Resumão Completo

O que é Integral?

A Integral como Área

Esse é um capítulo bem importante para entendermos o conceito de Integrais.

Basicamente, uma Integral representa o valor de uma área.

Tem algumas áreas que conseguimos fazer de boa, como essas aqui debaixo:

Agora, você não deve fazer ideia de como calcular a área disso:

Nesse caso, queremos calcular a área embaixo da função f x = x 2 entre x = 0,6 e x = 1,4 .

Podemos estimar a área A , calculando uma área aproximada, usando retângulos do seguinte modo:

Dá pra perceber que a soma das áreas dos retângulos é menor que a área azul A (repare nas sobras dos retângulos).

Podemos, com os retângulos, encontrar uma estimativa para cima (maior que A ), assim:

Agora, eu posso ver que a primeira estimativa é menor que o resultado certinho dessa área e a última é maior.

Agora, dá uma olhada nesses desenhos

Saca aqui: concorda que o espaço entre o gráfico e os retângulos diminui muito conforme eu aumento o número de retângulos? A ideia é que se eu colocar infinitos retângulos, eu terei exatamente a área A . Portanto, a soma dos n retângulos é denotada por S n e pelo que eu expliquei temos que:

A = lim n S n

A integral vai ter exatamente essa ideia: partir o eixo x em pedacinhos, traçar retângulos e somar a área desses retângulos. Conforme aumentamos o número de retângulos, nos aproximamos mais da área. Assim, escrevemos o seguinte

A = lim n S n = 0,6 1,4 x 2 d x

Onde S n é a soma daqueles retângulos, essa soma é a Soma de Riemann.

Estamos integrando x 2 de 0,6 à 1,4 , é isso que significa essa notação, o cara embaixo é o início do intervalo, nesse caso o 0,6 . O cara em cima é o final do intervalo, no caso 1,4 .

Notação

Vamos entender essa notação de integral de forma mais geral:

a b f ( x ) d x

f ( x ) é chamado de integrando que é a função que queremos a área

a é o limite inferior, que é onde começa o intervalo que queremos a área

b é o limite superior, que é onde termina o intervalo que queremos a área; d x mostra que estamos integrando na variável x (se fosse d t , por exemplo, estaríamos integrando em t ).

A Integral Definida resulta em um número, um valor. Essa integral acontece quando os limites de integração são números também, ou seja, na maioria dos casos.

Sinal da Integral

Esse é um pedaço tranquilo da matéria que pode se tornar problemático se não estiver bem batido. A integral representa, como já conversamos, uma área. Agora, ela é algo como uma área “negativa” se estiver abaixo do eixo x . Acompanha aqui:

As integrais podem ter valores positivos e negativos! Quando a função está abaixo do eixo x , a integral é negativa! Quando a função está acima do eixo x , a integral é positiva! Portanto, temos que ter cuidado se quisermos calcular áreas e não integrais. Por exemplo:

a c f ( x ) d x > 0 A rosa = a c f ( x ) d x

c b f ( x ) d x < 0 A azul = - c b f ( x ) d x

Repare:

a b f ( x ) d x = A rosa - A azul     e NÃO    A r o s a + A a z u l

Propriedades das Integrais

Existem algumas propriedades das integrais que são bastante importantes e é essencial que elas estejam no sangue, porque você vai ter que usá-las o tempo todo. Mas não se preocupe, são relações bem simples e, logo, logo, você estará usando sem nem sentir!

Propriedade 1:

Essa propriedade diz que a integral da soma ou subtração de funções é a soma ou subtração das integrais:

a b [ f x ± g x ] d x = a b f ( x ) d x ± a b g ( x ) d x

Por exemplo:

0 1 cos x + e x d x = 0 1 cos x d x + 0 1 e x d x

Propriedade 2: A integral de uma função vezes uma constante é igual à integral daquela função multiplicada pela constante.

a b   c   f x d x = c a b   f x d x ,   onde   c   é uma constante qualquer

Em outras palavras, a constante pode ser colocada “para fora” da integral. Olha aqui um exemplo disso

0 1 3 cos x d x = 3 0 1 cos x d x

Propriedade 3: Quando uma integral tem limites superior e inferior iguais seu resultado é nulo:

a a f x d x = 0

Propriedade 4:

A integral de uma função constante, f x = c é dada por:

a b c d x = c b - a ,     onde   c   é uma constante qualquer

Se c > 0, veja que a integral é a área A . Agora como essa área é um retângulo a gente vai ter que:

a b c d x = A = c ( b - a )

Se c < 0 , a integral representa o inverso da área, ou seja:

a b c d x = -   A = - c ( b - a )

Exemplo:

A = 2   . 3 = 6

Como f x = - 3 está abaixo do eixo x , temos:

2 4 - 3 d x = - A = - 6

Propriedade 5: Ao trocar os limites de integração inferior e superior, troco o sinal da integral:

a b f ( x ) d x = - b a f x d x

Por exemplo

0 1 cos x d x = - 1 0 cos x d x

Propriedade 6:

a b f ( x ) d x + b c f ( x ) d x = a c f ( x ) d x

Para se lembrar dessa propriedade, pensa na interpretação de integral como área:

A 1 + A 2 = A t o t a l

a b f x d x = A 1

b c f x d x = A 2

a c f x d x = A t o t a l

O mais importante é que essa propriedade não depende de que a, b e c estejam em ordem, isto é, não importa que c seja maior que b. Se b for maior que c, a propriedade continua valendo. Veja esse exemplo aqui:

0 1 cos x d x - 2 1 cos x d x = 0 1 cos x d x - - 1 2 cos x d x = 0 1 cos x d x + 1 2 cos x d x

0 1 cos x d x - 2 1 cos x d x = 0 2 cos x d x

Propriedade 7:

  S e   f x 0   para   a x b ,   então   a b f ( x ) d x 0

Se   f x 0   para   a x b ,   então   a b f x d x 0

Para lembrar dessa propriedade, também facilita lembrar da interpretação como área.

  • Se f x é sempre maior que zero no intervalo [ a , b ] , então a integral será sempre igual à área da região delimitada naquele intervalo. Lembre-se que área é sempre um número positivo!
  • Por outro lado, se f x é sempre menor que zero naquele intervalo, a integral será sempre igual ao simétrico da área delimitada naquele intervalo. Como a área é sempre um número positivo, então a integral será um número negativo!

Propriedade 8:

Se   f x g x   para   a x b ,   então   a b f ( x ) d x a b g ( x ) d x

Novamente, pensando na integral como área, se f x está sempre acima de g x no intervalo [ a , b ] , então a área delimitada pela função f ( x ) naquele intervalo será maior que aquela delimitada pela função g ( x ) no mesmo intervalo!

Propriedade 9:

Para chegar a essa propriedade, vou tirar um conceito lá do fundo do baú. Lá do Teorema do Valor Extremo, sabemos que toda função contínua em um intervalo fechado possui um máximo e um mínimo absolutos naquele intervalo fechado.

Então, se tivermos uma função f ( x ) num intervalo fechado [ a , b ] e sabendo que o mínimo absoluto dessa função é m e o máximo é M , olha só o que temos:

m f x M ,   p a r a   t o d o   a x b

Vou representar agora isso num gráfico, para pensarmos em integral novamente com a interpretação de área.

Observe que a área hachurada é igual a:

A = m ( b - a ) (área de retângulo)

Portanto sabendo que a integral de f x no intervalo [ a , b ] corresponde à área abaixo dela e que f ( x ) é sempre maior ou igual a m nesse intervalo, vê se não podemos escrever o seguinte:

a b f x   d x m   ( b - a )

Agora, da propriedade 8, sabemos que:

Se   g x f x   para   a x b ,   então   a b g ( x ) d x a b f ( x ) d x

Nesse caso, imaginemos g x como M :

M ( b - a ) a b f x

Juntando as duas coisas, teremos:

S e   m f x M ,   p a r a   t o d o   a x b   m   ( b - a ) a b f x M ( b - a )

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Teorema Fundamental do Cálculo

O Teorema Fundamental do Cálculo é super importante (afinal ele é o teorema “fundamental” do Cálculo todo!).

A primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo diz o seguinte:

Se f t é uma função contínua em [ a , b ] e

g x = a x f ( t ) d t                 a x b

Então g ( x ) também é contínua no intervalo [ a , b ] e:

g ' x = f x ,     n o   i n t e r v a l o   [ a , b ]

Parece grego? Calma, olha essa função g x :

g   x = 1 x e t 2 d t

A função dentro da integral, que é exponencial, é contínua. Logo, eu posso utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo para achar sua derivada.

Vamos comparar com a integral do teorema.

Aqui

f t = e t 2

Aplicando o teorema, a g ' x vai ser

g ' x = f x

Agora, é só trocar o t por x na f :

g ' x = f x = e x 2

Se liga que não importa o limite inferior, pode ser qualquer constante.

E se aparecer uma função no limite de integração?

Vamos agora derivar

h   x = 1 sen x e t 2   d t

Aqui temos aquele sen x ao invés de x . Como fazemos agora?

Vamos chamar aquela função de u x = sen x

h   x = 1 u x   e t 2   d t

Se considerarmos a integral,

g x = 1 x e t 2 d t

Temos

h x = g u x

Derivando isso, usando a regra da cadeia temos

h ' x = g ' u x u ' x

Pelo teorema,

g ' x = e x 2

g ' u x = e sen 2 x

E

u ' x = cos x

Ou seja:

h ' x = e sen 2 x cos x

Tranquilo? De forma geral é só fazer:

h x = a u ( x ) f ( t ) d t  

h ' x = f u x   u ' ( x )  

E se aparecerem DUAS funções nos limites de integração?

Você pode se deparar com alguma função do tipo

f x = e x 2 x ( ln t 2 ) d t

Observe que os dois limites de integração são funções de x . Então vamos dividir a integral da seguinte forma:

f x = e x 2 x ( ln t 2 ) d t = e x C ln t 2 d t + C 2 x ( ln t 2 ) d t

Onde C é uma constante qualquer.

O problema é que na primeira integral o limite superior que é uma constante. Pra corrigir isso vamos malandramente aplicar aquela propriedade da integral de inverter os limites de integração:

e x C ln t 2 d t = - C e x ln t 2 d t

Então a função vai ficar:

f x = e x 2 x ( ln t 2 ) d t = - C e x ln t 2 d t +   C 2 x ( ln t 2 ) d t

Depois é só resolver como vimos lá em cima! Show?

Regra de L’Hospital

Cara, pode parecer bruxaria, mas muitas vezes o professor pede para calcular esse limite aqui:

lim x 0 1 x 0 sen x e t 2   d t

Antes de chamar o chapolin, deixa eu te ajudar!

A gente já viu uma propriedade da integral que diz o seguinte

a a f x d x = 0

Ou seja, se os limites forem iguais a integral vale zero! Como o seno de zero é zero, temos que o numerador será zero. Por coincidência (ou não xD), o denominador também será zero.

Momento reação bovina: hmmmm... Numerador e denominador indo para zero. O que isso te lembra?? Isso mesmo, regra de L’Hospital!

Então, vamos ter que derivar em cima e embaixo. Ai que vem o nosso truque novo: como deriva a integral? Do jeitinho que te ensinei ali em cima.

Então vamos ficar com

lim x 0 0 sen x e t 2   d t x = lim x 0 0 sen x e t 2   d t ' ( x ) ' = lim x 0 e sen x 2 cos x = 1  

Pronto! É só correr pro abraço e fazer umas questõezinhas para treinar, combinado?

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Anti-Derivação

O que é antiderivada?

Se eu te pedir a derivada dessa função aqui:

f x = cos x + 3 x - 2

Melzinho na chupeta né?

Mas e se eu te pedir uma função cuja derivada é f x ? Aí já complica um pouco. Aqui vamos ver como resolver esse tipo de problema.

Mas primeiro vamos dar nome aos bois. Basicamente, uma função   F é uma antiderivada ou primitiva de uma função f em um intervalo qualquer se, para todo x desse intervalo:

F ' x = f x

Ok, mas o que são integrais indefinidas?

A integral indefinida é uma notação usada para a primitiva. Escrevemos assim, ó:

f x d x =   F x + C

Esse símbolo   significa que estou procurando as antiderivadas ou a integral indefinida de f ( x ) .

Esse C ali no fim é a constante de integração. Ele aparece porque a derivada de qualquer constante é zero, então:

F x + C ' = F ' x + 0 = F ' x = f x

Não se esqueça do C !! Por causa dele, a integral indefinida de f x não é só uma função F x , e sim uma família de funções da forma F x + C , como a da foto aqui embaixo:

A única diferença entre as funções é o valor da constante, mas a derivada de todas elas é a mesma: f x .

Por isso há uma grande diferença entre integrais indefinidas e as definidas:

Agora vamos ver na prática como faz pra achar essas integrais!

Integrando funções trigonométricas

1)

  s e n   x ' = cos x cos x d x = s e n   x + C

(sou chato então vou relembrar: nunca, em hipótese alguma, esqueça a constante C quando estiver trabalhando com uma integral indefinida!)

2)

  - cos x ' = sen x s e n x d x = - c o s   x + C

3)

  s e c   x   ' = sec x t g   x sec x tg x d x = s e c   x + C

4)

  t g   x ' = sec 2 x sec 2 x d x = t g   x + C

5)

- c o t g   x ' = cossec 2 x cossec 2 x   d x = - c o t g   x + C

6)

- c o s s e c   x   ' = c o s s e c   x   c o t g   x cossec x cotg x d x = - c o s s e c   x + C

Tem três que são um pouco mais difíceis de deduzir, mas que também são importantes de saber:

7)

tg x d x = ln sec x + C

8)

sec x d x = ln | sec x + tg x | + C

9)

cossec x d x = - ln cossec x + cotg x + C

Integrando polinômios

1 n + 1 x n + 1 ' = x n x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Detalhe que n não precisa nem ser inteiro!

Só temos um caso especial, quando n = - 1 :

x - 1 d x = 1 x d x = ln x + C

Integrando funções exponenciais

1)

  e x ' = e x e x d x = e x + C

2)

a x l n   a ' = a x a x d x = a x ln a + C

Integrando funções trigonométricas inversas

1)

a r c s e n   x ' = 1 1 - x 2 1 1 - x 2 d x = a r c s e n   x + C

2)

a r c t g x ' = 1 x 2 + 1 1 x 2 + 1 d x = a r c t g   x + C

Pronto, chegamos ao fim! :)

E aí, pronto para treinar e não esquecer mais essas primitivas? Ó, e não vale fazer que nem o Pedrinho que decorou todas as primitivas mas esqueceu da constante!

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Substituição Simples

Já vimos que, pra calcular integrais, precisamos conhecer as primitivas das funções. Mas e se eu te lanço essa integral daqui, como calcula??

x 2 5 + x 3 d x

Complicou né Jackie? Mas relaxa que é aí que entra a linda e maravilhosa substituição simples!

Basta seguir o passo-a-passo:

Passo 1. Identificar dentro da integral uma parte que é derivada da outra ou só se diferencia de sua derivada por constantes.

5 + x 3 ' = 3 x 2

é diferente de outra parte da integral ( x 2 ) , pelo 3 que vem multiplicando antes. Esse é um bom indício de que é válido usar a substituição simples!

Passo 2. Mudança de variável: chamar a parte a ser derivada de u .

u = 5 + x 3

Passo 3. Achar a diferencial d u .

d u = 3 x 2 d x

Passo 4. Manipular a expressão de d u para ficar igualzinha a alguma parte da integral.

x 2 d x = 1 3 d u

Passo 5. Substituir as partes em x por suas correspondentes em u .

x 2 5 + x 3 d x 1 3 u d u

Passo 6. Verificar se não sobrou x na integral! Se não sobrou, parabéns! Se sobrou, você errou na substituição, volte atrás!

Nesse caso mandamos bem, não sobrou x nenhum.

Passo 7. Resolver a integral em u normalmente.

1 3 u d u = 1 3 2 3 . u 3 2 + C = 2 9 u 3 + C

Passo 8. Substituir u por sua correspondente em x (“DES-Substituir!”)

2 9 u 3 + C = 2 9 5 + x 3 3 + C

Pronto! Integral devidamente resolvida! ;)

Existem várias possibilidades para o método da substituição simples: o que você vai chamar de u pode ser:

  • Argumento de uma função trigonométrica
  • A própria função trigonométrica
  • Função exponencial ou o argumento dela
  • Função logarítmica ou o argumento dela
  • Etc.

O importante é identificar um termo que seja derivado de outro a menos de uma constante!

Por exemplo, nessa integral:

cos ( x 5 ) 5 x 4 d x

Tá na cara que 5 x 4 é a derivada de x 5 , né? Então o u vai ser ele mesmo:

u = x 5 d u = 5 x 4 d x

Depois é só resolver que nem fizemos agora a pouco!

Vejamos outra:

e cos x + 2 sen x d x

Nessa vamos fazer

u = cos x + 2 d u = - sen x d x

sen x d x = - d u

Como calcular Integrais Definidas pelo método da substituição?

Voltando pro exemplo que vimos no começo, agora fazendo a integral definida:

0 1 x 2 5 + x 3 d x

Tem dois jeitos:

Jeito 1: Calcular a integral indefinida e depois usar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Vimos que

x 2 5 + x 3 d x = 2 9 5 + x 3 3 + C

Então

0 1 x 2 5 + x 3 d x = 2 9 5 + x 3 3 0 1 = 2 9 6 3 - 2 9 5 3

Jeito 2: Já calcular direto do u , sem voltar pro x .

