Resumão Completo

Área entre Curvas

Área entre curva e eixo x

Vamos tentar resolver o problema de calcular a área sob uma curva e o eixo x , como na figura abaixo:

Se a área hachurada formasse um polígono bonitinho, como um retângulo, poderíamos usar a fórmula da área dele para calcular o resultado.

Não é isso que acontece, mas ainda assim podemos chegar perto usando vários retângulos para aproximar a área do problema:

A altura de cada retângulo será o valor de f x no ponto médio e a base será o comprimento do intervalo divido pela quantidade de retângulos que temos, que podemos chamar essa base Δ x . Assim, a área aproximada será a soma da área de cada retângulo:

A f x 1 - Δ x + f x 2 - Δ x + + f x 2 - Δ x + = i = 1 n f x i - Δ x

Se tivermos um número muito grande de retângulos ( n ), teremos exatamente a área que queremos: A = lim n i = 1 n f x i - Δ x

Esse limite meio bizarro nada mais é que do que a integral da função nesse intervalo:

A = a b f x d x  

Assim, para f x = x 2 no intervalo 0,1 , por exemplo:

A = 0 1 x 2 d x = 1 3 u . a

É importante deixar u . a . no final da integral quando o problema não dá nenhuma unidade. Isso, porque u . a . indica “unidade de área”, já que a área não é adimensional.

E quando a função for negativa?

Quando a função for negativa, a altura de cada um dos retângulos que usamos na dedução não será mais f x - , mas sim - f x - , como na figura abaixo:

Isso faz com que a área seja:

A = - a b f x d x  

Como temos essa diferença de sinal para quando a função é negativa, antes de sair integrando sem dó, precisamos determinar os intervalos onde a função é negativa e onde é positiva e então separar em uma integral para cada intervalo!

Vejamos um exemplo! Vamos calcular a área entre a curva y = f x e o eixo x , com

f x = x 3 - 3 x 2 + 2 x

A primeira coisa a fazer então é determinar os limites de integração. O problema não deu o intervalo de integração, então ele provavelmente está nas raízes da função. Vamos calculá-las então:

x 3 -   3 x 2 +   2 x = x x 2 -   3 x + 2 =   x x - 1 x - 2 =   0

As 3 raízes são 0 ,   1 e 2 . Estudando o sinal de f , dá para tirar um esboço do gráfico dela:

A função muda de sinal, então vamos separar a área em duas: A 1 , no intervalo 0 ,   1 , onde a função é positiva, e A 2 , em 1 ,   2 , onde ela é negativa. Daí vamos ter:

A = A 1 + A 2

A = 0 1 x 3 -   3 x 2 +   2 x d x - 1 2 x 3 -   3 x 2 +   2 x d x = 1 2 u . a .

Simetria

Agora digamos que a gente quer calcular a área limitada por y = - x 2 + 1 e o eixo x . Se esboçarmos a função, temos que:

Está vendo que a área A 1 é igual a A 2 ? Então, basta calcular só um lado e multiplicar por dois:

A T O T = A 1 + A 2 = 2 A 1

Portanto, podemos determinar a área calculando

A = 2 0 1 - x 2 + 1 d x

Sempre que tiver alguma simetria assim, você pode integrar só metade do intervalo e multiplicar por 2 no final!

Essa simetria pode simplificar bastante as contas quando a função mudar de sinal. Por exemplo, para calcular a área entre a curva y = x de x = - 1 a x = 1 :

Basta fazer:

A T O T = 2 A 2 = 2 0 1 x d x

Assim não precisou nem separar em duas integrais ;)

Área entre curva e eixo y

Às vezes podemos ter x em função de y , e querer calcular a área entre o gráfico dessa função e o eixo y :

A definição é a mesma! Se x = g y , então:

A = c d g y d y

Da mesma forma que anteriormente, isso vale para os intervalos em que g ( y ) é positiva, isto é, quando g ( y ) está à direita do eixo y .

Nos intervalos em que g y é negativa, isto é, está à esquerda do eixo y , basta inverter o sinal:

A = - c d g y d y

Área entre Curvas Quaisquer

Vamos calcular a área hachurada na figura:

Ela pode ser calculada como uma diferença de áreas: a área embaixo da g menos a área embaixo da f , concorda? Bom, daí eu posso concluir:

A = a b g ( x ) d x - a b f x d x = a b [ g x - f x ] d x

Ou seja, basta fazer a integral da maior menos a menor.

