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Valor Médio de uma Função

Vamos ver aqui como faz pra calcular o valor médio de uma função num intervalo.

Bom, vamos por partes. Pensando primeiro numa função constante, é meio intuitivo que a média será o próprio valor c :

Mas e se tivermos uma função como a da figura abaixo?

A ideia é a seguinte: pensa nisso aí em cima como a água em um tanque entre as paredes do tanque, representadas por x = a e x = b . Quando água balança, a altura varia a cada ponto, mas a média é a mesma, pois a quantidade de água dentro do tanque não muda.

Então podemos interpretar essa média como a área limitada pela função dividida pelo intervalo b - a .

Falou em área, falou em integral! Por isso a fórmula:

V a l o r   m é d i o = 1 b - a   a b f x d x

Por exemplo, o valor médio da função seno no intervalo 0 , π   é:

V a l o r   m é d i o = 1 π - 0   0 π s e n   x   d x = 1 π - cos x 0 π

V a l o r   m é d i o = 2 π

Pronto! Vamos partir para os exercícios??

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Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4

Enunciado

Encontre o valor médio da função no intervalo dado

f x = 4 x - x 2 ,     0,4

Resolução

Enunciado

Encontre o valor médio da função no intervalo dado

f x = cos 4 x sen x     [ 0 , π ]

Resolução

Enunciado

Encontre os valores de b tais que o valor médio de f x = 2 + 6 x - 3 x 2 no intervalo 0 , b é igual a 3 .

Resolução

Enunciado

A velocidade v do sangue que circula em uma veia com raio R e comprimento l a uma distância r do eixo central é

v r = P 2 η l R 2 - r 2

Em que P é a diferença de pressão entre as extremidades da veia e η é a viscosidade do sangue.

Encontre a velocidade média (em relação a r ) no intervalo 0 r R . Compare a velocidade média com a velocidade máxima.

Resolução

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