um autovalor de T : U U . O autoespaço de T associado a λ é o conjunto

V λ = u U T u = λ u }

Prove que V λ é um subespaço invariante de T .

Resolução

Aulão de Autovalores, Autovetores e Diagonalização

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