Limites de Integração Desconhecidos

O problema é que tem casos em que pedem para calcular a área limitada entre duas curvas, mas não dão os limites de integração a e b .

Basta ver onde as funções se interceptam, fazendo:

f x = g ( x )

No caso da figura, iremos achar dois x . O menor vai ser a , e o maior vai ser b .

A boa também é fazer um esboço, pra visualizar qual função está em cima e qual está embaixo.

Depois é só seguir o procedimento normal:

a b [ f cima - f baixo ] d x

Divisão em intervalos diferentes

Em alguns casos mais complicados, teremos que dividir a área entre as curvas em duas ou mais áreas e calcular separadamente.

Por exemplo, nesse gráfico aí embaixo as funções se cruzam:

Percebe que no intervalo [ a , c ] a função g ( x ) está em cima e a função f ( x ) está embaixo? E no intervalo [ c , b ] ocorre o inverso: f ( x ) passa a ficar em cima de g ( x ) .

Então teremos:

A = a c g x - f x d x + c b f x - g x d x

Beleza??

Integrando em Relação a y

Da mesma forma, podemos calcular a área entre curvas definidas em função de y :

A diferença é que agora não integramos a função de cima menos a de baixo, e sim a função da direita menos a da esquerda:

A = c d g y - f y d y

Resumão

Segue um passo a passo maroto para problemas de áreas entre curvas:

1. Se os limites de integração não forem dados, iguale as equações das curvas e determine os pontos de interseção entre elas.

2. Esboce a figura e identifique a área a ser calculada.

2. Se necessário, divida a área em duas ou mais áreas.

3. Aplique a fórmula para cada área:

a b [ f cima - f baixo ] d x       ( em relação a   x )

Ou

a b [ f direita - f esquerda ] d y       ( em relação a   y )

Pronto! Agora você já está pronto para se aventurar nos exercícios!

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Área de Superfícies de Revolução

Eu sei que o nome assusta, mas vamos com calma.

Primeiro, uma superfície de revolução é uma superfície gerada quando giramos uma curva em torno de um eixo.

Por exemplo, a esfera é uma superfície de revolução. Se girarmos a função

y =   a 2 - x 2

Que é um semi-círculo de raio a e centrado na origem, em torno do eixo x , teremos a seguinte superfície resultante:

Rodando em torno do eixo x

Se uma função y = f x 0 é derivável num intervalo [ a , b ] , então a área da superfície gerada pela rotação dessa função em torno do eixo x é dada por:

  S = a b 2 π f x 1 + f ´ x 2   d x

Rodando em torno do eixo y

Se uma função x = g ( y ) 0 é derivável num intervalo [ c , d ] , então a área da superfície gerada pela rotação dessa função em torno do eixo y é dada por:

  S = c d 2 π g ( y )   1 + g ´ y 2   d y

Só aplicação de fórmula! Mas vejamos isso aí na prática.

O segmento de reta x = 1 - y ,     0 y 1 é girado em torno do eixo y , gerando o cone da figura abaixo. Vamos calcular a área superficial lateral desse sólido de revolução.

Uma observação importante: as fórmulas servem pra calcular só a área que foi gerada pela rotação. Ou seja, nesse caso é justamente o que ele quer: a área lateral do cone.

Caso ele pedisse a área externa toda do cone, teríamos que acrescentar a área da base, beleza?

Enfim, basta usar a fórmula com g y = 1 - y , e os intervalos de integração c = 0 e d = 1 :

S = 0 1 2 π ( 1 - y )   1 + 1 - y ´ 2   d y

S = 0 1 2 π ( 1 - y )   2   d y

S = 2 π 2   y - y 2 2 0 1 = 2 π

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Cálculo de Volume

Método dos Discos

Usamos esse método pra calcular o volume de sólidos obtidos pela rotação de alguma figura em torno de um eixo (os famosos sólidos de revolução).

Rodando em torno do eixo x

Seja uma função f ( x ) contínua em a , b .

Vamos considerar a região limitada pelo gráfico y = f x e pelas retas x = a e x = b .

O volume do sólido de revolução obtido pela rotação dessa região em torno do eixo x é:

V = a b π   f x 2 d x

Isso vem da fórmula da área de um disco com raio f x , reparou?

A = π R 2 = π f x 2

Enfim, vejamos um exemplo.

Vamos calcular o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo x da região limitada pela curva y = x 2 , pelas retas x = 1 e x = 2 .

Basta aplicar a fórmula:

V = 1 2 π x 2 2 d x   = 1 2 π   x 4 d x  

V = π x 5 5 1 2 = 31 5 π

Rodando em torno de uma reta paralela ao eixo x

Nesse caso o raio não é mais f ( x ) porque a distância ao eixo de revolução passa a ser a distância da curva até essa reta.

O volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região R em torno da reta y = L é dado por:

V = a b π R 2 d x = a b π f x - L 2 d x

Essa é a única diferença, o resto é só integrar igual!

Rodando em torno do eixo y

Pra rotações em torno do eixo y a fórmula fica no mesmo formato:

V = a b π   f y 2 d y

Vamos calcular o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo y da região limitada pela curva y = f x = ln x , pelas retas x = 0 e y = 0 e y = 1 .

Repara que temos y = f x , mas na fórmula precisamos de um f y . Então temos que escrever x em função de y :

y = ln x

e y = e ln x

x = e y

Show? Agora sim é só partir pro abraço!

V = 0 1 π e y 2 d y   = 0 1 π   e 2 y d y  

V = π e 2 y 2 0 1

V = π 2 e 2 - 1

Então fica a dica: às vezes você vai ter que reescrever a função antes de aplicar a fórmula. Agora vamos ver uns exercícios!

Método dos Anéis

A ideia desse método é bastante semelhante à ideia do método do disco. A diferença é que o método do disco é utilizado para quando giramos uma região limitada por duas curvas em torno de um eixo, ao invés de girarmos uma curva.

O eixo x não é mais a fronteira da região que estou girando. Nesse caso, sempre haverá uma diferença de volumes. Complicou???? Nããão! Vamos lá!

Rotação em torno do eixo x

É um sólido com um buraco no meio. Nesse caso, sempre haverá uma diferença de volumes. O volume será dado pela diferença entre o volume da região maior e o volume da região menor. Basta descobrir os dois raios: o raio externo ( R E ) e o raio interno ( R I ) .

No caso em que estou simplesmente girando em torno do eixo x , o raio externo será a função que está acima, no caso da figura, f ( x ) e o raio interno a função que está abaixo. No caso da figura, g ( x ) .

V = a b π R E 2 - π   R I 2   d x

V = a b π f x 2 - π g x 2 d x

Exemplo: Encontre o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x da região limitada pelas curvas y = e x   e y = x e pelas retas x = 0 e x = 2 .

V = 0 2 π R E 2 - π   R I 2   d x

V = 0 2 π e x 2 - x 2 d x

V = π 0 2 e 2 x - x 2 d x = π e 4 2 - 8 3 - 1 2   u . v .

Rotação em torno de uma reta paralela ao eixo x

Nesse caso, essa reta y = L   passa a ser o eixo de revolução. Aí os raios externo e interno não são mais f ( x ) e g ( x ) porque a distância ao eixo de revolução passa a ser a distância de cada curva até essa reta y = L . O que temos é o seguinte:

R E = f x - L

R I = g x - L

V = a b π R E 2 - π   R I 2   d x

V = a b π f x - L 2 - g x - L 2 d x

Rotação em torno do eixo y

Nesse caso, a única coisa que muda é que ambas as funções têm que estar definidas em função da variável y . Assim como no caso de volume de um sólido gerado pela rotação de uma região limitada por uma curva e o eixo, a variável independente tem que ser a mesma do eixo em relação em torno do qual faço a rotação.

V = a b A ( y ) d y = a b π f y 2 - π g y 2 d y

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Cascas Cilíndricas

Quando aplicar o método das cascas cilíndricas?

Usamos esse método pra calcular volumes de sólidos de revolução, que nada mais são do que sólidos obtidos pela rotação de uma figura em torno de algum eixo.

Por exemplo, um cone é um sólido de revolução, obtido pela rotação de um triângulo em torno de um eixo:

Não precisamos de integral pra calcular o volume de um cone né?

Agora suponha que queremos calcular o volume do sólido originado pela rotação, em torno do eixo y , do gráfico de uma função f ( x ) ao longo de um intervalo [ a , b ] :

Vamos imaginar uma “casca” que está a uma distância x do eixo y , tem altura f ( x ) e uma espessura beeem pequena d x .

O volume da revolução dessa casca em torno de y é:

d v = 2 π x f ( x ) d x

Entendendo:

2 π x   é   o   p e r í m e t r o   d a   c i r c u n f e r ê n c i a   ( 2 π r ,   l e m b r a ? ) f x d x   ( a l t u r a   v e z e s   e s p e s s u r a )

Logo, podemos integrar de x = a a x = b essa expressão e obteremos o volume que queremos:

V = a b 2 π x   f ( x ) d x

Só umas observações...

Caso a função tenha sinal negativo no intervalo de integração, deve-se calcular:

V = a b 2 π x ( -   f x ) d x

Outra coisa: também podemos aplicar o método para curvas que giram em torno de x :

Repare: y é o raio, d y é a espessura da casca e f ( y ) é a largura da casca.

V = 0 3 2 π y   f ( y ) d y

Agora vamos para os exercícios praticar!

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Seções Transversais

Provavelmente você não sabe calcular o volume desse sólido (rosa) acima. Vamos dar ferramentas para você conseguir fazer isso.

Imagina que você tem um serrote, ou um facão, ou uma espada, ou uma serra elétrica, ou... Bem... Imagina que você corte esse sólido perpendicularmente ao eixo x . Você vai encontrar uma seção transversal (na figura, a área azul, por exemplo).

Essa seção transversal tem uma área A ( x ) (está em função de x porque a área da seção vai ser diferente dependendo em que ponto do eixo x você fizer o corte). Se essa seção é muuuuito fina, no limite de tão fina que ela é, ela vai ter uma espessura d x . Portanto, o volume dessa seção é:

A x d x

Se integrarmos de a até b , teremos o volume do sólido no intervalo a , b . Assim:

V = a b A ( x ) d x

Vamos usar como exemplo, o volume de um cilindro reto com altura h e raio r .

Nesse sólido:

A x = π r 2   ( área do círculo )

V = 0 h π r 2 d x = π r 2 x 0 h   = π r 2 h - π r 2 0 =

= π r 2 h

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Volume de Sólidos Infinitos

Se tivermos uma região que queremos rotacionar, e essa região for limitada por essa curva que possui uma assíntota e um eixo, para calcular o volume do sólido gerado por essa rotação, teremos que utilizar integral imprópria.

A ideia é a mesma: a curva tende àquele eixo quando x ou y   . Então um dos limites de integração será infinito.

Vou usar o mesmo exemplo que usei lá em áreas com integral imprópria.

Exemplo: Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região R dada abaixo em torno do eixo x .

Lembra que para um sólido de rotação em torno do eixo x , o volume é definido por:

V = a b π R 2 d x

O raio é a distância entre a curva e o eixo de rotação e a e b são os limites de integração. Nesse caso, como o eixo de rotação é o próprio eixo x , então o raio será f ( x ) . Além disso, nesse caso, b será + .

Pronto. Então temos assim:

V = 0 π f x 2 d x

V = π 0 1 x + 1 x + 2 2 d x

V = π   lim b + 0 b 1 x + 1 x + 2 2 d x

Vamos resolver a primitiva e depois encontrar os limites:

1 x + 1 2 x + 2 2 d x

Frações parciais... É aquele caso em que todos os termos do denominador são lineares mas se repetem, lembra?

1 x + 1 2 x + 2 2 = A x + 1 + B x + 1 2 + C x + 2 + D x + 2 2

1 = A x + 1 x + 2 2 + B x + 2 2 + C x + 1 x + 2 + D x + 1 2

Para x = - 1 :

1 = A - 1 + 1 - 1 + 2 2 + B - 1 + 2 2 + C - 1 + 1 - 1 + 2 + D - 1 + 1 2

B = 1

Para x = - 2 :

1 = A - 2 + 1 - 2 + 2 2 + B - 2 + 2 2 + C - 2 + 1 - 2 + 2 + D - 2 + 1 2

D = 1

Para x = 1 : 1 = A 1 + 1 1 + 2 2 + 1 + 2 2 + C 1 + 1 1 + 2 + 1 + 1 2

1 = 18   A + 9 + 6   C + 4

18   A + 6 C =   - 12

Para x = 0 : 1 = A 0 + 1 0 + 2 2 + 0 + 2 2 + C 0 + 1 0 + 2 + 0 + 1 2

1 = 4 A + 4 + 2   C + 1

4   A + 2 C =   - 4

4   A + 2 C =   - 4 12   A + 6 C =   - 12

18   A + 6 C =   - 12

- 6   A = 0 A = 0

C =   - 2

1 x + 1 2 x + 2 2 = 1 x + 1 2 + - 2 x + 2 + 1 x + 2 2

1 x + 1 x + 2 d x = 1 x + 1 2   d x - - 2 x + 2 d x + 1 x + 2 2 d x  

Essas duas integrais saem por substituição simples:

1 x + 1 2   d x =   - 1 ( x + 1 )

1 x + 2 2 d x =   - 1 x + 2

- 2 x + 2 d x =   - 2 ln | x + 2 |

1 x + 1 2 x + 2 2 d x = - 1 x + 1 - 1 x + 2   - 2 ln | x + 2 |

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:

0 b 1 x + 1 2 x + 2 2 d x = - 1 b + 1 - 1 b + 2   - 2 ln b + 2 - ( - 1 0 + 1 - 1 0 + 2   - 2 ln 0 + 2

= - 1 b + 1 - 1 b + 2   - 2 ln b + 2 + 1 + 1 2 - 2 ln 2

lim b 0 b 1 x + 1 2 x + 2 2 d x = l i m b   - 1 b + 1 - 1 b + 2   - 2 ln b + 2 + 1 + 1 2 - 2 ln 2

= 3 2 - 2 ln 2

V = π   lim b + 0 b 1 x + 1 x + 2 2 d x = π   3 2 - 2 ln 2

V = π   3 2 - 2 ln 2   u . v .  

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Comprimento de Arco

Bom, já sabemos que para calcular o comprimento de arco de uma curva definida por f x entre um ponto a e um ponto b , basta usar a fórmula

c = a b 1 + f ' x 2 d x

Ou

c = c d 1 + f ' y 2 d y

E o que acontece quando temos uma função f ( x ) definida como f x = a x g t d t , onde a é uma constante qualquer?

c = a b 1 + f ' x 2 d x

Como fazemos para calcular f ' ( x ) ? Isso mesmo! Utilizamos o nosso querido e amado Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1!

f ' x = g ( x )  

c = a b 1 + g ( x ) 2 d x

Lembre-se que, se ao invés de f x = a x g t d t , tivermos f x = a u ( x ) g t d t , temos que usar a regra da cadeia para calcular f ' ( x ) :

f ' x = g u x . u ' ( x )

Exemplo:Encontre o comprimento de arco da curva abaixo:

f x = a x t g 2 t + 2 t g   t   d t ,           0 x π 3

c =   0 π 3 1 + f ' x 2   d x

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1:

f ' x = t g 2 x + 2 t g   x

c =   0 π 3 1 + t g 2 x + 2 t g   x 2   d x

c =   0 π 3 t g x + 1 2   d x

c =   0 π 3 ( t g   x + 1 )   d x

c = ln | sec x | +   x π 3 0

c = ln 2 + π 3 - ( ln 1 + 0 )   π 3 0

c = ln 2 + π 3     u . c .

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Valor Médio de uma Função

Vamos ver aqui como faz pra calcular o valor médio de uma função num intervalo.

Bom, vamos por partes. Pensando primeiro numa função constante, é meio intuitivo que a média será o próprio valor c :

Mas e se tivermos uma função como a da figura abaixo?

A ideia é a seguinte: pensa nisso aí em cima como a água em um tanque entre as paredes do tanque, representadas por x = a e x = b . Quando água balança, a altura varia a cada ponto, mas a média é a mesma, pois a quantidade de água dentro do tanque não muda.

Então podemos interpretar essa média como a área limitada pela função dividida pelo intervalo b - a .

Falou em área, falou em integral! Por isso a fórmula:

V a l o r   m é d i o = 1 b - a   a b f x d x

Por exemplo, o valor médio da função seno no intervalo 0 , π   é:

V a l o r   m é d i o = 1 π - 0   0 π s e n   x   d x = 1 π - cos x 0 π

V a l o r   m é d i o = 1 π

Pronto! Vamos partir para os exercícios??

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Trabalho de uma Força

Já sabemos que as integrais são utilizadas para calcular áreas e volumes. Mas, além disso, elas também podem ser utilizadas para calcular fenômenos físicos. Vamos ver agora como aplicar as integrais para calcular o trabalho realizado por uma força.

Definição

Por definição, o trabalho realizado por uma força é denominado tem W e definido como a força vezes a distância na qual a força atua.

W = F o r ç a   X   d i s t â n c i a   d e   a t u a ç ã o   d a   f o r ç a

Ocorre que nem sempre a força é constante em toda a distância, o que dificulta o cálculo do trabalho. Nesses casos, é como se, em intervalos infinitesimais eu pudesse considerar a força constante. Então, eu escrevo essa expressão em sua forma infinitesimal. Assim:

d W = F   d x

Então, em problemas em que quero calcular o trabalho realizado por uma força variável na direção do eixo x , eu preciso conhecer a expressão de F em função de x , o que me permitirá escrever essa função em sua forma integrada:

W = a b F x d x

Também é preciso conhecer os pontos inicial e final para determinar os limites de integração. A integral pode se tornar mais fácil ou mais difícil dependendo da expressão para F ( x ) . Vamos fazer alguns exemplos?

Exemplo 1 - Mola

Determine o trabalho necessário para esticar uma mola partindo de seu comprimento inicial de 1 m até um comprimento de 2 m além do seu comprimento original se a constante da mola é K = 30 N m .

Como eu disse anteriormente, o cálculo do trabalho realizado por uma força variável no eixo x depende de conhecermos sua expressão para x . No enunciado, temos uma força elástica, isto é, a força para comprimir uma mola. Pela Lei de Hooke, sabemos que a força para comprimir ou esticar uma mola de x unidades de comprimento pode ser definida como F = K x , sendo K a chamada constante da mola.

Portanto, podemos substituir a expressão da Lei de Hooke para calcular o trabalho dessa força.

E os limites de integração?

Nesses problemas, é sempre importante estabelecer a origem do sistema de coordenadas, lembrando que é você quem escolhe essa origem, o importante é que você seja sempre coerente com ela. Nesse caso, estamos tratando do trabalho unidimensional, apenas na direção x .

Podemos pensar na mola não comprimida. Se estabelecermos que a origem do eixo x da seguinte forma:

O limite inferior será 0 e o limite superior 2 m , visto que ele quer que a mola seja esticada 2 m ALÉM do seu comprimento original 2 m   não é o comprimento final da mola, então a força age por 2 m

W = 0 2 K x d x

W = K x 2 2 2 1

W = 30 2 2 2 - 0

W = 60   J

Exemplo 2 – Içar um corpo

Qual o trabalho realizado para içar um balde que pesa 5   N a partir do solo com velocidade constante com uma corda de 20   m de comprimento sabendo que a corda pesa 0,08 k g m ?

Bom, se queremos o trabalho de ume força em dada direção, temos que estabelecer uma expressão para a força nessa direção.

Então o primeiro ponto é estabelecer que força foi feita nesse caso. Bom, no enunciado, tem uma “pegadinha”. Observa que ele diz que o balde foi içado com velocidade constante. Pela primeira Lei de Newton, sabemos que um corpo tem velocidade constante quando o somatório das forças que agem sobre ele é nulo.

Bom, temos que pensar que, nesse caso, ele pede o trabalho para içar o balde, só que ele deu a massa da corda, o que significa que ela não é desprezível. Logo, o trabalho realizado, na verdade, é o trabalho necessário para içar o sistema balde +corda. Que forças agem sobre o sistema balde + corda?

  • Peso do balde
  • Peso da corda
  • Força para içar

Se o sistema é içado a velocidade constante, sabemos que a força para içar deve ser igual à soma da força peso do balde + a força peso da corda.

Sabemos que a força peso é definida como:

P = m a s s a   X   a c e l e r a ç ã o   d a   g r a v i d a d e

P b a l d e = m b a l d e g

O balde tem peso constante e já é dado no enunciado ( 5 N ) . Mas o peso da corda é dada em função do seu comprimento. Conforme a corda vai sendo puxada, uma parte cada vez menor dela faz peso. Se estabelecermos o seguinte sistema de coordenadas: