Resumão Completo

Subespaços Invariantes

Você lembra o que é uma transformação linear? É uma função só que com as condições da linearidade, e aí da pra fazer um monte de coisas com vetores, e outros espaços vetoriais.

Bom, vou fazer uma pergunta meio aleatória agora.

Sendo T : U U , existe algum subespaço V U que satisfaça T V = V ?? Ou seja, que o espaço gerado pelos vetores depois de terem passado pela transformação linear seja o mesmo de antes

O que é o subespaço T ( V ) ??? Bom, acho que fica meio implícito e já deve ter aparecido em algumas questões ou livros, mas, se não, vamos explicar agora.

Por exemplo, se V = s p a n 1,0 , ( 2,1 ) , ou seja, V é gerado por   ( 1,0 ) e ( 2,1 ) . O nosso T ( V ) seria: s p a n T 1,0 , T ( 2,1 ) . Sacou? Então, é só aplicar T em cada um dos geradores do espaço em questão.

Agora que já entendemos a pergunta, vamos pensar em algum exemplo de transformação.

T x , y = ( 2 x , 2 y )

T V = s p a n T 1,0 , T ( 2,1 )

T V = s p a n 2,0 , ( 4,2 )

Ihhh caramba deu diferente, então não é igual né?

Lembre-se da definição de s p a n ! Podemos ver que o conjunto de vetores { 1,0 , ( 4,2 ) } é múltiplo de { 2,0 , ( 4,2 ) } e, portanto, geram o mesmo espaço (plano). Assim concluímos que s p a n 1,0 , ( 2,1 ) = s p a n 2,0 , ( 4,2 ) .

Logo, podemos afirmar que:

T V = V

Chamamos os espaços que satisfazem essa condição de subespaços invariantes. Vamos formalizar.

Agora vamos ver como essa coisa que acabamos de aprender se relaciona com autovalores e autovetores!

Na verdade quando falamos de subespaços invariantes, estamos falando de autoespaços! Lembra que os autovetores são aqueles que depois de aplicados na transformação, viram múltiplos dos vetores iniciais? Foi exatamente isso que aconteceu no nosso subespaço invariante.

Repare só! Se pegarmos o autoespaço:

V λ = 2 = s p a n 1,0 , ( 2,1 )

T V λ = 2 = s p a n T 1,0 , T ( 2,1 ) = s p a n 2,0 , ( 4,2 ) = s p a n 1,0 , ( 2,1 )

Fato: Autoespaços são subespaços invariantes.

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Exercícios Passo a Passo

1 2 3

Enunciado

Construa uma transformação linear T : R 3 R 3 satisfazendo as seguintes condições:

  • Algum subespaço U R 3 tal que dim T U = 1
  • T U U

Resolução

Enunciado

Seja T : R 3 R 3 a reflexão (espelhamento) em relação ao plano π e

T γ = - 1 0 - 2 2 1 2 0 0 1

A matriz de T na base γ = { v 1 ,   v 2 , v 3 } de R 3 .

Dê um exemplo de um subespaço vetorial H de R 3 tal que as duas seguintes condições sejam satisfeitas:

  • H não é autoespaço de T , mas é invariante por T
  • dim H = 2

Resolução

Enunciado

Seja λ R um autovalor de T : U U . O autoespaço de T associado a λ é o conjunto

V λ = u U T u = λ u }

Prove que V λ é um subespaço invariante de T .

Resolução

Aulão de Autovalores, Autovetores e Diagonalização

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