Resumão Completo

Taxa de Variação e Taxa Relacionada

Taxa de Variação

A gente passou o tempo todo falando de derivada de uma função qualquer, mas isso está mais teórico que aula de educação física dentro de sala: vamos ver uma abordagem mais prática do assunto por meio da taxa de variação.

Vamos supor que tenhamos uma pedra chamada Joaquim que cai do topo de um edifício de altura s o = 20 m . Qual a velocidade instantânea de Joaquim para t = 2 s ?

O problema aqui é: como determinar a taxa de variação entre s e t assim?

Bom, o Joaquim seguirá a trajetória de queda livre, que é descrita assim:

s t = s 0 - g t 2 2 s t = 20 - 9.8 t 2 2 s t = 20 - 4.9 t ²

A velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo:

v ( t ) = lim Δ t 0 Δ S Δ t = s ' t = d s d t

Então, bora derivar o s :

v t = d s d t = - 9.8 t v 2 = - 9.8 2 = - 19.6 m / s

Sabe o que acabamos de calcular? A taxa de variação instantânea da posição em relação ao tempo! Ela nada mais é que a derivada da posição ( s ) em relação ao tempo ( d s d t ou s ( t ) ).

Taxa relacionada

Se um quadrado de lado l e área A tem seu lado crescendo a 1   m / s quando vale l = 1   m , a que taxa cresce a sua área nesse mesmo instante?

Por onde começa isso, e que raios de pergunta é essa? O cara do Responde Aí enlouqueceu?

Vamos lá. Imagine que l e A são funções do tempo. Nós não sabemos como é essa função de cada um no tempo, porém sabemos que a área de um quadrado é dada assim:

A = l 2

Mas como eu disse, ambos são função do tempo, certo?

A t = l t 2

Eu quero a taxa com que varia essa área aí. Para isso é interessante achar a taxa de variação da área pelo tempo. Ou seja, a derivada de A t por t ! Então, que tal derivar essa igualdade em relação ao tempo?

A t ' = l t 2 '

Mas repare, A é função de l , que é função do tempo. É como se tivéssemos uma função composta no l t 2 ! Nesse caso, temos que derivar com a Regra da Cadeia, e vai aparecer:

d A t d t = 2 l t d l t d t

E esse d l t d t vem da Regra da Cadeia para derivar em relação ao tempo a equação.

No instante tratado, l t 0 = 1   m e l t 0 ' = d l t d t t 0 = 1   m / s . Assim,

d A t d t = 2 l t d l t d t = 2 1 1 d A t d t = 2   m 2 / s

Ao calcular a relação entre as derivadas, relacionamos as taxas de variação de A e l em relação a t .

Logo, você terá uma equação que relaciona as variáveis do problema (no caso aqui, A = l 2 ). Todas serão função do tempo. Você derivará tudo em função do tempo, e aparecerão termos de taxas (com uma cara de d l t d t ou l t ' , como no exemplo).

Assim, substituímos as informações do problema e descobrimos a taxa desejada!

Expandir

Exercícios Passo a Passo

1 2 3

Enunciado

Se a água estiver sendo drenada de uma piscina e V litros for o volume de água na piscina t min após começar o escoamento, onde

V = 250 1600 - 80 t + t 2 ,

ache:

a ) A taxa média segundo a qual a água deixa a piscina durante os primeiros 5 min.

b ) Quão rápido a água está fluindo da piscina 5   m i n após o início do escoamento.

Resolução

Enunciado

A voltagem V (volts), a corrente I (amperes) e a resistência R (ohms) de um circuito elétrico (veja a seguir) estão relacionadas entre si pela equação V = I R . Suponha que V esteja aumentando a uma taxa de 1 v o l t s / s , enquanto I está diminuindo a uma taxa de 1 / 3 A / s . Representaremos o tempo t em segundos.

a ) Qual é o valor de d V / d t ?

b ) Qual é o valor de d I / d t ?

c ) Qual equação relaciona d R / d t , d V / d t e d I / d t ?

d ) Encontre a taxa com a qual R está variando quando V = 12 e I = 2 A . R está aumentando ou diminuindo?

Resolução

Enunciado

Sejam x e y funções deriváveis de t e seja s = x ² + y 2 a distância entre os pontos ( x , 0 ) e ( 0 , y ) no plano x y .

a ) Como d s / d t está relacionada a d x / d t se y é constante?

b ) Como d s / d t está relacionada a d x / d t e d y / d t se nem x nem y são constantes?

c ) Como d x / d t está relacionada a d y / d t se 𝑠 é constante?

Resolução

Videoaulas Curtinhas

Aulão de Aplicação de Derivadas

Aulão de Aplicação de Derivadas
Saia do zero para a aprovação em
3h01min

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