Resumão Completo

Regra da Cadeia

Essa é uma regra de derivação importante para caramba (faz um pôster dela!). Ela trata de funções compostas. Para derivar uma f g x , composta de g em f , teríamos:

f g x ' = f ' g x g ' ( x )

Como, por exemplo:

h x = x 2 + 4 x + 9 7

Aqui, uma alternativa seria abrir esse polinômio. Cá entre nós, isso é algo bizarramente surreal.

Mas pera, isso é um polinômio. Então, se derivarmos como fazemos com polinômios vamos ter

h ' x = 7 x 2 + 4 x + 9 7 - 1 = 7 x 2 + 4 x + 9 6

Só isso? NÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃO. Se liga que tem uma função dentro daquele parênteses ne?

Repara que na verdade temos: h x = f ( g ( x ) ) , Onde f x = x 7 e g x = x 2 + 4 x + 9 . Uma composta de g em f . Então temos que usar a regra da cadeia.

Primeiro derive como se tudo que estivesse em parênteses fosse x .

7 x 2 + 4 x + 9 6

E depois multiplique pela derivada da função dentro (o g x ), ou seja:

h ' x = 7 x 2 + 4 x + 9 6 g ' x =   7 x 2 + 4 x + 9 6 2 x + 4

A questão sempre é definir quem está dentro de quem e aplicar a fórmula.

Legal? Bora para os exercícios!

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Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5 6

Enunciado

Derive cada função (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função).

f x = c o s ² x

Resolução

Enunciado

Se y = x 3 2 , determine d y d x usando a regra da cadeia, sendo y uma função composta de

a   y = u 3                     e                     u = x

b   y = u                     e                     u = x 3

Resolução

Enunciado

Derive a função:

f x = sen 3 ( ln ( x 2 ) )

Resolução

Enunciado

Derive as funções abaixo:

b   f x = 3 2 x 7 - cos 4 x

Resolução

Enunciado

Encontre f ' ' em termos de g , g ' e g ' ' . Onde

f x = x g x 2

Resolução

Enunciado

Seja g uma função diferenciável tal que g 0 = 1 e g ' 0 = 0 . Considere a função

h x = sen x g 3 tg x + 1 x - 1

Calcule h ' - 1 .

Resolução

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