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Técnicas de Derivação

Uma aplicação interessante da regra da cadeia é quando nós temos uma função implícita.

Pode-se pedir a derivada de y com respeito a x sem que você tenha uma forma explícita do tipo:

y = f ( x )

Mas sim algo como:

x 2 + y 2 = 1

Aqui não temos uma função, é apenas uma relação entre x e y .

Se liga que podemos encontrar sua derivada mesmo assim. Vamos tentar calculá-la, então!

Vamos sempre começar da mesma forma para resolver essas derivadas: tomar a derivada com respeito a x em ambos os lados da equação.

x 2 + y 2 ' = 1 '

Então, aplicamos as regras de derivação normais nas funções que dizem respeito a x :

x 2 ' + y 2 ' = 0 2 x + y 2 ' = 0

E resta descobrir essas derivadas com y bonitona aí em cima. Para isso, vamos utilizar a regra da cadeia.

Vamos considerar que y só depende de x , ou seja, y x .

Repara que o termo y 2 , na verdade, é uma composta entre a f x = x 2 e y ( x ) . Assim, aplicando a regra da cadeia vamos ter:

y 2 ' = f y x ' = f ' y x y ' x

y 2 ' = f y x ' = 2 y x y ' x = 2 y y '

Trocamos y x por y e y ' x por y ' , só para ficar mais simples. Podemos então seguir com o nosso problema, isolando o y ' que era o que se queria:

2 y y ' + 2 x = 0 y ' = - x y

Na real, é sempre a mesma coisa, basta derivar como aprendemos, e do lado de cada y colocar y ' .

OBS: Se liga que nesse tipo de questão é muito comum o resultado ter tanto x quanto y no gabarito, não tem problema nenhum.

Outro detalhe, se numa questão aparecerem misturas de x e y como produto ou quociente, como em:

x 2 y + x y 2 = 2

Para derivar a parte entre parênteses, é só usar a regra do produto:

x 2 y ' = 2 x y + x 2 y '

Show?! Vamos para os exercícios agora!

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Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5

Enunciado

No exercício, use a derivada implícita para determinar d y / d x .

x 2 + y 2 = 1

Resolução

Enunciado

Encontre a derivada y ' no ponto P = ( 1 ,   0 ) da curva definida implicitamente abaixo:

x 3 + x y - y 2 = 0

Resolução

Enunciado

Se x y + y 2 = 1 , encontre o valor de d y / d x no ponto 0 , - 1 .

Resolução

Enunciado

Encontre d y d x no ponto ( 1,1 ) diferenciando implicitamente a curva definida por

x y = 2 x 3 y 2 - 1

Resolução

Enunciado

O fólio de Descartes

a Encontre o coeficiente angular do fólio de Descartes, x 3 + y 3 - 9 x y = 0 nos pontos 4,2 e 2,4

b Em qual ponto, além da origem, o fólio tem uma tangente horizontal?

c Encontre as coordenadas do ponto A da figura, onde o fólio tem uma tangente vertical.

Resolução

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