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Técnicas de Derivação

Uma aplicação interessante da regra da cadeia é quando nós temos uma função implícita.

Pode-se pedir a derivada de y com respeito a x sem que você tenha uma forma explícita do tipo:

y = f ( x )

Mas sim algo como:

x 2 + y 2 = 1

Aqui não temos uma função, é apenas uma relação entre x e y .

Se liga que podemos encontrar sua derivada mesmo assim. Vamos tentar calculá-la, então!

Vamos sempre começar da mesma forma para resolver essas derivadas: tomar a derivada com respeito a x em ambos os lados da equação.

x 2 + y 2 = 1                     d d x x 2 + y 2 = d d x 1

Como a derivada de constante é 0 ...

d d x x 2 + y 2 = 0

E a derivada da soma é a soma das derivadas...

d d x x 2 + d d x y 2 = 0

Não se assuste com essas derivadas, que eu vou te passar agora um método mara para a resolução dessas derivas aí:

  1. Primeiro você vai derivar normalmente cada uma dessas incógnitas:
  2. 2 x _ _ _ + 2 y _ _ _ = 0

  3. A nossa segunda missão será completar esses vácuos aí. Para fazer isso, você vai colocar a derivada novamente no buraco:
  4. 2 x d d x + 2 y d d x = 0

  5. Na frente das derivadas, você vai colocar as variáveis que você derivou, veja só:

d d x x 2 + d d x y 2 = 0                                         2 x d x d x + 2 y d y d x = 0

No primeiro colocamos o x , pois foi em relação a ele que derivamos, e no segundo o y !

O termo d x / d x é sempre igual a 1 e o d y / d x = y ' (a derivada de y com relação a x que buscávamos implicitamente) !

2 x + 2 y y ' = 0

Podemos então seguir com o nosso problema, isolando o y ' que era o que se queria:

2 y y ' + 2 x = 0

y ' = - x y

OBS: Se liga que nesse tipo de questão é muito comum o resultado ter tanto x quanto y no gabarito, não tem problema nenhum.

Outro detalhe, se numa questão aparecerem misturas de x e y como produto ou quociente, como em:

x 2 y = 2

É só usar a regra do produto e quociente normalmente, aplicando o macete acima:

  1. Primeiro:
  2. d d x x 2 y = d d x 2      

    d d x x 2 y = 0        

    Aplicando a regra do produto no primeiro parênteses

    d d x x 2 y = x 2 d d x y + y d d x x 2 = 0

  3. Segundo:
  4. x 2 _ _ _ + 2 x y _ _ _ = 0  

  5. Terceiro:

x 2 d y d x + 2 x y d x d x = 0    

x 2 y ' + 2 x y = 0  

y ' = - 2 y x         ,         p a r a   x 0

Com a prática você vai pegando a manha e vai fazendo sem passar pelo passo 2 ;)

Para que isso aconteça antes da nossa prova, vamos para os exercícios?!

Expandir

Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5

Enunciado

No exercício, use a derivada implícita para determinar d y / d x .

x 2 + y 2 = 1

Resolução

Enunciado

Encontre a derivada y ' no ponto P = ( 1 ,   0 ) da curva definida implicitamente abaixo:

x 3 + x y - y 2 = 0

Resolução

Enunciado

Se x y + y 2 = 1 , encontre o valor de d y / d x no ponto 0 , - 1 .

Resolução

Enunciado

Encontre d y d x no ponto ( 1,1 ) diferenciando implicitamente a curva definida por

x y = 2 x 3 y 2 - 1

Resolução

Enunciado

O fólio de Descartes

a Encontre o coeficiente angular do fólio de Descartes, x 3 + y 3 - 9 x y = 0 nos pontos 4,2 e 2,4

b Em qual ponto, além da origem, o fólio tem uma tangente horizontal?

c Encontre as coordenadas do ponto A da figura, onde o fólio tem uma tangente vertical.

Resolução

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