Resumão Completo

Derivadas de Funções

Beleza, agora eu quero derivar

f x = sen x

Lascou-se, como nós fazemos? Esse treco não é um polinômio como vimos. Relaxa jovem, existe regra para seno e cosseno também.

sen x ' = cos x

cos x ' = - sen x

As demonstrações vamos deixar a cargo do leitor. Zoa, rs. Demonstrar isso dá um trabalho levemente muito grande, então vamos apenas saber o valor das derivadas mesmo.

Maluco, em trigonometria não tem só seno e cosseno, como fazemos as outras?

Existem 4 outras funções relevantes dentro dessas trigonométricas: a tangente, a secante, a cossecante e a cotangente. Suas derivadas vão ser

tg x ' = sec 2 x

sec x ' = tg x sec x

cotg x ' = - cossec 2 x

cossec x ' = - cossec x cotg x

Um detalhe importante, lembre-se de como elas todas se relacionam:

sec x = 1 cos x       ;     cossec x = 1 sen x       ;     cotg x = 1 tg x

E é sempre bom lembrar da relação fundamental:

sen 2 x + cos 2 x = 1

Maaaaaas, temos um macete para você gravar essas derivadas:

tg x sec x sec x cotg x - cossec x cossec x

Essa tabelinha é fácil de decorar, certo? A propósito, toma só o cuidado com o sinal de menos que aparece ali na cossecante do meio para não o esquecer.

A partir dessa pequena tabelinha você só precisa “andar” pro lado oposto àquele em que está a função que você quer derivar e colocar as funções que aparecem no seu caminho para fazer a derivada.

Exemplo: qual a derivada da tangente? A partir do tg x , eu ando pra direita. Tem uma secante no meio e outra na direita. Ficaria então com:

tg x ' = sec x sec x = sec x 2

E se eu te pedir a derivada da secante, basta andar para esquerda. Tem a secante no meio e a tangente na esquerda:

sec x ' = sec x tg x

A mesma coisa vale para cotangente e cossecante, basta andar para os lados (fica ligado no sinal de menos que tem na cossecante do meio da tabela). Da direita pra esquerda temos duas cossecantes e um menos, da esquerda para a direita temos uma cossecante e uma cotangente e um sinal de menos:

cotg x ' =   - cossec x 2           ;           cossec x ' = - cossec x cotg x

Só para te lembrar, aqui também podemos derivar mais de uma vez. Ou seja, a derivada segunda de f x = cos x vai ser

f ' x = - sen x

f ' ' x = - cos x

Vai exercitar agora!

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Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5

Enunciado

Calcule a derivada da função:

y = 5 sen x

Resolução

Enunciado

Ache a derivada de:

f x = x 5 + tg x

Resolução

Enunciado

Ache a derivada da função f tal que

f x = 3 e π sec x 7

Resolução

Enunciado

Determine d y d x

y = 4 cos x + 1 tg x

Resolução

Enunciado

Calcule a derivada da função:

y = 5 cotg x tan x cos x

Resolução

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