Resumão Completo

O que é Derivada?

Lembra daquele limite que a gente te apresentou no capítulo introdutório como uma definição da derivada? Esse limite aqui embaixo:

f ' x = lim Δ x 0 f x + Δ x - f x Δ x

Como eu acabei de falar (e o título do capítulo já diz, né?), essa é a definição da derivada! Para qualquer f x podemos calcular sua derivada por esse limite aí em cima.

E é exatamente a isso que esse capítulo se propõe! Aqui vamos pegar funções diversas e calcular as suas funções derivadas para todo x .

OBS.: Pela dificuldade para calcular, é difícil que por agora seja pedido que você calcule a definição da derivada para funções como f x = sen x , f x = ln x , f x = e x e outras funções não polinomiais.

Ex: Calcule a derivada de f x = 2 x + 3

Vamos na definição

f ' x = lim Δ x 0 f x + Δ x - f x Δ x

Agora temos que aplicar x + Δ x e x na função f x , assim como temos no numerador da definição f x + Δ x - f x :

lim Δ x 0 2 x + Δ x + 3 - 2 x + 3 Δ x

= lim Δ x 0 2 x + 2 Δ x + 3 - 2 x - 3 Δ x = lim Δ x 0 2 Δ x Δ x

Cortamos o Δ x :

lim Δ x 0 2 Δ x Δ x = lim Δ x 0 2 = 2

Ou seja, f ' x = 2 para f x = 2 x + 3 ! É um resultado que faz bastante sentido, já que 2 x + 3 é uma reta, que é um comportamento que mantém sempre a mesma taxa de variação para todo x , a qual é representada pela derivada.

Ex: Calcule a derivada de f x = x 3 + 4 x - 2

Vamos na definição

f ' x = lim Δ x 0 f x + Δ x - f x Δ x

Agora temos que aplicar x + Δ x e x na função f x , assim como temos no numerador da definição f x + Δ x - f x :

lim Δ x 0 x + Δ x 3 + 4 x + Δ x - 2 - x 3 + 4 x - 2 Δ x

= lim Δ x 0 x 3 + 3 x 2 Δ x + 3 x Δ x 2 + Δ x 3 + 4 x + 4 Δ x - 2 - x 3 + 4 x - 2 Δ x

Vamos cortar todos os termos que se repetem:

= lim Δ x 0 x 3 + 3 x 2 Δ x + 3 x Δ x 2 + Δ x 3 + 4 x + 4 Δ x - 2 - x 3 - 4 x + 2 Δ x

= lim Δ x 0 3 x 2 Δ x + 3 x Δ x 2 + Δ x 3 + 4 Δ x Δ x

Dividimos pelo Δ x :

lim Δ x 0 3 x 2 + 3 x Δ x + Δ x 2 + 4

= 3 x 2 + 3 x 0 + 0 2 + 4

= 3 x 2 + 4

Então, a derivada de f x = x 3 + 4 x - 2 é f ' x = 3 x 2 + 4 .

OBS:

A definição de derivada pode ser calculada usando outra fórmula

f ' x = lim k x f k - f x k - x

O passo a passo é igualzinho, a única diferença é que o limite as vezes pode ficar mais fácil de fazer usando essa fórmula.

É isso! Agora é só praticar bem essa definição.

Expandir

Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5

Enunciado

Use a definição para calcular as derivadas da função. Depois, determine os valores da derivada conforme especificado.

f x = 4 - x 2

f ' - 3 , f ' 0 , f ' 1

Resolução

Enunciado

Use a fórmula

f ' x = lim z x f z - f x z - x

Para determinar a derivada da função abaixo

f x = x x - 1

Resolução

Enunciado

Use a fórmula

f ' x = lim z x f z - f x z - x

Para determinar a derivada da função abaixo

f x = 1 + x

Resolução

Enunciado

  1. Quando uma função f : R R é derivável no ponto p = 0 ?
  2. Dê a definição

  3. Usando a definição dada no item a , calcule a derivada da função

y = f x = 1 x + 1

No ponto p = 0 .

Resolução

Enunciado

Mostre, através da definição da derivada, que a derivada de um polinômio f x = x n é:

f ' x = n x n - 1

Resolução

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