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Otimização

Otimizando

Imagine que Sr. Marcos, ou Marquinho para os íntimos, tem uma mercearia. Marquinho quer comprar várias bananas ( B ) , de forma que o custo ( C ) é dado assim:

C = B 2 + 100 B  

E qual é o custo mínimo para o Marquinhos? Como as gente resolve isso aí?

Otimizar é achar o máximo ou o mínimo de uma função.

Ou seja, buscamos determinar os pontos críticos da função!

Os pontos críticos estão relacionados à derivada, então, pela regra do quociente:

d C d B = B 2 + 100 ' B - B ' ( B 2 + 100 ) B ² = 2 B ² - B 2 - 100 B ² d C d B = B ² - 100 B ²

Esses pontos danados ocorrem quando a derivada é zero ou não existe:

d C d B = 0 B 2 - 100 = 0 B = ± 10

Como a quantidade de bananas não pode ser negativa, desconsideramos B negativo. No final, só sobrou o ponto crítico:

B = 10

Como queremos determinar o menor custo possível, devemos mostrar que esse ponto é um ponto de mínimo. Para isso testamos o sinal da derivada à esquerda e à direita desse ponto. Podemos escolher B = 5 à esquerda e B = 15 à direita:

d C ( 5 ) d B = 5 ² - 100 5 ² = - 75 25 ;   d C 5 d B -

d C ( 15 ) d B = 15 ² - 100 15 ² = 125 225 ;   d C 15 d B +

Como a derivada era negativa e se tornou positiva, então esse é um ponto de mínimo. Achamos o ponto ótimo e terminamos a questão, certo?

Ainda não!

Olhando as fronteiras

A função ainda pode atingir valores menores para as fronteiras dela própria. Ou seja, resta descobrir se os pontos que vamos otimizar serão máximos locais ou globais ou mínimos locais ou globais!

No caso do Marquinhos, primeiro calculamos o custo para o ponto de mínimo encontrado:

C 10 = 10 2 + 100 10 = 20

Agora comparamos com as fronteiras para ver se é de fato o menor valor possível para a função.

As fronteiras, para esse problema, ocorrem para B tendendo a zero e mais infinito. Zero, pois a quantidade de bananas não pode ser negativa; infinito, pois Marquinhos não pode comprar infinitas bananas!

Assim, testamos essas fronteiras através do limite:

lim B 0 + C ( B ) = lim B 0 + B 2 + 100 B = 0 + + 100 0 + = > C 10 = 20

E:

lim B C ( B ) = lim B B 2 + 100 B = lim B B + 100 B = + 0 = > C 10 = 20

Como os valores nas fronteiras são maiores que o ponto mínimo que encontramos, temos aí um ponto de mínimo global. Marquinhos fez a escolha certa dessa vez!

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Exercícios Passo a Passo

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Enunciado

A altura de um corpo que se desloca verticalmente é dada por:

  s = - 1 2 g t 2 + v 0 t + s 0 , g > 0

Com s em metros e t em segundos. Determine a altura máxima do corpo.

Resolução

Enunciado

Um fabricante produz por semana x toneladas de um certo produto. O preço de venda é de p unidades monetárias por tonelada do produto e está relacionado com x por 5 x = 375 - 3 p , p 0 . O custo de produção é de C x = 5 + 15 x + x ² / 6 unidades monetárias. Determine x para que o lucro ( = v e n d a - c u s t o ) seja máximo. Determine, também, o lucro máximo.

Resolução

Videoaulas Curtinhas

Aulão de Aplicação de Derivadas

Aulão de Aplicação de Derivadas
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