Resumão Completo

O que é Derivada?

Lembra daquele limite que a gente te apresentou no capítulo introdutório como uma definição da derivada? Esse limite aqui embaixo:

f ' x = lim Δ x 0 f x + Δ x - f x Δ x

Como eu acabei de falar (e o título do capítulo já diz, né?), essa é a definição da derivada! Para qualquer f x podemos calcular sua derivada por esse limite aí em cima.

E é exatamente a isso que esse capítulo se propõe! Aqui vamos pegar funções diversas e calcular as suas funções derivadas para todo x .

OBS.: Pela dificuldade para calcular, é difícil que por agora seja pedido que você calcule a definição da derivada para funções como f x = sen x , f x = ln x , f x = e x e outras funções não polinomiais.

Ex: Calcule a derivada de f x = 2 x + 3

Vamos na definição

f ' x = lim Δ x 0 f x + Δ x - f x Δ x

Agora temos que aplicar x + Δ x e x na função f x , assim como temos no numerador da definição f x + Δ x - f x :

lim Δ x 0 2 x + Δ x + 3 - 2 x + 3 Δ x

= lim Δ x 0 2 x + 2 Δ x + 3 - 2 x - 3 Δ x = lim Δ x 0 2 Δ x Δ x

Cortamos o Δ x :

lim Δ x 0 2 Δ x Δ x = lim Δ x 0 2 = 2

Ou seja, f ' x = 2 para f x = 2 x + 3 ! É um resultado que faz bastante sentido, já que 2 x + 3 é uma reta, que é um comportamento que mantém sempre a mesma taxa de variação para todo x , a qual é representada pela derivada.

Ex: Calcule a derivada de f x = x 3 + 4 x - 2

Vamos na definição

f ' x = lim Δ x 0 f x + Δ x - f x Δ x

Agora temos que aplicar x + Δ x e x na função f x , assim como temos no numerador da definição f x + Δ x - f x :

lim Δ x 0 x + Δ x 3 + 4 x + Δ x - 2 - x 3 + 4 x - 2 Δ x

= lim Δ x 0 x 3 + 3 x 2 Δ x + 3 x Δ x 2 + Δ x 3 + 4 x + 4 Δ x - 2 - x 3 + 4 x - 2 Δ x

Vamos cortar todos os termos que se repetem:

= lim Δ x 0 x 3 + 3 x 2 Δ x + 3 x Δ x 2 + Δ x 3 + 4 x + 4 Δ x - 2 - x 3 - 4 x + 2 Δ x

= lim Δ x 0 3 x 2 Δ x + 3 x Δ x 2 + Δ x 3 + 4 Δ x Δ x

Dividimos pelo Δ x :

lim Δ x 0 3 x 2 + 3 x Δ x + Δ x 2 + 4

= 3 x 2 + 3 x 0 + 0 2 + 4

= 3 x 2 + 4

Então, a derivada de f x = x 3 + 4 x - 2 é f ' x = 3 x 2 + 4 .

OBS:

A definição de derivada pode ser calculada usando outra fórmula

f ' x = lim k x f k - f x k - x

O passo a passo é igualzinho, a única diferença é que o limite as vezes pode ficar mais fácil de fazer usando essa fórmula.

É isso! Agora é só praticar bem essa definição.

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Propriedades das Derivadas

Introdução

O carrinho abaixo se desloca em linha reta para a direita:

Beleza, te digo o seguinte: o carrinho andou 100   k m de 10 h da manhã até 11 h . Te pergunto, qual é a velocidade média dele? E qual é a velocidade dele às 10 : 30 ?

Repare, a primeira pergunta é sobre a velocidade média, enquanto a segunda é sobre a velocidade no instante (ou instantânea). Pra primeira, é fácil:

v M = S t = 100 11 - 10 = 100   k m / h

Agora, responder a segunda só com as informações dadas é impossível!

A velocidade instantânea pode ser 100 , caso ele tenha mantido a velocidade constante sempre, pode ser 0 , se ele ficou parado em algum momento. Enfim, uma infinidaaaade de outras possibilidades.

Ok, mas como eu conseguiria descobrir essa taxa de variação instantânea? Sim, através da nossa queridíssima derivada!

Melhorando: a derivada é a taxa de variação instantânea de uma grandeza em relação a outra (no nosso caso, a variação da posição em relação ao tempo).

