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Produto Misto

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Teoria

Introdução

Lembra lá na 7ª série quando a professora Léia explicou como calcular o volume de um paralelepípedo? Então, lá quando você tinha um paralelepípedo de lados a = 2 ,   b = 3   e   c = 4 , você fazia V = a b c = 2.3 . 4 = 24 .

E se, ao invés de você ter o tamanho dos lados, eu te der os três vetores que geram esse paralelepípedo?

u → = 1 ,   0 ,   1               v → = 2 ,   1 ,   1     e       w → = ( 2 ,   3 ,   4 )

Como que faz?

Relaxa!! Vamos ensinar tudinho que você precisa saber!

Produto Misto

O produto misto pode ser representado de duas formas:

( u → × v → ) ∙ w →             o u             ( u → , v → ,   w → )

Pela primeira representação percebemos porque é chamado de Misto, ora, o pontinho ( ∙ ) como já vimos é o produto escalar, e o × indica o produto vetorial. Ah, então como temos que fazer um produto escalar e um vetorial, chamamos de misto. Sacou? ;)

Beleza, já sei identificar quando devo fazer um produto misto e porque se chama “Misto”, mas como eu resolvo essa parada?

É isso que nós vamos ver agora!!

Considerando os 3 vetores dados anteriores u ,   →   v →   e   w → . Montando o produto misto ficaria assim:

Bom, então, o produto misto é a resolução de um determinante? Isso mesmo!! Vamos resolver!! ;).

Ou seja, se tivermos um paralelepípedo formado pelos vetores u → = 1 ,   0 ,   1 ,   v → = 2 ,   1 ,   1     e       w → = ( 2 ,   3 ,   4 ) , o volume dele vai ser 5 !!

Lembrando que, como estamos falando de volume, a resposta vai ser dada em módulo viu?

Agora que já sabemos posicionar os vetores no determinante podemos dar um exempl