Resumão Completo

Regra de L'Hospital

Olha esse “cara”: lim x + ln x x

Ele cai numa indeterminação. Dá uma olhada:

lim x + ln x x = lim x + ln x lim x + x = + +

Nenhum método que vimos tira a indeterminação! E agora? Quem poderá nos defender?

A REGRA DE L’HOSPITAL

Essa regrinha vei para salvar a nossa vida nesse e em diversos casos.

Para aplicar L’Hospital, basta derivar a função no numerador e a função no denominador.

lim x + ln x x L ' H lim x + ln x ' x '  

Derivar numerador e derivar denominador, SEPARADO! Nada de aplicar a REGRA DO QUOCIENTE, ok????

Nosso limite vai ficar:

= lim x + 1 x 1     = lim x + 1 x = 1 = 0

Ok, mas posso aplicar L’Hospital em qualquer limite? NÃÃÃÃÃO!

Para aplicar L’Hospital, é necessário haver uma situação como a do limite que a gente acabou de ver: onde aparece indeterminação / ou, então, “ 0 / 0 ”.

Você pode usar quantas vezes for necessário o L’Hospital:

  • Aplicou L’Hospital e caiu indeterminação de novo? Usa L’Hospital de novo.
  • Aplicou L’Hospital e caiu indeterminação de novo? Usa L’Hospital de novo.
  • Aplicou L’Hospital e caiu indeterminação de novo? Usa L’Hospital de novo.
  • Aplicou L’Hospital e caiu indeterminação de novo? Usa L’Hospital de novo.

Deu para entender? Haha

Exercícios agora!

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Reta Tangente

Em uma circunferência, a reta tangente é aquela que se aproxima do círculo, encosta nele em apenas um ponto, e passa a se afastar dele.

Agora, como a gente faz pra descobrir quem é essa reta? Alguma ideia de como achamos a equação dela?

Bom, vamos pensar diferente e imaginar a reta tangente a uma função em um ponto, como a reta tangente à função y = x ³ + 1 no ponto x = 1 , por exemplo. Como sabemos que a reta tangente toca a função, então ela tem o mesmo valor da função no ponto x = 1 :

f ( x ) = x ³ + 1   f 1 = 1 3 + 1 = 2   ( 1,2 )

Agora como era a equação da reta mesmo? Existem duas possibilidades:

y - y 0 = m x - x 0       ;       y = a x + b

Portanto aqui no nosso caso, teremos:

y - 2 = m x - 1

Bem, agora falta determinar o valor de m , que é o coeficiente angular, ou a inclinação da reta:

O coeficiente angular da reta tangente ( m ou a ) é igual a derivada da função no ponto.

f ' x = 3 x 2 f ' 1 = 3 1 3 = 3 ,     l o g o   m = 3

Assim, tudo ficará:

y - 2 = m x - 1 y - 2 = 3 x - 1 y = 3 x - 1

UHUL!

Podemos fazer o mesmo para o caso do y = a x + b . Teríamos a = 3 , coeficiente angular, e descobriríamos b aplicando o ponto de tangêngia, 1,2 :

y = a x + b 2 = 3 1 + b

b = - 1         y = 3 x - 1

OBS: Quando ele falar de abscissa e ordenada, ele está falando de x e y . x é a abscissa enquanto y é a ordenada.

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Taxa de Variação e Taxa Relacionada

Taxa de Variação

A gente passou o tempo todo falando de derivada de uma função qualquer, mas isso está mais teórico que aula de educação física dentro de sala: vamos ver uma abordagem mais prática do assunto por meio da taxa de variação.

Vamos supor que tenhamos uma pedra chamada Joaquim que cai do topo de um edifício de altura s o = 20 m . Qual a velocidade instantânea de Joaquim para t = 2 s ?

O problema aqui é: como determinar a taxa de variação entre s e t assim?

Bom, o Joaquim seguirá a trajetória de queda livre, que é descrita assim:

s t = s 0 - g t 2 2 s t = 20 - 9.8 t 2 2 s t = 20 - 4.9 t ²

A velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo:

v ( t ) = lim Δ t 0 Δ S Δ t = s ' t = d s d t

Então, bora derivar o s :

v t = d s d t = - 9.8 t v 2 = - 9.8 2 = - 19.6 m / s

Sabe o que acabamos de calcular? A taxa de variação instantânea da posição em relação ao tempo! Ela nada mais é que a derivada da posição ( s ) em relação ao tempo ( d s d t ou s ( t ) ).

