Resumão Completo

Regra do Produto e do Quociente

Regra do Produto

Essa Regra é uma das mais importantes para a derivação. Usamos ela para derivar produtos, como o nome já diz. Sugiro que você imprima ela em um pôster e coloque em frente à sua cama para lembrar dela todos os dias. Essa vai ser uma amiga pra vida:

f x g x ' = f ' x g x + f ( x ) g ' ( x )

Muita gente cai no engano de achar que a derivada do Produto é o produto das derivadas, isso é errado!

f x g x ' f ' x g ' x

Ex: Deriva esse cara

y = sen x ln x

y ' = sen x ' ln x + sen x ln x '

= cos x ln x + sen x 1 x

= cos x ln x + sen x x

Regra para produto de 3 funções

Vamos supor que agora tenhamos um produto de 3 funções como mostrado abaixo

x cos x e x '

Caso você chame duas delas de uma função auxiliar (digamos, z x = x cos x ), poderia fazer:

z x h x ' = ( x cos x ) ' e x + x cos x e x

Onde, a derivada de z x é:

z ' x = x cos x ' = cos x - x sen x

Substituindo os valores de z e de z ' x na expressão, teríamos:

z x h x ' = x cos x e x ' = cos x - x sen x e x + x cos x e x

= cos x e x - x sen x e x + x cos x e x

De uma forma geral podemos escrever que

f   x g x h x ' = f ' x g x h x + f x g ' x h x + f   x g x h ' x

Repara, acabou que a Regra do Produto nesse caso será apenas a soma da derivada de cada função multiplicada pelas outras. Quer dizer primeiro derivamos f , multiplicamos por g e h . Depois derivamos g , multiplicamos por f e h . Então derivamos h , e multiplicamos por f e g . Somamos tudo, por fim!

OBS: Para um produto de n funções, teríamos esse mesmo padrão sendo gerado:

f x g x n x ' = f ' x g x n x + f x g ' x n x + + f x g x n ' x

Regra do Quociente

A Regra do Quociente é tão importante quanto a última e até lembra a Regra do Produto, com o detalhe de um sinal de menos ali no segundo termo e um denominador.

A dica, para não ter erro, é você lembrar que o menos vai no termo que tem a derivada da função de baixo:

f x g x ' = f ' x g x - f ( x ) g ' ( x ) g 2 ( x )

Ex: Derive y em função de x

y = cos x x 2

y ' = cos x ' x 2 - cos x x 2 ' x 2 2

= - sen x x 2 - cos x 2 x x 4

C o r t a n d o   u m   x   e m   c i m a   e   e m b a i x o ,   t e m o s :

= - sen x x - 2 cos x x 3

Partiu exercícios!

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Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5 6 7 8

Enunciado

Encontre a derivada da função:

y = s e n ( x ) cos x

Resolução

Enunciado

No exercício, determine a derivada de y em relação a x , conforme o caso:

y = x 3 3 ln x - x 3 9

Resolução

Enunciado

Calcule f ' ( x ) onde:

f x = ( cos x ) ( 12 x + 3 x )

Resolução

Enunciado

Calcule a derivada da função abaixo:

y = x 2 x + 2 ( x 3 + 1 )

Resolução

Enunciado

Calcule:

g ' x ,     s e   g x = 1 - e x 1 + e x

Resolução

Enunciado

Calcule a derivada da seguinte função:

y = ln x - x x + x 2

Resolução

Enunciado

Calcule a derivada da função definida abaixo:

y = x s e n ( x ) + x 2

Resolução

Enunciado

Calcule f ' ( x ) onde:

a   f x = x + sen x 4 x + x

Resolução

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