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Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

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Teoria

Introdução

Em funções de uma variável, se a gente tiver esse limite:

lim x → 3 ⁡ g ( x )

A variável x pode se aproximar ao valor de 3 somente pelo eixo x : as únicas opções são pela direita e pela esquerda de 3. Nós vimos que quando esses limites são iguais, o limite existe. Se forem diferentes, o limite não existe.

A gente quer usar essa mesma ideia de limites diferentes por caminhos diferentes para mostrar que um limite de várias variáveis não existe. O que será que muda? Vem comigo, que te conto!

Infinitos caminhos

Olha para esse limite:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x x + y

Substituindo os valores, encontramos a indeterminação 0 0 .

Como agora o nosso domínio é uma região no plano x y (e não mais um eixo apenas), existem infinitos caminhos para chegar no ponto ( 0,0 ) .

Convenientemente, a gente pode escolher certos caminhos para mostrar que o valor do limite é diferente em cada um deles, e por isso o limite no ponto não vai existir.

Como assim?

Olha no nosso exemplo: vamos calcular esse limite através de um caminho, através da reta y = x .

Na prática, é só substituir y = x e calcular o limite simples:

lim x , y → 0,0 ⁡ x x + y =   lim x → 0 ⁡ x x + x = lim x → 0 ⁡ x 2 x = lim x → 0 ⁡ 1 2 = 1 2

Pode ter parecido meio mágica sumir com o y no limite. Mas, não é não! Se a gente esta em cima do caminho y = x , quando x for para 0 o y também vai!

Agora vamos calcular o limite por outro caminho: pela reta y = 2 x :

lim x , y → 0,0 ⁡ x x + y =   lim x → 0 ⁡ x x + 2 x = lim x → 0 ⁡ x 3 x = lim x → 0 ⁡ 1 3 = 1 3

Opa, os limites foram diferentes! Logo, não existe limite!

Graficamente, o que a gente fez foi andar sobre essas duas retas, usando elas como caminhos para fazer x , y “chegar em” 0,0 :

A questão é que um limite existe somente se não depender do caminho!

Então uma maneira prática de você verificar se o limite não existe é através de um caminho genérico. Por exemplo, através da reta y = m x :

lim x , y → 0,0 ⁡ x x + y =   lim x → 0 ⁡ x x + m x = lim x → 0 ⁡ x ( 1 + m ) x = lim x → 0 ⁡ 1 1 + m = 1 1 + m

Ao variar o valor de m , eu estou mudando a reta que estou usando (basta lembrar que y = m x ). Como depende do caminho, o limite não existe! Essa é a jogada! :)

Graus do numerador e do denominador

E quando você vai usar isso? Uma boa pista é quando o grau do numerador for menor ou igual ao grau do denominador. Nesse exemplo aí em cima o grau do numerador é 1 e o grau do denominador é 1 também. Essa é uma boa pista de que o limite não existe.

Observação: quando houver termos x e y multiplicados, some os expoentes para determinar o grau.

Vamos tentar um novo exemplo:

l i m x , y → 0,0 x 2 y 2 x 4 + y 4

O grau do numerador é: 2 + 2 = 4

E o do denominador também é 4 . Então isso já é um bom indício que o limite provavelmente não existe.

Vamos calcular o limite pelo caminho y = m x e ver no que dá:

l i m x , y → 0,0 x 2 m x 2 x 4 + m x 4 = l i m x , y → 0,0 x 4 m ² x 4 + m 4 x 4 =   l i m x , y → 0,0 x 4 m ² x 4 1 + m 4 = l i m x , y → 0,0 m ² 1 + m 4

Opa, então o limite depende do m ! Portanto, ele não existe.

Soma de termos com expoentes diferentes

Outra pista de quando a gente pode usar esse método é quando houver termos em x e y com expoentes diferentes somados.

Tipo esse aqui:

l i m x , y → 0,0 x x 6 + y 2

Nesses casos, a gente tem que substituir y = m x n ou x = m y n de modo que os expoentes na soma fiquem iguais.

Para o nosso limite ali, podemos usar y = m x 3 . Aí os expoentes de baixo ficam iguais:

l i m x , y → 0,0 x x 6 + y 2 = l i m x → 0 x x 6 + m x 3 2 = l i m x → 0 x x 6 + m 2 x 6 = l i m x → 0 x x 6 1 + m 2

= >   l i m x → 0 1 x 5 1 + m 2 = 1 0 → ∞

Quando o limite tende a infinito ele não existe, logo esse limite aí não existe.

OBSERVAÇÃO: Para acabar, essa é a observação mais importante de todas e eu não quero te ver errando isso! Quando a gente calcula e dá diferente, o limite não existe. Beleza.

Mas, e se estiver dando igual para todos os caminhos que a gente testar? Podemos afirmar que o limite existe? Não !!! A gente não pode afirmar nada!!!

Ou seja, essa técnica de testar o caminho só nos permite afirmar que o limite não existe, caso ele dependa do caminho. Beleza???

Agora é treinar nos exercícios! ;)

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Calcule L , o limite, quando existir. Caso contrário, justifique.

lim u , v → 1,1 ⁡ u 2 - 2 u + 1 u 2 - v 2 - 2 u + 2 v

Passo 1

Primeira coisa a fazer é substituir os valores e ver o que acontece

lim u , v → 1,1 ⁡ u 2 - 2 u + 1 u 2 - v 2 - 2 u + 2 v = 1 2 - 2.1 + 1 1 2 - 1 2 - 2.1 + 2.1 = 0 0

Caímos numa indeterminação

Passo 2

Repara que o grau do numerados e do denominador é o mesmo. Ambos são 2 .

Quando isso acontecer, é bom verificar antes se o limite existe.

Para isso, vamos escolher um caminho para calcular esse limite. Um caminho simples de pensar é a reta v = u .

Na prática, é só substituir v = u e calcular o limite simples. Pode ter parecido meio mágica sumir com o  v  no limite. Mas, não é não! Se a gente esta em cima do caminho y=x, quando   u for para 1 o  v  também vai!

lim u , v → 1,1 ⁡ u 2 - 2 u + 1 u 2 - v 2 - 2 u + 2 v = lim u → 1 ⁡ u 2 - 2 u + 1 u 2 - u 2 - 2 u + 2 u = lim u → 1 ⁡ u 2 - 2 u + 1 0

Já deu problema, porque temos uma divisão por 0 , quando temos um limite independente por onde viermos não podemos ter problemas, então esse limite não existe.

Resposta

O limite não existe

Exercício Resolvido #2

Seja

f x , y = x 2 - y 2 x 2 + y 2

Calcule

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f ( x , y )

Passo 1

Tentar substituir valores:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 - y 2 x 2 + y 2 = 0 2 - 0 2 0 2 + 0 2 = 0 0

Chegamos a uma indeterminação 0 0 .

Passo 2

Ver se é possível aplicar o Teorema do Sanduíche:

Não há nenhum daqueles termos multiplicados por alguma outra expressão:

x 2 x 2 + y 2   , x x + y ,   x x 2 + y 2

Também não há nenhuma função trigonométrica. E além disso:

Grau do numerador: 2

Grau do denominador: 2

Então, suspeitamos que esse limite não existe.

Passo 3

Vamos substituir y = m x e calcular o limite através desse caminho:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 - y 2 x 2 + y 2 = lim x → 0 ⁡ x 2 - ( m x ) 2 x 2 + ( m x ) 2

lim x → 0 ⁡ x 2 - ( m x ) 2 x 2 + ( m x ) 2 = lim x → 0 ⁡ x 2 ( 1 - m 2 ) x 2 ( 1 + m 2 )

lim x → 0 ⁡ x 2 ( 1 - m 2 ) x 2 ( 1 + m 2 ) = lim x → 0 ⁡ 1 - m 2 1 + m 2 = 1 - m 2 1 + m 2

Então, esse limite está dependendo do caminho. Repare que, para diferentes valores de m , os limites serão diferentes.

Logo, não existe limite!

Resposta

Não existe limite.

Exercício Resolvido #3

Seja

f x , y = x 2 y x 4 + y 2

Calcule

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f ( x , y )

Passo 1

Tentar substituir valores:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 y x 4 + y 2 = 0 2 ( 0 ) ( 0 ) 4 + ( 0 ) 2 = 0 0

Chegamos a uma indeterminação 0 0 .

Passo 2

Ver se é possível aplicar o Teorema do Sanduíche:

Não há nenhum daqueles termos multiplicados por alguma outra expressão:

x 2 x 2 + y 2   , x x + y ,   x x 2 + y 2

Também não há nenhuma função trigonométrica.

E além disso, temos x e y somados com expoentes diferentes. Então suspeitamos que esse limite não existe.

Passo 3

Vamos substituir y = m x 2 para igualar os expoentes dos denominadores e calcular o limite através desse caminho:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 y x 4 + y 2 = lim x → 0 ⁡ x 2 ( m x 2 ) x 4 + ( m x 2 ) 2

lim x → 0 ⁡ x 2 ( m x 2 ) x 4 + ( m x 2 ) 2 = lim x → 0 ⁡ m x 4 x 4 + m 2 x 4

lim x → 0 ⁡ m x 4 x 4 + m 2 x 4 = lim x → 0 ⁡ m x 4 x 4 ( 1 + m 2 )

lim x → 0 ⁡ m x 4 x 4 ( 1 + m 2 ) = lim x → 0 ⁡ m 1 + m 2 = m 1 + m 2

Então esse limite está dependendo do caminho.

Logo, não existe limite!

Resposta

Não existe limite.

Exercício Resolvido #4

Decida se existe

l i m x , y → 0,0 x 3 y 4 + x 5 y 4 3 x 6 + y 8

Passo 1

Então, galerinha, a gente sempre começa substituindo o valor do limite na função. Neste caso, vamos chegar numa indeterminação 0 0 . Então vamos partir para aquela estratégia de chutar caminhos.

Mas calma, vamos “chutar” conscientemente, beleza? Primeiro, tentemos o mais fácil, achar o limite igual a 0 , fazendo o numerador da fração zerar antes do denominador. No caminho escolhido temos que x = t e y = 0 , pois temos y em todos os termos do numerador! Substituindo no limite, ficamos com

l i m t → 0 t 3 0 4 + t 5 0 4 3 t 6 + 0 8 = 0 t 6 = 0

Viu? Só escolher o caminho pensando onde queremos chegar é sempre bom ;)

Passo 2

Agora precisamos encontrar um limite diferente de 0 , pois se a função tiver um outro limite, significa que o limite não existe.

Vamos pensar em um caminho onde o grau do numerador e do denominador seja o mesmo, pois assim, teremos certamente encontraremos algo diferente de 0 !

Vamos olhar para o denominador: o grau do x é 6 , e do y é 8 . Para igualar os denominadores, precisamos achar o menor múltiplo comum, no caso é 24 .

Deste modo vamos fazer

x = t 4

O expoente 4 surgiu ao dividirmos 24 pelo grau de x no denominador.

Seguindo o mesmo raciocínio para y , faremos

y = t 3

Desta forma, quando formos substituir tudo no limite, igualaremos os expoentes no denominador!

Beleza, então, partamos para o caminho t 4 , t 3 :

l i m x , y → 0,0 t 4 3 t 3 4 + t 4 5 t 3 4 3 t 4 6 + t 3 8 = t 24 + t 24 2 t 24 = 1