Taxa relacionada

Se um quadrado de lado l e área A tem seu lado crescendo a 1   m / s quando vale l = 1   m , a que taxa cresce a sua área nesse mesmo instante?

Por onde começa isso, e que raios de pergunta é essa? O cara do Responde Aí enlouqueceu?

Vamos lá. Imagine que l e A são funções do tempo. Nós não sabemos como é essa função de cada um no tempo, porém sabemos que a área de um quadrado é dada assim:

A = l 2

Mas como eu disse, ambos são função do tempo, certo?

A t = l t 2

Eu quero a taxa com que varia essa área aí. Para isso é interessante achar a taxa de variação da área pelo tempo. Ou seja, a derivada de A t por t ! Então, que tal derivar essa igualdade em relação ao tempo?

A t ' = l t 2 '

Mas repare, A é função de l , que é função do tempo. É como se tivéssemos uma função composta no l t 2 ! Nesse caso, temos que derivar com a Regra da Cadeia, e vai aparecer:

d A t d t = 2 l t d l t d t

E esse d l t d t vem da Regra da Cadeia para derivar em relação ao tempo a equação.

No instante tratado, l t 0 = 1   m e l t 0 ' = d l t d t t 0 = 1   m / s . Assim,

d A t d t = 2 l t d l t d t = 2 1 1 d A t d t = 2   m 2 / s

Ao calcular a relação entre as derivadas, relacionamos as taxas de variação de A e l em relação a t .

Logo, você terá uma equação que relaciona as variáveis do problema (no caso aqui, A = l 2 ). Todas serão função do tempo. Você derivará tudo em função do tempo, e aparecerão termos de taxas (com uma cara de d l t d t ou l t ' , como no exemplo).

Assim, substituímos as informações do problema e descobrimos a taxa desejada!

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Crescimento e Decrescimento

Esse capítulo é importantíssimo como base para o início da análise de esboço de gráficos e para entender o comportamento de uma função, então vamo lá!

O teste CD (a letra C vem da palavra crescimento e a letra D de decrescimento) nos ajuda a determinar quando uma função cresce ou decresce (duuuh!).

Lá vai:

Ou seja, dada a derivada de determinada função, agora tudo se resume a procurar em que regiões ela é positiva ou negativa.

Legal? Tranquilo? Show? Ok, então tem mais uma para você. Pode ser que a derivada seja uma função meio complicada, como:

f ' x = x 2 - 3 3 x 2 - 1 3

E aí, como faz? Fazemos o quadro de sinal, onde a gente vê os sinais que aparecem na função e determina qual vai ser o sinal dela. Para montá-lo:

  1. Tenha a função em produtos e razões de termos;
  2. Ignore os termos que não mudam de sinal;
  3. Considere aqueles que mudam de sinal;
  4. Na primeira linha, coloque todas as raízes dos termos;
  5. Na primeira coluna, coloque os termos;
  6. Nas células, coloque o sinal de cada termo em cada intervalo;
  7. Multiplique os sinais e coloque na última linha na coluna “Sinais” o sinal resultante.

Então essa função será:

d e s c r e s c e n t e   p a r a   t o d o   x   - 3 , - 1 ( 1 , 3 )

E:

c r e s c e n t e   p a r a   t o d o   x   - , - 3 - 1,1 ( 3 , )

Poxa, falamos de quando a derivada é positiva ou negativa, mas e quando ela é zero ou não existe? No ponto em que a derivada é zero ou não existe, temos um chamado ponto crítico.

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Concavidade

Agora chegou a hora de a gente estudar a concavidade de uma função!

Ok, ok. Talvez concavidade não seja um assunto tããão empolgante assim, mas você vai ver que isso tudo é bastante útil, prometo.

Antes de falar quando uma função é côncava para cima ou para baixo, vamos relembrar o que é concavidade em si. A concavidade é a “concha” da função.

Chamamos a função à esquerda (em vermelho) de côncava para baixo e a da direita de côncava para cima.

Regiões de concavidade para cima ocorrem quando a derivada segunda é positiva e concavidade para baixo quando ela é negativa.

Nós todos estudávamos concavidade em funções do segundo grau no colégio. Vamos recordar a regrinha da concavidade?

Nós tínhamos um polinômio de segundo grau da forma:

f x = a x 2 + b x + c

E a concavidade era pra cima quando:

a > 0

E para baixo quando:

a < 0

Uma forma de você lembrar isso tudo é se preocupando com os sentimentos da função e notando que ela pode estar triste ou feliz, conforme você pode observar abaixo. Quando o a é positivo, é sexta-feira, a função sorri e é côncava para cima:

Quando é negativo, é segunda-feira e ela está triste. Esses olhos no gráfico da função estão aí para interpretação das atrizes-parábolas ser mais convincente:

Vamos experimentar aplicar a regra da derivada segunda para observar esse fato? A regra nos diz que a concavidade é para cima quando f ' ' > 0 e para baixo quando f ' ' < 0 . Aplicando:

f x = a x 2 + b x + c

f ' x = 2 a x + b

f ' ' x = 2 a

Temos então:

f ' ' x > 0 2 a > 0

f ' ' x < 0 2 a < 0

Não é a mesma coisa? Sim, essa constante “ 2 ” que apareceu não influencia em nada na inequação! As regras são equivalentes, só que a nossa regra de derivada segunda é mais genérica, isto é, ela vale para todas as funções.

Um elemento importante e que ajuda bastante na hora de construir os gráficos é o ponto de inflexão. Esse ponto nada mais é do que o ponto onde a função troca a concavidade. Se estava pra cima, passa a ser pra baixo, e vice-versa. Mas você pode estar se perguntando: “E como eu acho esse ponto?” Muito simples. Basta achar as raízes da derivada segunda! Vamos ver com mais detalhe no exemplo.

Um exemplo bacana de concavidade é a função x 3 . Dá pra enxergar direitinho que a concavidade dela muda na origem:

Pois temos que f ' x = 3 x 2 e, portanto, f ' ' x = 6 x . Agora, qual o valor de x pra que f ' ' x = 0 ? Ou seja, qual a raiz de f ' ' ( x ) ?

Nesse caso, a raiz da derivada segunda, f ' ' x = 6 x , é x = 0 . Assim, o ponto x = 0 é um ponto de inflexão pra função x 3 . Então, como podemos ver no desenho, esse é o ponto onde a concavidade muda: antes era para baixo, depois foi para cima.

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Máximos e Mínimos

Introdução

Chegou a hora de falar de máximos e mínimos que serão fundamentais para problemas de otimização, então fique bem ligado!

Antes de tudo, o que são esses pontos? Um ponto de máximo é um ponto na função que é maior que os pontos próximos. Olhando para o gráfico, é como se tivéssemos o topo de uma colina:

Já um ponto de mínimo parece mais um buraco, daqueles que furam o pneu do carro:

Como achar pontos de máximo e mínimo

Ok, no gráfico dá para entender bonitinho, mas como calcula isso?

Eles se dão sempre onde a derivada se anula!

Pode ser que você não se lembre, mas já vimos o que são os pontos onde a derivada é zero ou não existe: são os pontos críticos. Assim, pontos de máximo ou mínimo sempre serão pontos críticos.

Teste da primeira derivada

Ok, sabemos que os pontos críticos podem ser pontos de pico, mas como ter certeza e diferenciar máximo de mínimos?

Para máximos, a derivada de valores à esquerda é positiva e de valores à direita é negativa. Para mínimos, temos o contrário. Então para determinar o que é o que, testamos os sinais entre os pontos críticos. Esse teste é chamado de teste da primeira derivada:

Exemplo, se f ' 1 = 0 , f ' 0,5 < 0 e f ' 1,5 > 0 , teremos um ponto de mínimo. Agora, se f ' 3 = 0 , f ' 2 > 0 e f ' 4 < 0 , teremos um ponto de máximo.

Cuidado ao escolher valores de referência à esquerda ou à direita de um ponto crítico. Tenha certeza que eles não passem por nenhum outro ponto crítico.

Como assim? Quando estavámos testando x = - 1 / 3 , escolhemos como valor à direita x = 0 que, partindo de x = - 1 / 3 não ultrapassa x = 1 / 3 que é outro ponto crítico. Essa é a atitude correta.

