Resumão Completo

Volume de Sólidos Infinitos

Se tivermos uma região que queremos rotacionar, e essa região for limitada por essa curva que possui uma assíntota e um eixo, para calcular o volume do sólido gerado por essa rotação, teremos que utilizar integral imprópria.

A ideia é a mesma: a curva tende àquele eixo quando x ou y   . Então um dos limites de integração será infinito.

Vou usar o mesmo exemplo que usei lá em áreas com integral imprópria.

Exemplo: Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região R dada abaixo em torno do eixo x .

Lembra que para um sólido de rotação em torno do eixo x , o volume é definido por:

V = a b π R 2 d x

O raio é a distância entre a curva e o eixo de rotação e a e b são os limites de integração. Nesse caso, como o eixo de rotação é o próprio eixo x , então o raio será f ( x ) . Além disso, nesse caso, b será + .

Pronto. Então temos assim:

V = 0 π f x 2 d x

V = π 0 1 x + 1 x + 2 2 d x

V = π   lim b + 0 b 1 x + 1 x + 2 2 d x

Vamos resolver a primitiva e depois encontrar os limites:

1 x + 1 2 x + 2 2 d x

Frações parciais... É aquele caso em que todos os termos do denominador são lineares mas se repetem, lembra?

1 x + 1 2 x + 2 2 = A x + 1 + B x + 1 2 + C x + 2 + D x + 2 2

1 = A x + 1 x + 2 2 + B x + 2 2 + C x + 1 x + 2 + D x + 1 2

Para x = - 1 :

1 = A - 1 + 1 - 1 + 2 2 + B - 1 + 2 2 + C - 1 + 1 - 1 + 2 + D - 1 + 1 2

B = 1

Para x = - 2 :

1 = A - 2 + 1 - 2 + 2 2 + B - 2 + 2 2 + C - 2 + 1 - 2 + 2 + D - 2 + 1 2

D = 1

Para x = 1 : 1 = A 1 + 1 1 + 2 2 + 1 + 2 2 + C 1 + 1 1 + 2 + 1 + 1 2

1 = 18   A + 9 + 6   C + 4

18   A + 6 C =   - 12

Para x = 0 : 1 = A 0 + 1 0 + 2 2 + 0 + 2 2 + C 0 + 1 0 + 2 + 0 + 1 2

1 = 4 A + 4 + 2   C + 1

4   A + 2 C =   - 4

4   A + 2 C =   - 4 12   A + 6 C =   - 12

18   A + 6 C =   - 12

- 6   A = 0 A = 0

C =   - 2

1 x + 1 2 x + 2 2 = 1 x + 1 2 + - 2 x + 2 + 1 x + 2 2

1 x + 1 x + 2 d x = 1 x + 1 2   d x - - 2 x + 2 d x + 1 x + 2 2 d x  

Essas duas integrais saem por substituição simples:

1 x + 1 2   d x =   - 1 ( x + 1 )

1 x + 2 2 d x =   - 1 x + 2

- 2 x + 2 d x =   - 2 ln | x + 2 |

1 x + 1 2 x + 2 2 d x = - 1 x + 1 - 1 x + 2   - 2 ln | x + 2 |

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:

0 b 1 x + 1 2 x + 2 2 d x = - 1 b + 1 - 1 b + 2   - 2 ln b + 2 - ( - 1 0 + 1 - 1 0 + 2   - 2 ln 0 + 2

= - 1 b + 1 - 1 b + 2   - 2 ln b + 2 + 1 + 1 2 - 2 ln 2

lim b 0 b 1 x + 1 2 x + 2 2 d x = l i m b   - 1 b + 1 - 1 b + 2   - 2 ln b + 2 + 1 + 1 2 - 2 ln 2

= 3 2 - 2 ln 2

V = π   lim b + 0 b 1 x + 1 x + 2 2 d x = π   3 2 - 2 ln 2

V = π   3 2 - 2 ln 2   u . v .  

Expandir

Exercícios Passo a Passo

1 2 3

Enunciado

Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da curva

y = 1 x sen π x ,         x   1 , + ,

Em torno do eixo x .

Resolução

Enunciado

Tendo em vista a área entras as funções abaixo:

y = e - x           ;           y = 1 x           ;           x = 1

Calcule o volume do sólido obtido na rotação dessa região em torno do eixo x .

Resolução

Enunciado

Ao rotacionarmos em torno do eixo x a região delimitada pela função f x = e - x ,   0 x α , obtemos um sólido conhecido por Trombeta de Gabriel. No entando, ao girarmos em torno do eixo y , obtemos um outro sólido conhecido como Vulcão de Descartes.

b Calcule o volume do Vulcão de Descartes, para α suficientemente grande, ou seja, α .

Resolução

Aulão de Aplicação de Integrais

Aulão de Aplicação de Integrais
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