Resumão Completo

Área entre Curvas

Área entre curva e eixo x

Vamos tentar resolver o problema de calcular a área sob uma curva e o eixo x , como na figura abaixo:

Se a área hachurada formasse um polígono bonitinho, como um retângulo, poderíamos usar a fórmula da área dele para calcular o resultado.

Não é isso que acontece, mas ainda assim podemos chegar perto usando vários retângulos para aproximar a área do problema:

A altura de cada retângulo será o valor de f x no ponto médio e a base será o comprimento do intervalo divido pela quantidade de retângulos que temos, que podemos chamar essa base Δ x . Assim, a área aproximada será a soma da área de cada retângulo:

A f x 1 - Δ x + f x 2 - Δ x + + f x 2 - Δ x + = i = 1 n f x i - Δ x

Se tivermos um número muito grande de retângulos ( n ), teremos exatamente a área que queremos: A = lim n i = 1 n f x i - Δ x

Esse limite meio bizarro nada mais é que do que a integral da função nesse intervalo:

A = a b f x d x  

Assim, para f x = x 2 no intervalo 0,1 , por exemplo:

A = 0 1 x 2 d x = 1 3 u . a

É importante deixar u . a . no final da integral quando o problema não dá nenhuma unidade. Isso, porque u . a . indica “unidade de área”, já que a área não é adimensional.

E quando a função for negativa?

Quando a função for negativa, a altura de cada um dos retângulos que usamos na dedução não será mais f x - , mas sim - f x - , como na figura abaixo:

Isso faz com que a área seja:

A = - a b f x d x  

Como temos essa diferença de sinal para quando a função é negativa, antes de sair integrando sem dó, precisamos determinar os intervalos onde a função é negativa e onde é positiva e então separar em uma integral para cada intervalo!

Vejamos um exemplo! Vamos calcular a área entre a curva y = f x e o eixo x , com

f x = x 3 - 3 x 2 + 2 x

A primeira coisa a fazer então é determinar os limites de integração. O problema não deu o intervalo de integração, então ele provavelmente está nas raízes da função. Vamos calculá-las então:

x 3 -   3 x 2 +   2 x = x x 2 -   3 x + 2 =   x x - 1 x - 2 =   0

As 3 raízes são 0 ,   1 e 2 . Estudando o sinal de f , dá para tirar um esboço do gráfico dela:

A função muda de sinal, então vamos separar a área em duas: A 1 , no intervalo 0 ,   1 , onde a função é positiva, e A 2 , em 1 ,   2 , onde ela é negativa. Daí vamos ter:

A = A 1 + A 2

A = 0 1 x 3 -   3 x 2 +   2 x d x - 1 2 x 3 -   3 x 2 +   2 x d x = 1 2 u . a .

Simetria

Agora digamos que a gente quer calcular a área limitada por y = - x 2 + 1 e o eixo x . Se esboçarmos a função, temos que:

Está vendo que a área A 1 é igual a A 2 ? Então, basta calcular só um lado e multiplicar por dois:

A T O T = A 1 + A 2 = 2 A 1

Portanto, podemos determinar a área calculando

A = 2 0 1 - x 2 + 1 d x

Sempre que tiver alguma simetria assim, você pode integrar só metade do intervalo e multiplicar por 2 no final!

Essa simetria pode simplificar bastante as contas quando a função mudar de sinal. Por exemplo, para calcular a área entre a curva y = x de x = - 1 a x = 1 :

Basta fazer:

A T O T = 2 A 2 = 2 0 1 x d x

Assim não precisou nem separar em duas integrais ;)

Área entre curva e eixo y

Às vezes podemos ter x em função de y , e querer calcular a área entre o gráfico dessa função e o eixo y :

A definição é a mesma! Se x = g y , então:

A = c d g y d y

Da mesma forma que anteriormente, isso vale para os intervalos em que g ( y ) é positiva, isto é, quando g ( y ) está à direita do eixo y .

Nos intervalos em que g y é negativa, isto é, está à esquerda do eixo y , basta inverter o sinal:

A = - c d g y d y

Área entre Curvas Quaisquer

Vamos calcular a área hachurada na figura:

Ela pode ser calculada como uma diferença de áreas: a área embaixo da g menos a área embaixo da f , concorda? Bom, daí eu posso concluir:

A = a b g ( x ) d x - a b f x d x = a b [ g x - f x ] d x

Ou seja, basta fazer a integral da maior menos a menor.

Limites de Integração Desconhecidos

O problema é que tem casos em que pedem para calcular a área limitada entre duas curvas, mas não dão os limites de integração a e b .

Basta ver onde as funções se interceptam, fazendo:

f x = g ( x )

No caso da figura, iremos achar dois x . O menor vai ser a , e o maior vai ser b .

A boa também é fazer um esboço, pra visualizar qual função está em cima e qual está embaixo.

Depois é só seguir o procedimento normal:

a b [ f cima - f baixo ] d x

Divisão em intervalos diferentes

Em alguns casos mais complicados, teremos que dividir a área entre as curvas em duas ou mais áreas e calcular separadamente.

Por exemplo, nesse gráfico aí embaixo as funções se cruzam:

Percebe que no intervalo [ a , c ] a função g ( x ) está em cima e a função f ( x ) está embaixo? E no intervalo [ c , b ] ocorre o inverso: f ( x ) passa a ficar em cima de g ( x ) .

Então teremos:

A = a c g x - f x d x + c b f x - g x d x

Beleza??

Integrando em Relação a y

Da mesma forma, podemos calcular a área entre curvas definidas em função de y :

A diferença é que agora não integramos a função de cima menos a de baixo, e sim a função da direita menos a da esquerda:

A = c d g y - f y d y

Resumão

Segue um passo a passo maroto para problemas de áreas entre curvas:

1. Se os limites de integração não forem dados, iguale as equações das curvas e determine os pontos de interseção entre elas.

2. Esboce a figura e identifique a área a ser calculada.

2. Se necessário, divida a área em duas ou mais áreas.

3. Aplique a fórmula para cada área:

a b [ f cima - f baixo ] d x       ( em relação a   x )

Ou

a b [ f direita - f esquerda ] d y       ( em relação a   y )

Pronto! Agora você já está pronto para se aventurar nos exercícios!

Expandir

Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5 6 7 8

Enunciado

Calcule a área da região compreendida entre o gráfico de

f x = x 3 1 - x 2

E o eixo x , com x 0 , 1 2

Resolução

Enunciado

Determine a área da região R , onde:

R é a região limitada pela curva y = x 3 + x , pelo eixo x e pelas retas x = - 2 e x = 1 .

Resolução

Enunciado

Calcule a área delimitada entre as curvas:

y = 1 x         ;           y = x           ;           y = x 4           ;           x > 0

Resolução

Enunciado

Calcule a área delimitada entre as curvas:

y = 1 - x 2           ;           y = 1 + x 2           ;           y = - 3 x 2 + 2             ;         x = 1

Resolução

Enunciado

Considere a região R delimitada pelas curvas y = x 3 e y = 2 x - x 2

( a ) Esboce a região R .

( b ) Calcule a área da região R .

Resolução

Enunciado

Calcule a área delimitada entre as curvas:

y = cossec 2 x           ;           y = 2 + cotg 2 x           ;           1 x 2

Resolução

Enunciado

Seja R a região limitada entre y = x - x 2 e o eixo x . Encontre a equação da reta que passa pela origem e que divide R em duas subregiões com áreas iguais.

Resolução

Enunciado

Calcule a área da região limitada pelas curvas y = x 2 + 1   e y = | 2 x | . Faça um esboço da região.

Resolução

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