Se tivéssemos escolhido x = 1 , ou invés de x = 0 , por exemplo, teríamos ultrapassado   x = 1 / 3 , outro ponto crítico, e ficaríamos com uma informação errada a respeito do ponto crítico x = - 1 / 3 que era o que estava sendo testado.

Teste da segunda derivada

A teste que pode ser usado é o teste da segunda derivada. Nos pontos de máximo, a derivada é positiva e se torna negativa, ou seja, varia negativamente. Então, nesses pontos, a segunda derivada é negativa.

Para pontos de mínimo, temos o contrário e a segunda derivada é positiva.

A vantagem do teste da segunda derivada é que você só precisa determinar seu sinal no ponto crítico. A desvantagem é que você tem que derivar a função de novo.

Máximos e mínimos locais ou globais

A função ainda pode atingir valores menores para as fronteiras da função, como na função abaixo:

Repare que, se quiséssemos achar um ponto de máximo, derivando a função e a igualando a zero, iríamos achar os pontos c e d . Comparando-os, iríamos descobrir que o ponto d é um máximo

Porém (!), o ponto b NÃO é o ponto de máximo global e, sim, o ponto a , extremo do intervalo analisado. Por isso é importante testar f ( a ) e f ( b ) ( a   e   b extremos do intervalo) e compará-los com f do ponto crítico achado antes. O melhor, ganha!

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Esboço de Gráfico

Introdução

Esboço de gráfico é uma das matérias mais recorrentes em provas e que concentra muitos erros dos alunos. O negócio aqui é ficar muuuuuuuuuito ligado, por que essa teoria é importante demaaaaais!!!!

Vamos começar o passo-a-passo de como fazer esse esboço!

Domínio

O domínio de uma função é o conjunto de valores que o seu x pode assumir, de forma que o valor da função esteja definido.

Basicamente você tem que olhar pra função e se perguntar “o que o x pode ser pra não dar ruim?”. A resposta é o domínio da função. Quer em forma de dica as condições mais recorrentes? Então toma aqui:

  1. Denominadores devem ser 0 .
  2. Sempre que houver raiz de índice par temos que forçar o que está dentro dela a ser 0 .
  3. ln x pede x > 0 .

Assíntotas

Outra parte importante são as assíntotas. Temos que pegar a função que estamos trabalhando e fazer o cálculo de assíntotas horizontais e verticais, como te mostramos lá na nossa teoria sobre esse tema em Limites.

Teste de crescimento e decrescimento

Pega a função, deriva uma vez e analisa onde ela é crescente, decrescente, onde ela não existe e onde temos pontos críticos de máximo ou mínimo.

Concavidade

Aqui, vamos derivar a função pela segunda vez, e observar onde temos pontos de inflexão, onde temos concavidade para cima e onde a concavidade é para baixo.

Esboço

Show! Agora podemos finalmente começar o esboço. A gente já tem:

  1. Domínio
  2. Assíntotas verticais e horizontais
  3. Derivada Primeira
  4. Pontos críticos e análise do sinal para crescimento e decrescimento
  5. Derivada segunda
  6. Pontos de inflexão e análise do sinal para concavidade
  7. Esboço

Então, vamos lá! Vamos esboçar esse exemplo:

f x = x x 2 - 1 3

1   - Domínio

D f = R - { - 1,1 }

2   - Assíntotas verticais e horizontais

Ass. Vertical em - 1 - ,   1 + , 1 - . Não há assíntota horizontal.

3   Derivada primeira

Como você já cansou de fazer isso, adiantamos logo para você:

f ' x = x 2 - 3 3 x 2 - 1 4 / 3

4   - Pontos críticos e análise do sinal para crescimento e decrescimento

Assim, os pontos críticos são x = 1 ,   x = - 1 ,   x = 3   e   x = - 3 .

Aplicando o teste CD, x = 3 é um ponto de máximo ; x = - 3 é um ponto de mínimo.

5 - Derivada segunda

Poupa-seu-tempo:

f ' ' x = 2 x ( 9 - x 2 ) 9 x 2 - 1 7 / 3

6 - Pontos de inflexão

x = ± 3   ;   x = 0     ;   x = ± 1

Enfim, podemos então começar a desenhar? Então arranja um bom pedaço de papel (nada de fazer gráfico com pouco espaço, ok? Fica horrível!) e vamos lá.

Show, a primeira coisa que faremos é marcar as assíntotas com uma linha fraca:

Beleza. Agora marcaremos os pontos críticos que obtemos lá do teste CD:

f - 3 = - 3 2 3 ;   f 3 = 3 2 3

O quanto dá aproximadamente esses números bizarros não é relevante. O que é relevante é o seu sinal, que diz se ele vai ficar abaixo do eixo x ou acima, ok? Em seguida, marcaremos as regiões de crescimento e decrescimento com retas, também fracas.

A reta simplesmente serve pra ilustrar o comportamento da função. Quando a função é crescente, desenhamos uma reta crescente, e quando é decrescente, uma reta decrescente.

Lembrando que as assíntotas estão ali como uma parede, impedindo a passagem da função. A função não pode cruzar nem tocar uma reta de assíntota vertical. O jeito é a função ir até o infinito e aproximar da reta da assíntota infinitamente, mas sem tocar. Falando desse jeito parece estranho, mas é pra ser estranho mesmo. As retas desenhadas não são a função propriamente dita, então se cruzar não tem problema.

Agora, marcamos os pontos de inflexão. Mesmo esquema dos pontos críticos. Eu gosto de marcar eles em cima das retas que já estão desenhadas, mas você pode fazer como quiser.

f 0 = 0 ;   f 3 = 3 8 3 ;   f - 3 = - 3 8 3

E marcamos as concavidades de acordo com os intervalos e também de acordo com a nossa técnica. Quando a concavidade é pra baixo, a curva passa por cima da reta. Quando é pra cima, a curva passa por baixo. Com relação às assíntotas você só tem que lembrar que a função não encosta nelas. Ela vai se aproximando à medida que vamos ao infinito.

E voilá! O gráfico está pronto. Como é só um esboço, o nosso resultado é mais do que suficiente para o gosto de qualquer professor.

De resto, você só precisa se lembrar de alguns pequenos detalhes. Por exemplo, em algum momento a função vai cruzar o eixo y , isso ocorre quando x = 0 e é bom termos o valor da função para fazermos um esboço coerente. No caso desse exemplo, f 0 = 0 , portanto se marcássemos em qualquer lugar, poderia acarretar numa perda de pontos.

Show, agora vai lá para os exercícios de aplicação que estão te esperando!

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Otimização

Otimizando

Imagine que Sr. Marcos, ou Marquinho para os íntimos, tem uma mercearia. Marquinho quer comprar várias bananas ( B ) , de forma que o custo ( C ) é dado assim:

C = B 2 + 100 B  

E qual é o custo mínimo para o Marquinhos? Como as gente resolve isso aí?

Otimizar é achar o máximo ou o mínimo de uma função.

Ou seja, buscamos determinar os pontos críticos da função!

Os pontos críticos estão relacionados à derivada, então, pela regra do quociente:

d C d B = B 2 + 100 ' B - B ' ( B 2 + 100 ) B ² = 2 B ² - B 2 - 100 B ² d C d B = B ² - 100 B ²

Esses pontos danados ocorrem quando a derivada é zero ou não existe:

d C d B = 0 B 2 - 100 = 0 B = ± 10

Como a quantidade de bananas não pode ser negativa, desconsideramos B negativo. No final, só sobrou o ponto crítico:

B = 10

Como queremos determinar o menor custo possível, devemos mostrar que esse ponto é um ponto de mínimo. Para isso testamos o sinal da derivada à esquerda e à direita desse ponto. Podemos escolher B = 5 à esquerda e B = 15 à direita:

d C ( 5 ) d B = 5 ² - 100 5 ² = - 75 25 ;   d C 5 d B -

d C ( 15 ) d B = 15 ² - 100 15 ² = 125 225 ;   d C 15 d B +

Como a derivada era negativa e se tornou positiva, então esse é um ponto de mínimo. Achamos o ponto ótimo e terminamos a questão, certo?

Ainda não!

Olhando as fronteiras

A função ainda pode atingir valores menores para as fronteiras dela própria. Ou seja, resta descobrir se os pontos que vamos otimizar serão máximos locais ou globais ou mínimos locais ou globais!

