Resumão Completo

Primitivas

Até aqui, a gente tá muito acostumado a pensar em um sentido, o da derivada, como “qual é a derivada da função f x = 3 x 2 ?”. Já agora, com as primitivas, o nosso objetivo é te fazer outra pergunta:

Qual é a função f x QUE A DERIVADA VALE f x = 3 x 2 ?

Wait, what? A resposta para essa pergunta é justamente a primitiva de 3 x 2 e para achá-la, basta seguir o caminho oposto da derivada.

Para derivar um polinômio, temos que reduzir um grau no numerador. Então, para fazer o sentido inverso, vamos adicionar:

3 x 2 + 1 = 3 x 3

Além disso, ao derivar multiplicamos pelo denominador, agora, para a primitiva, vamos dividir:

3 x 3 3 = x 3 + C

Pronto! Esse C sempre aparece e representa uma constante qualquer.

Isso se deve ao fato que, quando derivamos, toda constante é perdida e quando tentamos voltar através para primitiva, não tem que como saber qual é a constante, então representamos por um C geral e bonito.

A seguir temos as primitivas mais recorrentes:

x n x n + 1 + C sen x - cos x + C cos x sen x + C

1 x ln x + C e x e x + C sec 2 x tg x + C

tg x sec x sec x + C cotg x csc x - csc x + C cosh x senh x + C

E com derivadas de ordem superior?

Essa doidera de primitiva pode ter para derivadas de ordens maiores, por exemplo, queremos f x onde

f ' ' x = 2

Lembre-se que a derivada de ordem 2 vai ser:

f ' ' x = f ' x '

Então vamos pensar de novo na primitiva, qual função tem derivada 2 ? Vai ser 2 x , pelo nosso método, não esquecendo a constante. Então aquela função dentro da derivada vai ser 2 x mais a constante

f ' x = 2 x + C

Opa, voltando para derivada de novo, vamos pensar a mesma coisa. A primitiva de 2 x será x 2 . A da constante vai ser C x , pelo método. Temos que colocar mais uma constante hein!

f x = x 2 + C x + D

E essa é a nossa função que tem a segunda derivada sendo 2 . Sacou? É só ir repetindo o processo de antes. Fique atento, que aqui vão aparecer várias constantes que podem ser diferentes, então uma letra para cada uma, ok?

Problema de Valor Inicial

Show, vimos o que é essa história de primitiva. No título tem essa parada de Valor Inicial.

WTF? Calma jovem!

Basicamente, lembra que achávamos as funções primitivas e colocávamos uma constante C aleatória no resultado, certo? O barato agora é, através de um valor dado pelo exercício, descobrir essa constante! Esse é o Problema de valor inicial, ou PVI.

Vamos ver isso num exemplo.

Ex: Determine a função f x onde f ' x = 2 x e f 2 = 3 .

Qual função cuja derivada é 2 x ? Esse é o exemplo inicial. A primitiva vai ser

f x = x 2 + C

Não podemos deixar de colocar a constante. Repara que dessa vez ele quer que f 2 = 3 . O que isso significa? Aquela função que achamos precisa obedecer isso.

Então vamos ter

f 2 = 2 2 + C = 3

4 + C = 3

C = - 1

Opaaa!! A constante agora é alguém, ele é um valor específico!

Pegou? Então vamos destruir nos exercícios de fixação, vem comigo!

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Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5 6

Enunciado

Encontre as possíveis funções com as derivadas dadas.

y ' = sec 2 θ

Resolução

Enunciado

Encontre as possíveis funções com as derivadas dadas.

y ' = 3 x 2 + 2 x - 1

Resolução

Enunciado

Demonstre que

d d x x x + 1 = d d x - 1 x + 1

Mesmo que

x x + 1 - 1 x + 1

Justifique sua resposta.

Resolução

Enunciado

Encontre as possíveis funções com as derivadas dadas.

y ' = e x + 2 tg x sec x + 14 x

Resolução

Enunciado

Suponha que f 0 = 5 e que f ' x = 2 para qualquer x . Obrigatoriamente, f x = 2 x + 5 para qualquer x ? Justifique sua resposta.

Resolução

Enunciado

Uma função tem derivada de segunda ordem

f ' ' x = sen x 2 + 6 x

Encontre a expressão da f , sabendo que seu gráfico contém o ponto 0,1 e que em tal ponto a reta tangente é paralela à reta y = 3 x

Resolução

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