Está abstrato ainda? Aguarde e confie, hora de aprofundar!

Limites e Derivadas

Cara, pensa assim: concorda que num intervalo bem pequeno eu poderia aproximar a velocidade no instante pela média dela?

Digo, para um objeto que se move com posição dada por s ( t ) eu posso ir aproximando a velocidade instantânea dele num ponto A , pela velocidade média desse ponto e de alguém perto dele.

Acompanha o exemplo: aproximando para t = 1 ; t = 3 :

v média = Δ s Δ t

v média = s 3 - s 1 3 - 1   v ( 1 )

Quero uma precisão maior, vou usar t = 2 , que é mais perto de t = 1 :

v ( 1 ) s 2 - s ( 1 ) 2 - 1

Tá fraco ainda, quero mais certo, t = 1.5 :

v ( 1 ) s 1.5 - s ( 1 ) 1.5 - 1

v ( 1 ) s 1.1 - s 1 1.1 - 1

v ( 1 ) s 1.01 - s ( 1 ) 1.01 - 1

v ( 1 ) s 1.001 - s ( 1 ) 1.001 - 1

Vou assim infinitamente, por que eu quero essa maldita velocidade exata, no instante t = 1 .

Gente, vamos fazer assim, vou dizer que estou num intervalo t = 1 ; t = 1 + t :

v 1 s 1 + Δ t - s 1 1 + Δ t - 1 = s 1 + Δ t - s ( 1 ) Δ t

E que eu quero que esse t seja muito muito muuuuuuuito pequeno, ou seja, o limite com ele indo para 0 :

v 1 = lim Δ t 0 s 1 + Δ t - s ( 1 ) Δ t

O resultado dessa conta vai depender da função s ( t ) . Digamos que a função fosse s t = t 2 , s em m e t em s . Qual a velocidade do carro em t = 1 s ? Só aplicar a fórmula:

v 1 = lim Δ t 0 s 1 + Δ t - s ( 1 ) Δ t = lim Δ t 0 1 + Δ t 2 - 1 2 Δ t

v 1 = lim Δ t 0 ( 1 + 2 Δ t + Δ t 2 ) - 1 2 Δ t

v 1 = lim Δ t 0 2 Δ t + Δ t 2 Δ t = lim Δ t 0 2 + Δ t

v 1 = 2   m / s

Logo, a velocidade instantânea para um ponto t 0 qualquer é só trocar o 1 por t 0 :

v t 0 = lim Δ t 0 s t 0 + Δ t - s t 0 Δ t

Generalizando, a derivada de uma função f x , assim como para s t , pode ser calculada pela sua definição, que é:

f ' x = lim Δ x 0 f x + Δ x - f x Δ x

Notação

Se quiséssemos representar essa derivada da função, escreveríamos assim:

v t = d s t d t

Existem várias maneiras de representar uma derivada. A mais explícita delas é a seguinte:

y = f x ,     d y d x = d f x d x

Lê-se derivada de y em relação a x . Outra maneira, mais prática é a seguinte:

y ' = f ' x

Interpretação Gráfica

Graficamente, a derivada em um ponto é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico naquele ponto. Isso pode parecer abstrato de início, mas é uma noção que você vai se acostumando aos poucos. Dá uma olhada nesse gráfico a seguir:

Vamos por partes. Tem a função em laranja. E temos a sua reta tangente num ponto qualquer.

A equação da reta vai ser

y = a x + b

O coeficiente angular da reta tangente é igual à derivada da função naquele ponto.

a = f ' x

O coeficiente angular ainda se conecta com a inclinação θ da reta da seguinte forma:

tg θ = a = f ' x

Se quiser um olhar mais físico, pra não nos perdermos nessas relações matemáticas todas, imagine que o gráfico da função é um trilho de trem visto de cima, e num dado ponto o trilho se rompesse. A direção que o vagão vai seguir nesse ponto é a direção da reta tangente. Sentiu?

Por consequência, a gente tira uma informação importante: quanto mais inclinada for essa reta tangente, maior é a derivada da função; quanto menos inclinada for a reta tangente, menor é a derivada da função estudada.

Agora vamos calcular algumas derivadas!

Multiplicação por Constante

Vamos aprender a derivar qualquer tipo de função. Vamos começar com a derivada de uma função multiplicada por uma constante.

k f x ' = k f ' x

Onde k é uma constante. Basta derivar a função sem a constante e multiplicar pela constante depois.

Soma e subtração

Agora vamos ver a derivada de uma soma ou subtração de função. Aqui a soma e subtração continua

f x + g x ' = f ' x + g ' x

E

f x - g x ' = f ' x - g ' x

Até aí ok, certo? Nada demais

Derivada da Função Constante

Seja f x = k , onde k é uma constante qualquer. Então

f ' x = 0

Qualquer MESMO.

Por exemplo

f x = 3

f x = 1,78646

f x = π

Qual é a derivada de f ( x ) ? Sempre 0 .

Logo, a derivada de uma constante qualquer vai ser ZERO.

Derivada de Polinômio

A brincadeira agora é saber a derivada de um polinômio qualquer x n . Bem, o resultado dessa brincadeira é:

f ' x = n x n - 1

Basta multiplicar o polinômio por n e subtrair 1 no n no expoente de x

Exemplos:

f x = x 5 f ' x = 5 x 5 - 1 = 5 x 4

OBS: Essa derivada vale para qualquer n MESMO.

f x = 1 x 2 f ' x = 1 x 2 ' = x - 2 ' = - 2 x - 2 - 1 = - 2 x - 3 = - 2 x 3

f x = x 1 2 f ' x = 1 2 . x 1 2 - 1 = 1 2 x - 1 2

f x = x π f ' x = x π ' = π x π - 1

Feião isso, mas está certinho.

Podemos mesclar polinômios com as propriedades lá em cima:

v t = a t v ' t = a t ' = a . 1 t 1 - 1 = a t 0 = a

y x = 3 x 17 y ' x = 3 x 17 ' = 3 . 17 x 17 - 1 = 51 x 16

Misturando tudo

f x = x 3 - 7 x + 2 x 2 + 9

Primeiro fazemos a multiplicação por constante

f ' x = x 3 ' - 7 x ' + 2 x 2 ' + 9 ' = x 3 ' - 7 x ' + 2 x 2 ' + 9 '

Agora derivamos o polinômio

f ' x = 3 x 3 - 1 - 7 1 . x 1 - 1 + 2 2 x 2 - 1 + 0 = 3 x 2 - 7 + 4 x

Derivada de Ordem Maior que 1

Ordem? WTF brou... Calma, pega a função f x = x 7 a derivada vai ser

f ' x = 7 x 6

Podemos derivar essa parada de novo,

f ' x ' = 7.6 x 5 = 42 x 5

Quantas vezes eu derivei a função original? 2 né? Então essa é a derivada de 2 ª ordem.

Se eu quiser agora a derivada de 3 ª ordem dessa f x ? É só derivar de novo

f ' x ' ' = 42.5 x 4 = 210 x 4

Posso fazer isso eternamente. Repara que a ordem nada mais é que a quantidade de vezes que derivamos essa função. Então, se eu quiser a ordem 7546 eu preciso ir derivando 7546 vezes até chegar na que ele quer.

Eu preciso ficar escrevendo esses milhões de tracinhos com milhões de parêntese? Não meu jovem. A notação das derivadas de ordem superior é parecida com antes

O r d e m   2 f ' ' x O r d e m   3 f ' ' ' x O r d e m   4 f 4 x

Até a ordem 3 você coloca tracinhos, mas tudo junto. A partir da ordem 4 só colocar o número ali junto da função entre parênteses.

Outra forma de escrever é

O r d e m   2 d 2 f d x 2 O r d e m   3 d 3 f d x 3 O r d e m   4 d 4 f d x 4

Coloca o número da ordem com o d elevado, e embaixo coloca o x elevado a isso.

O r d e m   n d n f d x n

Partiu Exercícios!!!!

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Derivadas de Funções

Beleza, agora eu quero derivar

f x = sen x

Lascou-se, como nós fazemos? Esse treco não é um polinômio como vimos. Relaxa jovem, existe regra para seno e cosseno também.

sen x ' = cos x

cos x ' = - sen x

As demonstrações vamos deixar a cargo do leitor. Zoa, rs. Demonstrar isso dá um trabalho levemente muito grande, então vamos apenas saber o valor das derivadas mesmo.

Maluco, em trigonometria não tem só seno e cosseno, como fazemos as outras?

Existem 4 outras funções relevantes dentro dessas trigonométricas: a tangente, a secante, a cossecante e a cotangente. Suas derivadas vão ser

tg x ' = sec 2 x

sec x ' = tg x sec x

cotg x ' = - cossec 2 x

cossec x ' = - cossec x cotg x

Um detalhe importante, lembre-se de como elas todas se relacionam:

sec x = 1 cos x       ;     cossec x = 1 sen x       ;     cotg x = 1 tg x

E é sempre bom lembrar da relação fundamental:

sen 2 x + cos 2 x = 1

Maaaaaas, temos um macete para você gravar essas derivadas:

tg x sec x sec x cotg x - cossec x cossec x

Essa tabelinha é fácil de decorar, certo? A propósito, toma só o cuidado com o sinal de menos que aparece ali na cossecante do meio para não o esquecer.

A partir dessa pequena tabelinha você só precisa “andar” pro lado oposto àquele em que está a função que você quer derivar e colocar as funções que aparecem no seu caminho para fazer a derivada.

Exemplo: qual a derivada da tangente? A partir do tg x , eu ando pra direita. Tem uma secante no meio e outra na direita. Ficaria então com:

tg x ' = sec x sec x = sec x 2

E se eu te pedir a derivada da secante, basta andar para esquerda. Tem a secante no meio e a tangente na esquerda:

sec x ' = sec x tg x

A mesma coisa vale para cotangente e cossecante, basta andar para os lados (fica ligado no sinal de menos que tem na cossecante do meio da tabela). Da direita pra esquerda temos duas cossecantes e um menos, da esquerda para a direita temos uma cossecante e uma cotangente e um sinal de menos:

cotg x ' =   - cossec x 2           ;           cossec x ' = - cossec x cotg x

Só para te lembrar, aqui também podemos derivar mais de uma vez. Ou seja, a derivada segunda de f x = cos x vai ser

f ' x = - sen x

f ' ' x = - cos x

Vai exercitar agora!

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Regra do Produto e do Quociente

Regra do Produto

Essa Regra é uma das mais importantes para a derivação. Usamos ela para derivar produtos, como o nome já diz. Sugiro que você imprima ela em um pôster e coloque em frente à sua cama para lembrar dela todos os dias. Essa vai ser uma amiga pra vida:

f x g x ' = f ' x g x + f ( x ) g ' ( x )

Muita gente cai no engano de achar que a derivada do Produto é o produto das derivadas, isso é errado!

f x g x ' f ' x g ' x

Ex: Deriva esse cara

y = sen x ln x

y ' = sen x ' ln x + sen x ln x '

= cos x ln x + sen x 1 x

= cos x ln x + sen x x

Regra para produto de 3 funções

Vamos supor que agora tenhamos um produto de 3 funções como mostrado abaixo

x cos x e x '

Caso você chame duas delas de uma função auxiliar (digamos, z x = x cos x ), poderia fazer:

z x h x ' = ( x cos x ) ' e x + x cos x e x

Onde, a derivada de z x é:

z ' x = x cos x ' = cos x - x sen x

Substituindo os valores de z e de z ' x na expressão, teríamos:

z x h x ' = x cos x e x ' = cos x - x sen x e x + x cos x e x

= cos x e x - x sen x e x + x cos x e x

De uma forma geral podemos escrever que

f   x g x h x ' = f ' x g x h x + f x g ' x h x + f   x g x h ' x

Repara, acabou que a Regra do Produto nesse caso será apenas a soma da derivada de cada função multiplicada pelas outras. Quer dizer primeiro derivamos f , multiplicamos por g e h . Depois derivamos g , multiplicamos por f e h . Então derivamos h , e multiplicamos por f e g . Somamos tudo, por fim!

OBS: Para um produto de n funções, teríamos esse mesmo padrão sendo gerado:

f x g x n x ' = f ' x g x n x + f x g ' x n x + + f x g x n ' x

Regra do Quociente

A Regra do Quociente é tão importante quanto a última e até lembra a Regra do Produto, com o detalhe de um sinal de menos ali no segundo termo e um denominador.

A dica, para não ter erro, é você lembrar que o menos vai no termo que tem a derivada da função de baixo:

f x g x ' = f ' x g x - f ( x ) g ' ( x ) g 2 ( x )

Ex: Derive y em função de x

y = cos x x 2

y ' = cos x ' x 2 - cos x x 2 ' x 2 2

= - sen x x 2 - cos x 2 x x 4

C o r t a n d o   u m   x   e m   c i m a   e   e m b a i x o ,   t e m o s :

= - sen x x - 2 cos x x 3

Partiu exercícios!

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Regra da Cadeia

Essa é uma regra de derivação importante para caramba (faz um pôster dela!). Ela trata de funções compostas. Para derivar uma f g x , composta de g em f , teríamos:

f g x ' = f ' g x g ' ( x )

Como, por exemplo:

h x = x 2 + 4 x + 9 7

Aqui, uma alternativa seria abrir esse polinômio. Cá entre nós, isso é algo bizarramente surreal.

Mas pera, isso é um polinômio. Então, se derivarmos como fazemos com polinômios vamos ter

h ' x = 7 x 2 + 4 x + 9 7 - 1 = 7 x 2 + 4 x + 9 6

Só isso? NÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃO. Se liga que tem uma função dentro daquele parênteses ne?

Repara que na verdade temos: h x = f ( g ( x ) ) , Onde f x = x 7 e g x = x 2 + 4 x + 9 . Uma composta de g em f . Então temos que usar a regra da cadeia.

Primeiro derive como se tudo que estivesse em parênteses fosse x .

7 x 2 + 4 x + 9 6

E depois multiplique pela derivada da função dentro (o g x ), ou seja:

h ' x = 7 x 2 + 4 x + 9 6 g ' x =   7 x 2 + 4 x + 9 6 2 x + 4

A questão sempre é definir quem está dentro de quem e aplicar a fórmula.

Legal? Bora para os exercícios!

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Técnicas de Derivação

Uma aplicação interessante da regra da cadeia é quando nós temos uma função implícita.

Pode-se pedir a derivada de y com respeito a x sem que você tenha uma forma explícita do tipo:

y = f ( x )

Mas sim algo como:

x 2 + y 2 = 1

Aqui não temos uma função, é apenas uma relação entre x e y .

Se liga que podemos encontrar sua derivada mesmo assim. Vamos tentar calculá-la, então!

Vamos sempre começar da mesma forma para resolver essas derivadas: tomar a derivada com respeito a x em ambos os lados da equação.

x 2 + y 2 ' = 1 '

Então, aplicamos as regras de derivação normais nas funções que dizem respeito a x :

x 2 ' + y 2 ' = 0 2 x + y 2 ' = 0

E resta descobrir essas derivadas com y bonitona aí em cima. Para isso, vamos utilizar a regra da cadeia.

Vamos considerar que y só depende de x , ou seja, y x .

Repara que o termo y 2 , na verdade, é uma composta entre a f x = x 2 e y ( x ) . Assim, aplicando a regra da cadeia vamos ter:

y 2 ' = f y x ' = f ' y x y ' x

y 2 ' = f y x ' = 2 y x y ' x = 2 y y '

Trocamos y x por y e y ' x por y ' , só para ficar mais simples. Podemos então seguir com o nosso problema, isolando o y ' que era o que se queria:

2 y y ' + 2 x = 0 y ' = - x y

Na real, é sempre a mesma coisa, basta derivar como aprendemos, e do lado de cada y colocar y ' .

OBS: Se liga que nesse tipo de questão é muito comum o resultado ter tanto x quanto y no gabarito, não tem problema nenhum.

Outro detalhe, se numa questão aparecerem misturas de x e y como produto ou quociente, como em:

x 2 y + x y 2 = 2

Para derivar a parte entre parênteses, é só usar a regra do produto:

x 2 y ' = 2 x y + x 2 y '

Show?! Vamos para os exercícios agora!

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Derivadas Laterais

Assim como temos limites laterais, as funções também possuem derivadas laterais. No exemplo abaixo, observe:

Essa função é dada por:

f x = x 2 ,     x < 0 sen x ,     x 0

Como derivamos f em x = 0 ? Precisamos de uma análise lateral dessa derivada, que pode ser feita de duas formas!

1 Continuidade + Derivação de funções:

Uma vez que você saiba que a função é contínua no ponto estudado, (tem que mostrar isso na questão, hein?!) você pode derivar os termos dos dois lados e ver se batem no mesmo valor.

Assim, calculamos as derivadas laterais derivando as funções de cada um dos lados.

Começando para esquerda de 0 :

f ' x - = x 2 ' = 2 x f ' 0 - = 2 0 = 0

Agora fazemos pela direita de 0 :

f ' x + = sen x ' = cos x f ' 0 + = cos 0 = 1

2 Definição da derivada no ponto:

Aplicamos a definição da derivada no ponto, por limite, e calculamos lateralmente os limites. Por exemplo, pela esquerda temos:

lim x 0 - f x - f 0 x - 0 = lim x 0 - x 2 - 0 x - 0 = 0

Pela direita, temos:

lim x 0 + f x - f 0 x - 0 = lim x 0 + sen x - 0 x - 0 = 1

Repara que a derivada lateral é a derivada analisada por cada lado em que aproximamos de um ponto.

Como calcular a derivada usando limite pode não ser tão simples, sempre opte pelo primeiro método, a não ser que a questão peça pela definição.

Agora vamos praticar!

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Diferenciabilidade

Vamos começar definindo essa palavra: diferenciabilidade.

Para um ponto qualquer, dizemos que a função é diferenciável nesse ponto quando ela puder ser derivada nesse ponto.

Um fato interessante sobre esse assunto é que funções que não são contínuas em um certo ponto, automaticamente, não são diferenciáveis nesse ponto. Agora, se a função for contínua, ela pode ou não ser diferenciável, precisamos usar outro critério para avaliar.

O outro critério será que ela precisa ter suas derivadas laterais iguais e diferente de ± . Ou seja, num ponto x = a a função é diferenciável se:

f ' a - = f ' a + ±

Aí, para saber se a função é diferenciável num ponto qualquer, é só calcular as derivadas laterais nesse ponto.

Sempre que você tiver uma função que é subtração, multiplicação e composição de funções deriváveis, nem precisa se preocupar, a função também será derivável.

Além disso, é bom observar a continuidade antes de tudo, independentemente do método que você escolher para fazer, por ser um atalho para provar que não é diferenciável.

É isso, agora é fazer exercício para bater bem!

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Primitivas

Até aqui, a gente tá muito acostumado a pensar em um sentido, o da derivada, como “qual é a derivada da função f x = 3 x 2 ?”. Já agora, com as primitivas, o nosso objetivo é te fazer outra pergunta:

Qual é a função f x QUE A DERIVADA VALE f x = 3 x 2 ?

Wait, what? A resposta para essa pergunta é justamente a primitiva de 3 x 2 e para achá-la, basta seguir o caminho oposto da derivada.

Para derivar um polinômio, temos que reduzir um grau no numerador. Então, para fazer o sentido inverso, vamos adicionar:

3 x 2 + 1 = 3 x 3

Além disso, ao derivar multiplicamos pelo denominador, agora, para a primitiva, vamos dividir:

3 x 3 3 = x 3 + C

Pronto! Esse C sempre aparece e representa uma constante qualquer.

Isso se deve ao fato que, quando derivamos, toda constante é perdida e quando tentamos voltar através para primitiva, não tem que como saber qual é a constante, então representamos por um C geral e bonito.

A seguir temos as primitivas mais recorrentes:

x n x n + 1 + C sen x - cos x + C cos x sen x + C

1 x ln x + C e x e x + C sec 2 x tg x + C

tg x sec x sec x + C cotg x csc x - csc x + C cosh x senh x + C

E com derivadas de ordem superior?

Essa doidera de primitiva pode ter para derivadas de ordens maiores, por exemplo, queremos f x onde

f ' ' x = 2

Lembre-se que a derivada de ordem 2 vai ser:

f ' ' x = f ' x '

Então vamos pensar de novo na primitiva, qual função tem derivada 2 ? Vai ser 2 x , pelo nosso método, não esquecendo a constante. Então aquela função dentro da derivada vai ser 2 x mais a constante

f ' x = 2 x + C

Opa, voltando para derivada de novo, vamos pensar a mesma coisa. A primitiva de 2 x será x 2 . A da constante vai ser C x , pelo método. Temos que colocar mais uma constante hein!

f x = x 2 + C x + D

E essa é a nossa função que tem a segunda derivada sendo 2 . Sacou? É só ir repetindo o processo de antes. Fique atento, que aqui vão aparecer várias constantes que podem ser diferentes, então uma letra para cada uma, ok?

Problema de Valor Inicial

Show, vimos o que é essa história de primitiva. No título tem essa parada de Valor Inicial.

WTF? Calma jovem!

Basicamente, lembra que achávamos as funções primitivas e colocávamos uma constante C aleatória no resultado, certo? O barato agora é, através de um valor dado pelo exercício, descobrir essa constante! Esse é o Problema de valor inicial, ou PVI.

Vamos ver isso num exemplo.

Ex: Determine a função f x onde f ' x = 2 x e f 2 = 3 .

Qual função cuja derivada é 2 x ? Esse é o exemplo inicial. A primitiva vai ser

f x = x 2 + C

Não podemos deixar de colocar a constante. Repara que dessa vez ele quer que f 2 = 3 . O que isso significa? Aquela função que achamos precisa obedecer isso.

Então vamos ter

f 2 = 2 2 + C = 3

4 + C = 3

C = - 1

Opaaa!! A constante agora é alguém, ele é um valor específico!

Pegou? Então vamos destruir nos exercícios de fixação, vem comigo!

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Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

Enunciado

Use a definição para calcular as derivadas da função. Depois, determine os valores da derivada conforme especificado.

f x = 4 - x 2

f ' - 3 , f ' 0 , f ' 1

Resolução

Enunciado

Use a fórmula

f ' x = lim z x f z - f x z - x

Para determinar a derivada da função abaixo

f x = x x - 1

Resolução

Enunciado

Use a fórmula

f ' x = lim z x f z - f x z - x

Para determinar a derivada da função abaixo

f x = 1 + x

Resolução

Enunciado

  1. Quando uma função f : R R é derivável no ponto p = 0 ?
  2. Dê a definição

  3. Usando a definição dada no item a , calcule a derivada da função

y = f x = 1 x + 1

No ponto p = 0 .

Resolução

Enunciado

Mostre, através da definição da derivada, que a derivada de um polinômio f x = x n é:

f ' x = n x n - 1

Resolução

Enunciado

Sendo f ( x ) a função dada pelo gráfico abaixo, diga onde a derivada de f ( x ) é positiva, negativa ou nula.

Resolução

Enunciado

Ache a derivada de:

f x = 7 x 4

Resolução

Enunciado

Encontre a inclinação da reta tangente à curva 10 x 11 - 5 x 10 + 7 x 4 + x 3 - 15 no ponto onde x = 1 .

Resolução

Enunciado

Calcule a derivada da função:

y = 3 x 2

Resolução

Enunciado

Ache a derivada de:

y = x 2 + x 3

Resolução

Enunciado

Calcule a derivada da função:

f x = 3 x 2 + 1 x 3 / 2

Resolução

Enunciado

Qual(is) das afirmações a seguir pode ser verdadeira se f ' ' x = x - 1 3 ?

a   f x = 3 2 x 2 3 - 3

b   f ' ' ' x = - 1 3 x - 4 3

c   f x = 9 10 x 5 3 - 7

d   f ' x = 3 2 x 2 3 + 6

Resolução

Enunciado

Calcule a derivada da função:

y = 5 sen x

Resolução

Enunciado

Ache a derivada de:

f x = x 5 + tg x

Resolução

Enunciado

Ache a derivada da função f tal que

f x = 3 e π sec x 7

Resolução

Enunciado

Determine d y d x

y = 4 cos x + 1 tg x

Resolução

Enunciado

Calcule a derivada da função:

y = 5 cotg x tan x cos x

Resolução

Enunciado

Encontre a derivada da função:

y = s e n ( x ) cos x

Resolução

Enunciado

No exercício, determine a derivada de y em relação a x , conforme o caso:

y = x 3 3 ln x - x 3 9

Resolução

Enunciado

Calcule f ' ( x ) onde:

f x = ( cos x ) ( 12 x + 3 x )

Resolução

Enunciado

Calcule a derivada da função abaixo:

y = x 2 x + 2 ( x 3 + 1 )

Resolução

Enunciado

Calcule:

g ' x ,     s e   g x = 1 - e x 1 + e x

Resolução

Enunciado

Calcule a derivada da seguinte função:

y = ln x - x x + x 2

Resolução

Enunciado

Calcule a derivada da função definida abaixo:

y = x s e n ( x ) + x 2

Resolução

Enunciado

Calcule f ' ( x ) onde:

a   f x = x + sen x 4 x + x

Resolução

Enunciado

Derive cada função (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função).

f x = c o s ² x

Resolução

Enunciado

Se y = x 3 2 , determine d y d x usando a regra da cadeia, sendo y uma função composta de

a   y = u 3                     e                     u = x

b   y = u                     e                     u = x 3

Resolução

Enunciado

Derive a função:

f x = sen 3 ( ln ( x 2 ) )

Resolução

Enunciado

Derive as funções abaixo:

b   f x = 3 2 x 7 - cos 4 x

Resolução

Enunciado

Encontre f ' ' em termos de g , g ' e g ' ' . Onde

f x = x g x 2

Resolução

Enunciado

Seja g uma função diferenciável tal que g 0 = 1 e g ' 0 = 0 . Considere a função

h x = sen x g 3 tg x + 1 x - 1

Calcule h ' - 1 .

Resolução

Enunciado

No exercício, use a derivada implícita para determinar d y / d x .

x 2 + y 2 = 1

Resolução

Enunciado

Encontre a derivada y ' no ponto P = ( 1 ,   0 ) da curva definida implicitamente abaixo:

x 3 + x y - y 2 = 0

Resolução

Enunciado

Se x y + y 2 = 1 , encontre o valor de d y / d x no ponto 0 , - 1 .

Resolução

Enunciado

Encontre d y d x no ponto ( 1,1 ) diferenciando implicitamente a curva definida por

x y = 2 x 3 y 2 - 1

Resolução

Enunciado

O fólio de Descartes

a Encontre o coeficiente angular do fólio de Descartes, x 3 + y 3 - 9 x y = 0 nos pontos 4,2 e 2,4

b Em qual ponto, além da origem, o fólio tem uma tangente horizontal?

c Encontre as coordenadas do ponto A da figura, onde o fólio tem uma tangente vertical.

Resolução

Enunciado

Calcule as derivadas laterais de f ( x ) no ponto x = 0 .

f x = - x 2           x 0 x 2             x > 0

Resolução

Enunciado

Sendo f ( x ) a função

f x = x   s e n ( x )           x π cos x + 1         x > π

Calcule as derivadas laterais de f ( x ) no ponto x = π .

Resolução

Enunciado

Seja

f x = x + 1 ,     s e   x 1 2 x ,                     s e   x < 1

( I ) Calcule, se existir, lim x 1 f x - f 1 x - 1 . Justifique sua resposta.

( I I ) A função f é diferenciável em x = 1 ?

Resolução

Enunciado

No exercício, cada figura mostra o gráfico de uma função em um intervalo fechado D . Em que pontos do domínio a função parece ser

a derivável?

b contínua, mas não derivável?

c nem contínua nem derivável?

Justifique sua resposta.

Resolução

Enunciado

Considere

f x = 1 - 2 sen x ,     x - ,   0 x - 1 2 ,                           x 0 ,   1 x 2 ln x ,                             x 1 ,  

Determine os pontos onde f não é derivável.

Resolução

Enunciado

Considere a função definida por:

f x = x 2 - 3 x + a s e   x < 5 2 s e   x = 5 x 2 - 6 x + 5 x - 5 + b s e   x > 5

a Dê um exemplo de valores para a e b tal que exista lim x 5 f x , porém f não seja contínua em x = 5

b Determine a e b de forma que f seja contínua em x = 5

c Para os valores de a e b obtidos no item b anterior, existe f ' 5 ?

Resolução

Enunciado

Seja f tal que f x x ² , x     R . Mostre que f   é diferenciável em x = 0 .

Resolução

Enunciado

Encontre as possíveis funções com as derivadas dadas.

y ' = sec 2 θ

Resolução

Enunciado

Encontre as possíveis funções com as derivadas dadas.

y ' = 3 x 2 + 2 x - 1

Resolução

Enunciado

Demonstre que

d d x x x + 1 = d d x - 1 x + 1

Mesmo que

x x + 1 - 1 x + 1

Justifique sua resposta.

Resolução

Enunciado

Encontre as possíveis funções com as derivadas dadas.

y ' = e x + 2 tg x sec x + 14 x

Resolução