No caso do Marquinhos, primeiro calculamos o custo para o ponto de mínimo encontrado:

C 10 = 10 2 + 100 10 = 20

Agora comparamos com as fronteiras para ver se é de fato o menor valor possível para a função.

As fronteiras, para esse problema, ocorrem para B tendendo a zero e mais infinito. Zero, pois a quantidade de bananas não pode ser negativa; infinito, pois Marquinhos não pode comprar infinitas bananas!

Assim, testamos essas fronteiras através do limite:

lim B 0 + C ( B ) = lim B 0 + B 2 + 100 B = 0 + + 100 0 + = > C 10 = 20

E:

lim B C ( B ) = lim B B 2 + 100 B = lim B B + 100 B = + 0 = > C 10 = 20

Como os valores nas fronteiras são maiores que o ponto mínimo que encontramos, temos aí um ponto de mínimo global. Marquinhos fez a escolha certa dessa vez!

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Teorema de Rolle

Vamos primeiro falar o que é o teorema de Rolle e depois expandir a ideia para o teorema do valor médio, que é um primo de maior sucesso.

Pense comigo em um intervalo qualquer [ a , b ] e uma função f , tal que:

f a = f ( b )

Agora olhe a bela imagem abaixo:

Pode ser que você precise olhar para ela como um cachorro faminto olha para um pedaço de frango, mas dá para ver que, em algum ponto do intervalo, a derivada da função em laranja é horizontal, ou seja, a derivada nesse ponto é zero. Chamando esse ponto de c , então f ( c ) = 0 :

Isso acontece, porque se a função começa a crescer a partir de x = a , ela deverá, necessariamente, decrescer depois para que f a seja igual à f b . Caso isso não ocorra, a função continuaria crescendo e, consequentemente, teríamos f b > f ( a ) , que não é o que a gente quer. A mesma ideia vale para quando a função começa a decrescer a partir de x = a .

A necessidade da derivada ser zero em algum ponto está na ideia que, no ponto em que a função deixa de crescer e passa a decrescer, ou vice-versa, a derivada é zero ou horizontal. Com isso, a gente já pode concluir que:

Se f ( a ) = f ( b ) , então existe um número c dentro do intervalo [ a , b ], tal que:

f ' c = 0

Como o mundo não é habitado por unicórnios felizes, tem uma maneira de quebrar tudo que a gente afirmou aqui: se a função der um salto:

Aí a função não precisa ter derivada zero em algum instante. Mas se isso acontece, a função é descontínua. Então a gente define uma condição para o teorema:

A função f precisa ser contínua no intervalo no intervalo fechado [ a , b ] .

Ham, intervalo fechado? Sim, isso quer dizer que a função tem que ser contínua em todos os pontos, inclusive em x = a e x = b .

Outra maneira de quebrar tudo é quando a função não é derivável, ou seja, a derivada não existe e a função tem algum bico:

Então lá vem mais uma condição para o teorema:

A função f precisa ser derivável no intervalo aberto ( a , b ).

Ou seja, a derivada tem que existir. Agora, como o intervalo é aberto, não tem problema a função ser não ser derivável nos pontos x = a e x = b , desde que seja para os pontos entre eles.

Show? Então agora a gente pode definir o Teorema de Rolle:

Agora relaxe um pouco, beba uma água e dê uma olhada no WhatsApp para ver se aquela pessoa lá falou com você (provavelmente não) e volte, porque agora é hora de falar do Teorema do Valor Médio, ou TVM para os íntimos.

O Teorema do Valor Médio segue as mesmas condições do Teorema de Rolle, só que agora cobre valores:

f a f ( b )

O que acontece nesses valores pode ser deduzido simplesmente inclinado o gráfico que a gente tinha para o Teorema de Rolle:

f ' ( c ) que era horizontal, passa a ter o valor da tangente do ângulo de inclinação abaixo:

Assim:

f ' c = tan ( θ ) = f b - f a b - a

Quando f ( a ) = f ( b ) :

f ' c = f b - f a b - a = 0 b - a = 0

Que é o teorema de Rolle. Dessa maneira, O TVM (já que você está ficando Íntimo) cobre todas as relações entre f ( a ) e f ( b ) :

f a > f b ; f a = f b ; f b > f ( a )

