Resumão Completo

Teorema do Valor Médio

No tipo anterior, vimos o que é TVM, mas vamos dar uma olhada na sua fórmula novamente:

f ' c = f b - f a b - a

Essa fórmula é familiar para você? Não? Ok. E se, ao invés de f , colocássemos uma função-posição ( s ) :

s ' ( c ) = s b - s a b - a

Sabendo que:

Δ s = s b - s a ; Δ t = b - a

A velocidade média no intervalo ( a , b ) seria:

v m é d = Δ s Δ t = s b - s a b - a

Temos novamente a fórmula do TVM para a função s . Dessa maneira, o teorema também diz que existe c no intervalo ( a , b ) tal que:

s ' c = v m e d

Ou seja, a velocidade instantânea (derivada, valor que aparece no velocímetro do carro), em algum instante, é igual à velocidade média no intervalo.

Então, para uma função geral f , o TVM nos diz que a variação instantânea da função deve ser igual à variação média em algum ponto do intervalo.

Então não dê bobeira. Toda vez que a questão te der um intervalo e pedir para você mostrar que a derivada da função é igual à variação média da função nesse mesmo intervalo, não tem outra: é só aplicar a fórmula do TVM.

Entendeu legal, entendeu bonito? Então vamos continuar falando das utilidades do TVM como um bom vendedor fala das utilidades de um celular que chegará quebrado na sua casa.

Voltando a função-posição, imagine que um carro verde andava na estrada seguindo a trajetória (em km):

s t = t ² + 2 t

Em que ponto do intervalo ( 1,2 ) (em horas), a velocidade instantânea é igual à média?

O TVM nos diz que existe um ponto c no qual a velocidade instantânea é igual à média:

s ' c = s b - s a b - a = s 2 - s 1 2 - 1 = 8 - 3 s ' c = v c = 5 k m / h = v m e d

Agora, a chave para calcular o ponto onde a velocidade média instantânea é igual à média (instante c ) está no fato da função s ( t ) ser fornecida, pois podemos calcular, através dela, o valor de s c :

s ' t = 2 t + 2 s ' c = 2 c + 2

Substituindo na equação anterior:

2 c + 2 = 5 c = 3 2 h o r a s  

Repare ainda que 3/2 está entre 1 e 2, como era de se esperar. Assim, quando o enunciado te der a expressão da função e pedir para calcular o valor de c , é só você calcular f ( c ) derivando a expressão da função e substituir f ( c ) na fórmula do TVM.

Mas e se não houver uma solução para c? Quando não há solução para c , a função será descontínua. Assim, se a questão pedir para você mostrar que uma função é descontínua num intervalo, é só derivá-la, calcular f ( c ) , substituir na expressão do TVM e mostrar que c não tem solução ;-).

Raiz de Derivada

Uma das aplicações do teorema é encontrar a raiz da derivada, ou seja, quando:

f ' c = 0

Pelo TVM, quando f ' c = 0 ? Quando ele está no formato do teorema de Rolle, ou seja, quando:

f a = f ( b )

Então, para mostrar que f tem raiz num determinado intervalo ( a , b ) , basta que f ( a ) = f ( b ) e a função siga as condições do teorema de Rolle para que haja uma raiz para f ( c ) ali no meio.

Partiu exercícios!

Expandir

Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5

Enunciado

Passaram-se 14 s desde que um termômetro de mercúrio foi retirado do congelador que estava a - 19 º c de temperatura e colocado em água fervente a 100 º c . Demonstre que em algum lugar do trajeto a coluna de mercúrio estava subindo a uma taxa de 8,5 º c / s .

Resolução

Enunciado

Suponha a função f contínua para todo x 2 ,   5 e que:

f 2 = 7

f ' x 2

Qual o menor valor que f ( 5 ) pode ter?

Resolução

Enunciado

Utilizando o teorema do Valor Médio, prove que a função f abaixo é descontínua no intervalo [ - 1 ,   1 ] .

f x = 1 x

Resolução

Enunciado

Seja a função f definida abaixo, ache o número “ c ” que satisfaz o teorema do Valor Médio no intervalo [ - 1 ,   3 ] .

f x = x 2 - 5 x + 6

Resolução

Enunciado

Considere a função f x = x x + 1 x + 2 x + 3 . Mostre que a equação f ' x = 0 possui exatamente três raízes reais distintas.

Resolução

Aulão de Aplicação de Derivadas

Aulão de Aplicação de Derivadas
Saia do zero para a aprovação em
3h01min

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas