Resumão Completo

Teorema Espectral

Acabamos de ver como descobrir se uma matriz ou uma T L são diagonalizáveis ou não. Mas existe um caso particular no qual é muito mais fácil descobrirmos isso. E é sobre esse caso que trata o Teorema Espectral.

OBS: tanto faz falarmos de matrizes ou transformações lineares, pois afinal um é a mesma coisa que o outro. Se A é diagonalizável, sabemos que existe alguma T que é essa A em alguma base, e, portanto, se ela é diagonalizável todas as outras são também.

Vejamos a matriz abaixo:

A = 1 1 1 1

Observe que ela é simétrica (é como se a diagonal principal fosse um espelho!). Além disso, repare que os autovetores γ = 1,1 , 1 , - 1 são ortogonais mas não estão normalizados!!

1,1 , 1 , - 1 = 0

( 1,1 ) 1

( 1 , - 1 ) 1

Assim, vamos finalmente enunciar o teorema:

O que esse segundo item do teorema quer dizer?!

Basicamente, isso quer dizer que podemos escolher uma base de vetores ortonormais. Lembra que normalizar é só escolher um múltiplo desse vetor, só que com a norma 1 ? Então, no nosso exemplo poderíamos ter normalizado nossos autovetores. Mas NÃO É OBRIGATÓRIO!!

Tá mas pra que eu vou querer ter mais trabalho, e normalizar os autovetores? Se eles agora são ortonormais podemos botá-los em coluna na nossa matriz P !!! Tá, e daí?? Você lembra qual a definição de matriz ortogonal?

É aquela que possui suas colunas ortonormais! E é exatamente isso que vai acontecer com a nossa P , não é??

Tá, mas eu ainda não estou entendendo. A parada é que quando uma matriz é ortogonal, sabemos que sua inversa é igual a sua transposta!

Assim, se P é uma matriz ortogonal, e, portanto, seus vetores coluna são ortonormais, então:

P - 1 = P T

E assim, fica muito mais fácil de resolver as contas na mão! Visto que inverter uma matriz é um processo muito chato, enquanto transpor não xD.

Nesse caso, nossa matriz diagonal se torna:

D = P T A P

E nossa matriz A pode ser escrita por:

A = P D P T

Resumindo o teorema espectral:

  • A é diagonalizável;
  • PODEMOS (não é necessário), ortonormalizar os autovetores;
  • Se fizermos isso, P é ortogonal agora, e portanto, P - 1 = P T .

Outra coisa muito interessante sobre matrizes simétricas é que os autovetores associados a autovalores diferentes são sempre ortogonais!

OBS: Se desde o começo seus autovetores não são ORTOGONAIS (pode acontecer), você além de normalizá-los terá que ORTOGONALIZÁ-LOS! Para isso, utilize ou o processo de Gram-Schimdt ou o Produto Vetorial para vetores do R 3 . Se isso não cai na sua prova, ou seja, os seus vetores serão sempre ortogonais, não ligue para essa observação haha.

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Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4

Enunciado

Determinar uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e calcular P - 1 A P .

a   A = 5 3 3 5

b   A = 0 0 2 0 - 1 0 2 0 0

Resolução

Enunciado

Seja A = 1 - 1 - 1 1

a   Determine de A é diagonalizável.

b   Se ela for, apresente uma P e P - 1 que satisfaça a diagonalização.

Considere:

A = P D P - 1

Resolução

Enunciado

Para cada k real, considere a transformação T : R 3 R 3 dada por:

T x , y , z = k x + 2 y ,   2 x + k y + 2 z ,   2 y + k z

Existe um valor de k para qual T não seja diagonalizável?

Resolução

Enunciado

Considere T : R 3 R 3 dada por T x , y , z = x , y , z × 0 , a , 0 + ( 2 x + 2 a z , a y , 2 z ) , onde a R . Denotamos por ε a base canônica de R 3 .

a   Calcule a matriz T ε ε e determine se T é diagonalizável para qualquer valor a R . (Dica: não tente calcular os autovetores)

b   No caso em que a = 2 , ache uma base de R 3 constituída de autovetores de T .

Resolução

Videoaulas Curtinhas

Aulão de Autovalores, Autovetores e Diagonalização

Aulão de Autovalores, Autovetores e Diagonalização
Saia do zero para a aprovação em
2h03min

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