Ok, mas essa fórmula do TVM aí me parece sem sentido. Ela tem algum significado? Sim, gafanhoto. Repare que, se, ao invés de f , colocássemos uma função-posição ( s ) :

Δ s = s b - s a ; Δ t = b - a

a velocidade média no intervalo seria:

v m é d = Δ s Δ t = s b - s a b - a

Que é a fórmula do TVM para a função s . Dessa maneira, o que o teorema nos diz é que existe c tal que:

s ' c = v m e d

Ou seja, a velocidade instantânea (derivada, valor que aparece no velocímetro do carro), em algum instante, é igual à velocidade média no intervalo.

Então, para uma função geral f , o TVM nos diz que a variação instantânea da função deve ser igual a variação média em algum ponto do intervalo.

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Teorema do Valor Médio

No tipo anterior, vimos o que é TVM, mas vamos dar uma olhada na sua fórmula novamente:

f ' c = f b - f a b - a

Essa fórmula é familiar para você? Não? Ok. E se, ao invés de f , colocássemos uma função-posição ( s ) :

s ' ( c ) = s b - s a b - a

Sabendo que:

Δ s = s b - s a ; Δ t = b - a

A velocidade média no intervalo ( a , b ) seria:

v m é d = Δ s Δ t = s b - s a b - a

Temos novamente a fórmula do TVM para a função s . Dessa maneira, o teorema também diz que existe c no intervalo ( a , b ) tal que:

s ' c = v m e d

Ou seja, a velocidade instantânea (derivada, valor que aparece no velocímetro do carro), em algum instante, é igual à velocidade média no intervalo.

Então, para uma função geral f , o TVM nos diz que a variação instantânea da função deve ser igual à variação média em algum ponto do intervalo.

Então não dê bobeira. Toda vez que a questão te der um intervalo e pedir para você mostrar que a derivada da função é igual à variação média da função nesse mesmo intervalo, não tem outra: é só aplicar a fórmula do TVM.

Entendeu legal, entendeu bonito? Então vamos continuar falando das utilidades do TVM como um bom vendedor fala das utilidades de um celular que chegará quebrado na sua casa.

Voltando a função-posição, imagine que um carro verde andava na estrada seguindo a trajetória (em km):

s t = t ² + 2 t

Em que ponto do intervalo ( 1,2 ) (em horas), a velocidade instantânea é igual à média?

O TVM nos diz que existe um ponto c no qual a velocidade instantânea é igual à média:

s ' c = s b - s a b - a = s 2 - s 1 2 - 1 = 8 - 3 s ' c = v c = 5 k m / h = v m e d

Agora, a chave para calcular o ponto onde a velocidade média instantânea é igual à média (instante c ) está no fato da função s ( t ) ser fornecida, pois podemos calcular, através dela, o valor de s c :

s ' t = 2 t + 2 s ' c = 2 c + 2

Substituindo na equação anterior:

2 c + 2 = 5 c = 3 2 h o r a s  

Repare ainda que 3/2 está entre 1 e 2, como era de se esperar. Assim, quando o enunciado te der a expressão da função e pedir para calcular o valor de c , é só você calcular f ( c ) derivando a expressão da função e substituir f ( c ) na fórmula do TVM.

Mas e se não houver uma solução para c? Quando não há solução para c , a função será descontínua. Assim, se a questão pedir para você mostrar que uma função é descontínua num intervalo, é só derivá-la, calcular f ( c ) , substituir na expressão do TVM e mostrar que c não tem solução ;-).

Raiz de Derivada

Uma das aplicações do teorema é encontrar a raiz da derivada, ou seja, quando:

f ' c = 0

Pelo TVM, quando f ' c = 0 ? Quando ele está no formato do teorema de Rolle, ou seja, quando:

f a = f ( b )

Então, para mostrar que f tem raiz num determinado intervalo ( a , b ) , basta que f ( a ) = f ( b ) e a função siga as condições do teorema de Rolle para que haja uma raiz para f ( c ) ali no meio.

Partiu exercícios!

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Aproximação Linear

Quando nós vimos retas tangentes, mostramos que elas são iguais à função no ponto de tangência. Para valores diferentes desse ponto a reta tangente pode se afastar bastante: