Resumão Completo

Esboço de Gráfico

Introdução

Esboço de gráfico é uma das matérias mais recorrentes em provas e que concentra muitos erros dos alunos. O negócio aqui é ficar muuuuuuuuuito ligado, por que essa teoria é importante demaaaaais!!!!

Vamos começar o passo-a-passo de como fazer esse esboço!

Domínio

O domínio de uma função é o conjunto de valores que o seu x pode assumir, de forma que o valor da função esteja definido.

Basicamente você tem que olhar pra função e se perguntar “o que o x pode ser pra não dar ruim?”. A resposta é o domínio da função. Quer em forma de dica as condições mais recorrentes? Então toma aqui:

  1. Denominadores devem ser 0 .
  2. Sempre que houver raiz de índice par temos que forçar o que está dentro dela a ser 0 .
  3. ln x pede x > 0 .

Assíntotas

Outra parte importante são as assíntotas. Temos que pegar a função que estamos trabalhando e fazer o cálculo de assíntotas horizontais e verticais, como te mostramos lá na nossa teoria sobre esse tema em Limites.

Teste de crescimento e decrescimento

Pega a função, deriva uma vez e analisa onde ela é crescente, decrescente, onde ela não existe e onde temos pontos críticos de máximo ou mínimo.

Concavidade

Aqui, vamos derivar a função pela segunda vez, e observar onde temos pontos de inflexão, onde temos concavidade para cima e onde a concavidade é para baixo.

Esboço

Show! Agora podemos finalmente começar o esboço. A gente já tem:

  1. Domínio
  2. Assíntotas verticais e horizontais
  3. Derivada Primeira
  4. Pontos críticos e análise do sinal para crescimento e decrescimento
  5. Derivada segunda
  6. Pontos de inflexão e análise do sinal para concavidade
  7. Esboço

Então, vamos lá! Vamos esboçar esse exemplo:

f x = x x 2 - 1 3

1   - Domínio

D f = R - { - 1,1 }

2   - Assíntotas verticais e horizontais

Ass. Vertical em - 1 - ,   1 + , 1 - . Não há assíntota horizontal.

3   Derivada primeira

Como você já cansou de fazer isso, adiantamos logo para você:

f ' x = x 2 - 3 3 x 2 - 1 4 / 3

4   - Pontos críticos e análise do sinal para crescimento e decrescimento

Assim, os pontos críticos são x = 1 ,   x = - 1 ,   x = 3   e   x = - 3 .

Aplicando o teste CD, x = 3 é um ponto de máximo ; x = - 3 é um ponto de mínimo.

5 - Derivada segunda

Poupa-seu-tempo:

f ' ' x = 2 x ( 9 - x 2 ) 9 x 2 - 1 7 / 3

6 - Pontos de inflexão

x = ± 3   ;   x = 0     ;   x = ± 1

Enfim, podemos então começar a desenhar? Então arranja um bom pedaço de papel (nada de fazer gráfico com pouco espaço, ok? Fica horrível!) e vamos lá.

Show, a primeira coisa que faremos é marcar as assíntotas com uma linha fraca:

Beleza. Agora marcaremos os pontos críticos que obtemos lá do teste CD:

f - 3 = - 3 2 3 ;   f 3 = 3 2 3

O quanto dá aproximadamente esses números bizarros não é relevante. O que é relevante é o seu sinal, que diz se ele vai ficar abaixo do eixo x ou acima, ok? Em seguida, marcaremos as regiões de crescimento e decrescimento com retas, também fracas.

A reta simplesmente serve pra ilustrar o comportamento da função. Quando a função é crescente, desenhamos uma reta crescente, e quando é decrescente, uma reta decrescente.

Lembrando que as assíntotas estão ali como uma parede, impedindo a passagem da função. A função não pode cruzar nem tocar uma reta de assíntota vertical. O jeito é a função ir até o infinito e aproximar da reta da assíntota infinitamente, mas sem tocar. Falando desse jeito parece estranho, mas é pra ser estranho mesmo. As retas desenhadas não são a função propriamente dita, então se cruzar não tem problema.

Agora, marcamos os pontos de inflexão. Mesmo esquema dos pontos críticos. Eu gosto de marcar eles em cima das retas que já estão desenhadas, mas você pode fazer como quiser.

f 0 = 0 ;   f 3 = 3 8 3 ;   f - 3 = - 3 8 3

E marcamos as concavidades de acordo com os intervalos e também de acordo com a nossa técnica. Quando a concavidade é pra baixo, a curva passa por cima da reta. Quando é pra cima, a curva passa por baixo. Com relação às assíntotas você só tem que lembrar que a função não encosta nelas. Ela vai se aproximando à medida que vamos ao infinito.

E voilá! O gráfico está pronto. Como é só um esboço, o nosso resultado é mais do que suficiente para o gosto de qualquer professor.

De resto, você só precisa se lembrar de alguns pequenos detalhes. Por exemplo, em algum momento a função vai cruzar o eixo y , isso ocorre quando x = 0 e é bom termos o valor da função para fazermos um esboço coerente. No caso desse exemplo, f 0 = 0 , portanto se marcássemos em qualquer lugar, poderia acarretar numa perda de pontos.

Show, agora vai lá para os exercícios de aplicação que estão te esperando!

Expandir

Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4

Enunciado

Considere a função y = f x = x e - x . Determine:

( a ) O domínio de f ;

( b ) Os interceptos;

( c ) As simetrias de f ;

( d ) As assíntotas;

( e ) Intervalos de crescimento e decrescimento;

( f ) Valores máximos e mínimos locais;

( g ) Discuta concavidade e dê os pontos de inflexão;

( h ) Use a informação obtida para esboçar o gráfico de f .

Resolução

Enunciado

Considere a função:

f x = x 2 - 4 x - 12 x + 3

  1. Verifique que:

f ' x = x 2 + 6 x x + 3 2

f ' ' x = 18 x + 3 3

b) Ache as assíntotas horizontais e verticais caso existam.

c) Identifique os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente.

d) Encontre os valores máximo e mínimo locais e/ou globais caso existam.

e) Identifique os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.

f) Usando as informações anteriores faça um esboço do gráfico de y = f ( x ) .

Resolução

Enunciado

Considere

f x = - x e x                       ,       s e   x 0 x ln x               ,       s e   x > 0

a f é contínua em x = 0 ? f é derivável em x = 0 ?

b Calcule lim x f x e lim x - f x .

c Determine os pontos críticos de f .

d Em quais intervalos f é crescente?

e Em quais intervalos f é decrescente?

f Determine, se houver, os pontos de mínimo local de f .

g Determine, se houver, os pontos de máximo local de f .

h Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para cima?

i Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para baixo?

j Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de f .

k Utilizando as informações obtidas abaixo nos itens anteriores, fa��a um esboço do gráfico de f .

Resolução

Enunciado

Considere a função:

f x = x x 2 - 1 3

Cujas derivadas primeira e segunda são, respectivamente:

f ' x = x 2 - 3 3 x 2 - 1 4 3

f ' ' x = 2 x ( 9 - x 2 ) 9 x 2 - 1 7 3

  1. O domínio da função;
  2. As assíntotas horizontais e verticais, caso existam;
  3. Os intervalos onde a função é crescente e decrescente;
  4. Os valores máximo e mínimo locais e/ou globais caso existam;
  5. Os intervalos onde a concavidade é para cima, onde é para baixo e os pontos de inflexão;
  6. Utilizando as informações adquiridas esboce um gráfico de f .

Resolução

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