Só temos que adaptar os limites de integração, de acordo com a nossa substituição!

Os limites de integração são 0 e 1 , e temos u = 5 + x 3 :

x = 0 u = 5 + 0 3 = 5

x = 1 u = 5 + 1 3 = 6

Daí a integral fica:

0 1 x 2 5 + x 3 d x = 5 6 1 3 u d u

Resolvendo:

5 6 1 3 u d u = 2 9 u 3 5 6 = 2 9 6 3 - 2 9 5 3

Perceba que pelos dois jeitos encontramos o mesmo resultado!

Então partiu exercícios!

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Integração por Partes

Quando integrar por partes?

Esse método é recomendado quando temos um produto de funções de tipos diferentes (logarítmica, inversa, polinomial, trigonométrica, exponencial, ...), sendo uma delas fácil de integrar e a outra mais fácil de derivar.

Para que você entenda de onde ele nasce, o método da integração por partes vem da Regra do Produto na derivação. Lembrando essa regra:

f x g x ' = f ' x g x + f x g ' x

Seja u = f ( x ) e v = g ( x ) . Então:

u v ' = d u   v + u   d v u   d v = u v ' - v   d u u d v = u v - v d u

Essa expressão é a “fórmula” da integração por partes. De novo:

u d v = u v - v d u

Agora para ter certeza de que você não vai esquecer:

u d v = u v - v d u

u d v = u v - v d u

u d v = u v - v d u

Gravou? Sério, esquece o dia do aniversário da sua mãe, mas não esquece isso aí.

Por exemplo, vamos calcular a integral

x e 2 x d x

Passo 1. Chamar uma parte da integral de u e outra de d v , de modo que o u seja o mais difícil de ser integrado ou o mais fácil de derivar. O macete é escolher o u nessa ordem: LIATE.

L logarítmica ( ln x )

I inversa trigonométrica ( arcsen x , arctg x ,   )

A algébrica (ou polinomial) ( x n )

T trigonométrica ( sen x , cos x , sec x , ...)

E exponencial ( e x )

Então, nesse caso:

u = x     ( a l g é b r i c a )

d v = e 2 x d x     ( e x p o n e n c i a l )

Passo 2. Calcular d u derivando u e calcular v integrando d v .

d u = 1   d x = d x

v = 1 2 e 2 x

Passo 3. Fazer u d v = u v - v d u

x e 2 x d x = x . 1 2 e 2 x - 1 2 e 2 x d x

Passo 4. Verificar como calcular a integral v d u . Se necessário, aplique a Integração por partes novamente nesse termo. Caso pareça que não vai dar em lugar nenhum, volte para o passo 1 e tente outro u e d v .

Nesse caso tá tranquilo, dá pra calcular diretamente esse nova integral que apareceu!

Passo 5. Calcular v d u e obter o resultado!

1 2 e 2 x d x = 1 2 1 2 e 2 x = 1 4 e 2 x x e 2 x d x = x 2 e 2 x - 1 4 e 2 x + C

Sem esquecer da constante, hein? :p

Observação: Para integrar a função ln x também usamos a integração por partes. Afinal, é como se eu tivesse um polinômio x 0 vezes a função logarítmica, beleza?

ln x d x = x 0 ln x   d x

Aí é só fazer o mesmo: chamar ln x de u e o polinômio 1 de d v ;)

Integral por partes com equação

Existem alguns casos em que você vai integrar por partes feliz da vida achando que tá abafando e de repente você vai voltar para a integral que você tinha no início e não vai entender nada, vai achar que está rodando em círculos. Mas é assim mesmo! :D

Um caso bem clássico é uma função exponencial multiplicada por uma função trigonométrica, por exemplo:

e 3 x sen 5 x d x

Nesses casos, você nem precisa se fixar tanto à regrinha do LIATE, qualquer uma das duas funções pode ser o u .

Vou chamar de u a função exponencial, ok?

u = e 3 x d u = 3   e 3 x d x

d v = sen 5 x d x v = - 1 5 cos ( 5 x )

Aplicando a fórmula, vai dar:

e 3 x sen 5 x d x = - 1 5 e 3 x cos 5 x + 3 5 e 3 x cos 5 x d x  

Observa que eu caí novamente numa integral que é o produto de uma função exponencial e de uma função trigonométrica:

e 3 x c o s   5 x d x

Então vamos integrar por partes novamente!

Um detalhe bem importante: agora não tem mais como escolher, temos que manter a escolha da primeira integração e chamar de u a função exponencial.

u = e 3 x d u = 3   e 3 x d x

d v = cos 5 x d x v = 1 5 s e n   ( 5 x )

Assim,

e 3 x c o s   5 x d x = 1 5 e 3 x   s e n   5 x - 3 5 s e n   5 x . e 3 x d x

Percebe que voltei para a mesma integral que eu tinha no enunciado e que era justamente a que eu queria resolver?

Relaxa que você não fez trabalho à toa! Vamos voltar à integral original e acompanha aqui comigo:

e 3 x s e n   5 x d x = - 1 5 e 3 x cos 5 x + 3 5 e 3 x cos 5 x d x  

e 3 x s e n   5 x d x = - 1 5 e 3 x cos 5 x + 3 5   1 5 e 3 x   s e n   5 x   - 3 5 s e n   5 x . e 3 x d x  

e 3 x s e n   5 x d x = - 1 5 e 3 x cos 5 x + 3 25   e 3 x   s e n   5 x   - 9 25 s e n   5 x . e 3 x d x  

Agora olha que lindo: eu posso simplesmente passar a integral que é igual à integral original para o outro lado, “isolando” a integral que eu quero resolver:

e 3 x s e n   5 x d x + 9 25 s e n   5 x . e 3 x d x   = - 1 5 e 3 x cos 5 x + 3 25   e 3 x   s e n   5 x

Depois é só desenvolver isso aí! No fim vai dar:

s e n   5 x . e 3 x d x   = - 5 34 e 3 x cos 5 x + 3 34   e 3 x   s e n   5 x + C

Curtiu essa rataria? ;)

Agora é só treinar muito com os exercícios! Vambora?

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Integrais Trigonométricas

Identidades Trigonométricas

Muitas integrais podem ser calculadas manipulando o integrando através de identidades trigonométricas, como:

sen 2 θ + cos 2 θ = 1

1 + tg 2 θ = sec 2 θ

1 + cotg 2 θ = cossec 2 θ

sen ( x ± y ) = sen x cos y ± sen y cos x

cos x ± y = cos x cos y sen x sen y

Tente gravar pelo menos essas que são as principais! A partir delas ainda dá pra achar outras identidades:

sen ( 2 x ) = 2 sen x cos x

cos 2 x = cos 2 x - sen 2 x = 2 cos 2 x - 1 = 1 - 2 sen 2 x

cos 2 x = 1 + cos 2 x 2

sen 2 x = 1 - cos 2 x 2

sen x cos y = 1 2 sen x + y + sen ( x - y )

cos x cos y = 1 2 cos x + y + cos x - y

sen x sen y = 1 2 [ cos x - y - cos x + y ]

Potências envolvendo seno e cosseno

Caso 1:

Por exemplo, na integral

sen 2 ( x ) cos 3 ( x ) d x

a potência do cosseno é ímpar. Vamos fazer o seguinte:

sen 2 ( x ) cos 2 x cos ( x ) d x = sen 2 ( x ) 1 - sen 2 ( x ) cos ( x ) d x

Agora lançamos a substituição:

u = sen x d u = cos x d x

Aí sobra uma integral tranquilinha de resolver:

u 2 1 - u 2 d u = u 2 - u 4 d u

Caso 2:

Vamos calcular a integral

sen 2 x cos 2 x d x

Usando a identidade:

1 - cos 2 x 2 1 + cos 2 x 2 d x = 1 4 1 - cos 2 2 x d x

Aplicando de novo pro cos ²   2 x , vai dar

1 4 1 - 1 2 - cos 4 x 2 d x

Agora é só utilizar uma substituição u = 4 x   e partir pro abraço!

Obs.: também dá pra usar a relação

sen x cos x = 1 2 sen 2 x

Potências envolvendo tangente e secante ou cotangente e cossecante

Caso 1:

Vejamos um exemplo:

tg 3 x sec 6 x d x

Temos que n é par e m é ímpar, então nesse caso vai dar até pra escolher entre as substituições u = tg x e u = sec x .

Calma, galera! Não há necessidade disso, vamos resolver das duas formas.

forma: u = t g x d u = sec ²   x d x

tg 3 x sec 6 x d x

= tg 3 x sec 4 x sec 2 x d x = tg 3 x 1 + tg 2 x 2 sec 2 x d x

= u 3 1 + u 2 2 d u = u 3 + 2 u 5 + u 7 d u

2ª forma: u = sec x d u = sec  x tg x d x

tg 3 x sec 6 x d x

= tg 2 x sec 5 x sec x tg x d x = sec 2 x - 1 sec 5 x sec x tg x d x

= u 2 - 1 u 5 d u = u 7 - u 5 d u

Caso 2:

Vamos calcular a seguinte integral:

tg 2 x sec 3 x d x

A ideia aqui é usar a identidade trigonométrica pra eliminar qualquer tangente da expressão, deixando somente as secantes. Então vamos escrever ela assim:

( sec 2 x - 1 ) sec 3 x d x = sec 5 x d x - sec 3 x d x

Depois disso, em vez de uma substituição faremos uma integração por partes, usando

d v = sec 2 x d x

Isso tudo que fizemos pra tangente/secante vale o mesmo pra dupla cotangente/cossecante. ;)

Integrais envolvendo produtos de seno e cosseno

Nesses casos, vamos usar as seguintes identidades:

sen ( x ) cos ( y ) = 1 2 sen ( x + y ) + sen x - y

cos ( x ) cos ( y ) = 1 2 cos x + y + cos x - y

sen ( x ) sen ( y ) = 1 2 [ cos x - y - cos x + y ]

Essas fórmulas são chatas de gravar, mas olha um exemplo de como isso facilita nossa vida:

sen ( 5 x ) cos 2 x d x = 1 2 sen ( 7 x ) + sen ( 3 x ) d x

Bem melhor, né?

Agora vem comigo ver uns exercícios! ;)

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Substituição Trigonométrica

Já vimos aquele milhões de integrais, com substituição, partes e tudo mais. Ai, na hora da prova você pega e encontra essa integral

1 x x 2 + 9 d x

Tem uma raiz, com x no denominador, não surge nenhuma substituição na cabeça, não rola LIATE. O que fazer? Chorar?

RELAAAAAAAAXA... vamos usar substituição trigonométrica, ela vai salvar nossas vidas.

Quando usar substituição trigonométrica?

Naquele exemplo da integral

1 x x 2 + 9 d x

Apareceu x 2 + a 2 , aquele a 2 é o 9 .

a 2 = 9 a = ± 3

Em substituição trigonométrica, precisamos ignorar esse negativo. Vamos sempre pegar o positivo.

Esse a é sempre um número.

Então, se tivéssemos

x 2 - 9 a 2 = 9 a = 3

4 - x 2 a 2 = 4 a = 2

x 2 - 2 a 2 = 2 a = 2

Beleza, estamos em SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA. Isso quer dizer que vamos fazer uma SUBSTITUIÇÃO, e ela é uma função TRIGONOMÉTRICA.

A questão é saber qual substituição fazer. Em cada caso, vamos usar uma substituição diferente.

Usando a substituição trigonométrica

Vamos voltar para o nosso exemplo

1 x x 2 + 9 d x

Passo 1: Identificamos qual caso.

Aqui temos o primeiro caso: x 2 + a 2 , já vimos que a = 3 . Vamos fazer

x = a tg θ x = 3 tg θ

Passo 2: Achamos d x , derivando o x

Agora, precisamos achar d x , é só derivar o x

d x = 3 sec 2 θ d θ

Passo 3: Substituir o x e d x na integral dada.

Primeiro, vamos olhar a substituição só na raiz

x 2 + 9 3 tg θ 2 + 9 = 9 tg 2 θ + 9 = 9 tg 2 θ + 1

Usando

tg 2 θ + 1 = sec 2 θ

9 tg 2 θ + 1 = 9 sec 2 θ = 3 sec θ

Repara que sumiu a raiz ne? Esse tipo de integração serve exatamente para tirar essa raiz, então fica atento: Se a raiz não sumir, errei conta.

1 x x 2 + 9 d x 3 sec 2 θ d θ 3 tg θ . 3 tg θ 2 + 9 = 3 sec 2 θ d θ 3 tg θ . 3 sec θ = sec θ 3   tg θ   d θ

Arrumando isso

= 1 3 1 c o s θ s e n θ c o s θ = 1 3 1 s e n θ d θ =   1 3 c o s s e c θ d θ

Passo 4: Resolver a integral na variável θ .

Aqui é só resolver a integral mesmo xD

1 3 c o s s e c θ d θ = 1 3 ln cossec θ - cotg θ + C

Passo 5: Usar o triângulo retângulo para converter o θ na variável inicial.

Não interessa chegar à resposta em função θ , precisamos achar em x porque era a variável que eu tinha lá no início. Como fazemos isso? E agora?

Usamos

x = 3 tg θ

Então

tg θ = x 3

Olhando o triângulo retângulo:

É só usar as relações trigonométricas

sen θ = C a t e t o   O p o s t o H i p o t e n u s a

cos θ = C a t e t o   A d j a c e n t e H i p o t e n u s a

tg θ = C a t e t o   O p o s t o C a t e t o   A d j a c e n t e

tg θ = C a t e t o   O p o s t o C a t e t o   A d j a c e n t e = x 3

O cateto oposto vai ser x e o cateto adjacente vai ser 3 . O nosso triângulo vai ficar

Cara, mas e aquela bendita Hipotenusa? Pitágoras.

H i p o t e n u s a = x 2 + 9

Aqui, sempre vai faltar um lado, para achar esse bendito basta fazer um Pitágoras.

O triângulo do nosso exemplo é

Queremos escrever

1 3 ln cossec θ - cotg θ + C

Com x . Aqui, vamos ter

cotg θ = 1 tg θ = 1 x / 3 = 3 x

E

cossec θ = 1 sen θ = 1 x / x 2 + 9 = x 2 + 9 x

Voltando agora para x

1 3 ln x 2 + 9 x - 3 x   + C

O passo a passo é sempre esse:

Passo 1: Identificamos qual caso.

Passo 2: Achamos d x

Passo 3: Substituir o x e d x na integral dada.

Passo 4: Resolver a integral na variável θ .

Passo 5: Usar o triângulo retângulo para converter o θ na variável inicial.

Ufa...

Agora chega de papo e mãos-a-obra!!

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Frações Parciais

Quando usar o Método de Integração por Frações Parciais?

Primeiro: só use esse método se não der de jeito nenhum pra aplicar alguma substituição simples ou trigonométrica!

Dito isso, usamos esse método pra integrar uma divisão de polinômios, onde o grau do numerador é menor que o do denominador.

Como nessas integrais aqui embaixo:

x + 3 x 2 - x + 3 d x   ,   4 x x 3 - 2 x 2 + x + 3 d x ,   x 2 + 5 x ( x 5 + 1 ) d x

O grau de um polinômio é simplesmente o seu maior expoente:

x + 3 g r a u   1

x 2 - x + 3 g r a u   2

x 3 - 2 x 2 + x + 3 g r a u   3

x x 5 + 1 x 6 + x g r a u   6

Ok? Grau do numerador sempre menor pra mandar frações parciais!

Vejamos um exemplo pra responder a pergunta do Patrick:

x 7 - 1 x 2 + 3

Passo 1: Dividimos o termo x com maior expoente do numerador pelo termo x com maior expoente do denominador:

x 7 x 2 = x 5

Passo 2: Multiplicamos a resposta pelo denominador:

x 5 x 2 + 3 = x 7 + 3 x 5

Passo 3: Diminuímos o numerador pelo resultado obtido acima:

x 7 - 1 - x 7 + 3 x 5 = - 3 x 5 - 1

Passo 4: Chegamos a uma nova divisão, escrevendo o que achamos no passo 1 mais o que achamos no passo 3 , colocando essa soma sobre o denominador:

x 7 - 1 x 2 + 3 = x 5 + - 3 x 5 - 1 x 2 + 3

Caso o grau do polinômio do numerador continue maior que o grau do polinômio do denominador, só aplicar o passo a passo de novo na nova fração.

Desmembrando em Frações Parciais

Caso 1: Os fatores do denominador são todos lineares (1º grau) e com raízes distintas

Vamos desmembrar em frações parciais a seguinte expressão:

x - 5 x 2 - x - 2

É uma divisão de polinômios, sendo que o grau do numerador (1) é menor que o do denominador (2), então tudo ok. Fatorando o denominador, fica:

x - 5 x - 2 x + 1

Esses termos x - 2 e x + 1 que são os fatores do denominador. São 2 fatores do 1º grau, com 2 raízes distintas ( 2 e - 1 ).

A ideia é escrever a expressão assim, ó:

x - 5 x - 2 x + 1 =   A x - 2 + B x + 1

Onde A   e B são constantes.

Pra determinar A e B , vamos botar tudo no mesmo denominador e comparar os 2 lados da equação:

x - 5 x - 2 x + 1 =   A x + 1 + B x - 2 x - 2 x + 1

x - 5 x - 2 x + 1 = A x + A + B x - 2 B x - 2 x + 1

x - 5 x - 2 x + 1 = A + B x + A - 2 B x - 2 x + 1

Comparando, temos:

x - 5 = A + B x + A - 2 B

A + B = 1 A - 2 B = - 5 A = - 1 B = 2  

#HoraDoBizu

Existe um macete que facilita as contas e ainda diminui a chance de erro.

Nesse exemplo específico nem ajudaria tanto, porque ele é bem simples, mas a ideia é: na hora que chegar na equação

x - 5 = A + B x + A - 2 B

substituir os valores de x iguais às raízes dos polinômios, para ir zerando os termos. Nesse caso nossas raízes são 2 e - 1 .

Pra x = 2 :

2 - 5 = A + B 2 + A - 2 B

- 3 = 2 A + 2 B + A - 2 B

3 A = - 3

A = - 1

E pra x = - 1 :

- 1 - 5 = A + B - 1 + A - 2 B

- 6 = - A - B + A - 2 B

- 6 = - 3 B

B = 2

Gostou do macetinho? Fala sério: não facilita muito?? :)

Enfim, com ou sem macete, chegamos à conclusão que:

x - 5 x 2 - x - 2 = x - 5 x - 2 x + 1 = -   1 x - 2 + 2 x + 1

Usando isso pra calcular a integral:

x - 5 x 2 - x - 2 d x = - 1 x - 2 d x + 2 1 x + 1 d x

= - ln x - 2 + 2 ln x + 1 + C

Se quiser deixar isso mais bonitinho usando propriedade do logaritmo, fique à vontade, mas se deixar assim também tá show.

Ah, só mais um bizu! (que vai te ajudar muito em frações parciais):

A x - b d x = A ln x - b + C

Caso 2: Os fatores do denominador são todos do 1º grau e alguns fatores se repetem (aparecem raízes múltiplas)

Agora vamos ver como desmembrar em frações parciais expressões desse tipo:

x x - 1 x + 1 2

O polinômio do denominador tem uma raiz única x = 1 e uma raiz múltipla x = - 1 .

Vamos fazer o seguinte:

x x - 1 x + 1 2 =   A x - 1 + B x + 1 + C x + 1 2

Depois é só conta, trabalho braçal: botar tudo no mesmo denominador, montar e resolver o sistema...

Agora, saca só essa outra aqui:

x x - 1 x + 1 3 = A x - 1 + B x + 1 + C x + 1 2 + D x + 1 3

Deu pra pegar a ideia? Uma última pra não restar dúvida:

x + 2 x + 1 10 = A x + 1 + B x + 1 2 + + I x + 1 9 + J x + 1 10

Caso 3: Os fatores do denominador são lineares e quadráticos irredutíveis (e os fatores quadráticos não se repetem)

E se quiséssemos calcular:

3 x 2 - 7 x + 5 x ( x 2 - 4 x + 5 ) d x

Aliás, reparou que estamos começando a encarar umas integrais mais casca grossa, né?

No denominador tem um termo linear: x . O outro termo, x 2 - 4 x + 5 , é o que eu vou chamar de fator quadrático irredutível. Isso só significa que não tem como simplificar ele, não dá pra fatorá-lo em termos de fatores lineares, do tipo x + a x + b ou x + a 2 .

E uma maneira bem simples de testar se um termo quadrático é irredutível é calculando o discriminante (famoso Δ ) e testando se ele é negativo. Nesse nosso exemplo, temos

x 2 - 4 x + 5 Δ = - 4 2 - 4.1 . 5

= 16 - 20 = - 4 < 0

Pronto, deu negativo, então x 2 - 4 x + 5 é um fator quadrático irredutível.

Ok, agora que vimos o que isso significa, vejamos como desmembrar nosso integrando lá em frações parciais:

3 x 2 - 7 x + 5 x ( x 2 - 4 x + 5 ) = A x + B x + C x 2 - 4 x + 5

Opa, reparou a diferença?

Na fração correspondente ao termo quadrático, em vez de só um constante B , apareceu um termo B x + C , beleza?

#HoraDoBizu

Se o b do fator quadrático irredutível a x 2 + b x + c for diferente de zero, que nem no nosso exemplo ( b = - 4 0 ), então a boa é escrever a fração parcial correspondente assim:

A 2 a x + b +   B a x 2 + b x +   c

Observa que o termo ( 2 a x + b ) é a derivada do polinômio de baixo.

Eu sei que parece um pouco aleatório, mas acredite: isso facilita muito depois na hora de calcular as integrais. Confia em mim, eu sou legal!

Então vamos fazer

3 x 2 - 7 x + 5 x x 2 - 4 x + 5 = A x + B [ x 2 - 4 x + 5 ) ' + C   x 2 - 4 x + 5

3 x 2 - 7 x + 5 x x 2 - 4 x + 5 = A x + B ( 2 x - 4 ) + C   x 2 - 4 x + 5

Depois disso, o procedimento é o mesmo: montar o sistema, resolver, etc. etc.

Caso 4: Os fatores do denominador são lineares e quadráticos e alguns fatores quadráticos se repetem

Esse caso meio que mistura tudo que vimos até aqui. Vamos ver integrais do tipo:

x - 2 x x 2 - 4 x + 5 2 d x

O termo quadrático x 2 - 4 x + 5 no denominador é irredutível.

Montando as frações parciais:

x - 2 x x 2 - 4 x + 5 2 = A x + B x + C   x 2 - 4 x + 5 + D x + E   x 2 - 4 x + 5 2

E assim como pro caso 2, se aparecesse um cubo no denominador por exemplo, teríamos:

x - 2 x x 2 - 4 x + 5 3 = A x + B x + C   x 2 - 4 x + 5 + D x + E   x 2 - 4 x + 5 2 + F x + G x 2 - 4 x + 5 3

E assim por diante.

Observação: nesse exemplo podia usar aquele macete de botar a derivada do polinômio do denominador no lugar do x , tá? Só não usei pra não misturar coisa demais e ficar confuso.

Enfim, deu pra ver que frações parciais é um método trabalhoso né? Pra ficar afiado nisso tem que treinar bastante! ;)

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Integrais Impróprias

Integrandos Descontínuos

Agora vamos ver mais um tipo de integral imprópria, que acontece quando a função que estamos integrando é descontínua.

Se f ( x ) é contínua em [ a , b ) e possui uma descontinuidade infinita em b :

a b f ( x ) d x = lim t b - a t f ( x ) d x

Se f ( x ) é contínua em ( a , b ] e possui uma descontinuidade infinita em a :

a b f ( x ) d x = lim t a + t b f ( x ) d x

Se f ( x ) tem uma descontinuidade infinita em c no meio do intervalo [ a , b ] e as integrais a c f ( x ) d x e c b f ( x ) d x forem convergentes, ou seja, derem como resultado um número, então:

a b f ( x ) d x = a c f ( x ) d x + c b f ( x ) d x = lim t c - a t f ( x ) d x + lim t c + t b f ( x ) d x

Os problemas de integrais impróprias com integrandos descontínuos podem parecer problemas de integrais definidas a princípio. Por isso, o primeiro passo é identificar se f ( x ) tem uma descontinuidade infinita no intervalo [ a , b ] .

Aí eu resolvo a integral, uso o Teorema Fundamental do Cálculo e calculo o limite. Olha só um exemplo camarada aqui:

0 2 1 x - 1 2 3 d x

O denominador se anula em x = 1 , então esse é um ponto de descontinuidade. E temos:

lim x 1 1 x - 1 2 3 = +

Observação: Por causa do expoente 2, o denominador sempre tende a zero por valores positivos. Consegue perceber?

Essa descontinuidade infinita ocorre entre os limites de integração dados, 0 e 2 .

Então vamos dividir o intervalo de integração em dois, assim ó:

0 2 1 x - 1 2 3 d x = 0 1 1 x - 1 2 3 d x + 1 2 1 x - 1 2 3 d x

Mas se eu colocar x = 1 ali direto vai dar ruim, por causa da descontinuidade. O que eu quero é o limite quando x é muito próximo de 1 , pela direita e pela esquerda. Deu pra acompanhar? Vamos fazer

lim t 1 - 0 t 1 x - 1 2 3 d x + l i m r 1 + r 2 1 x - 1 2 3 d x

A integral indefinida é

1 x - 1 2 3 d x = 3 x - 1 3 + C

Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo e aplicando os limites:

0 t 1 x - 1 2 3 d x =   3 t - 1 3 - 3 0 - 1 3 =   3 t - 1 3 - 3 - 1 3

lim t 1 - 0 t 1 x - 1 2 3 d x = l i m t 1 -   3 t - 1 3 - 3 - 1 3 = 0 + 3 = 3

A outra integral vai ser bem parecida:

r 2 1 x - 1 2 3 d x = 3 2 - 1 3 - 3 r - 1 3 =   3 1 3 - 3 r - 1 3

l i m r 1 + r 2 1 x - 1 2 3 d x = l i m r 1 + 3 1 3 - 3 r - 1 3 = 3 - 0 = 3

Juntando as duas:

lim t 1 - 0 t 1 x - 1 2 3 d x + l i m r 1 + r 2 1 x - 1 2 3 d x = 6

Como os dois limites existem, essa integral imprópria é convergente e podemos escrever:

0 2 1 x - 1 2 3 d x = 6

Deu pra pegar a ideia? Então agora é mão na massa!

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Soma de Riemann

Soma de Riemann pela Esquerda e pela Direita

Nós vimos no início de integral que usamos retângulos para aproximar as integrais.

Tínhamos que a integral era o limite da soma de Riemann quando pegávamos os retângulos bem pequenos em grande quantidade.

lim n S n = a b f x d x

Agora vamos aprender a escrever a soma de Riemann em si, ou seja, aquele S n .

Temos que ir atrás da soma dos retângulos!

Voltando com o exemplo que vimos no início de integral

Nesse caso, queremos calcular a área embaixo da função f x = x 2 entre x = 0,6 e x = 1,4 .

Vimos que podemos pegar quantos retângulos quisermos, depende só se pegamos os retângulos por cima ou por baixo, ou seja, por retângulos maiores que a área ou por retângulos menores que a área.

Na verdade, podemos ver esses retângulos de outra forma, que são por retângulos à esquerda e retângulos à direta. Agora embolou a parada toda né?

Vamos rever as duas situações que pegamos. Se liga que o intervalo vai de 0,6 à 1,4 .

A primeira coisa que vamos fazer é descobrir essa base, na figura temos 4 retangulos, então a base vai ser

B a s e = 1,4 - 0,6 4 = 0,8 4 = 0,2

Costumamos usar Δ x para representar essa base.

Para achar a área dos retângulos falta agora a sua altura.

Na primeira figura, o retângulo tem a altura sendo a função no início dessa base, por exemplo:

A altura do primeiro é f 0,6 , a altura do segundo é f 0,8 , a do terceiro é f 1 e do quarto é f 1,2 .

A área de cada retângulo vai ser

Á r e a   P r i m e i r o f 0,6 0,2 Á r e a   S e g u n d o f 0,8 0,2 Á r e a   T e r c e i r o f 1 0,2 Á r e a   Q u a r t o f 1,2 0,2

Aqui a nossa soma de Riemann vai ser

S 4 = f 0,6 0,2 + f 0,8 0,2 + f 1 0,2 + f 1,2 0,2

Mas essa soma foi para 4 retângulos, como fazemos para n ? Temos que mudar a base e os valores da função

Δ x = 1,4 - 0,6 n = 0,8 n

Beleza, mas e as alturas dos retângulos? A primeira vai ser f 0,6 mesmo, a próxima eu tenho que somar Δ x no 0,6 e fazer de novo. Ficando

Á r e a   P r i m e i r o f 0,6 0,8 n Á r e a   S e g u n d o f 0,6 + 0,8 n 0,8 n Á r e a   T e r c e i r o f 0,6 + 2 0,8 n 0,8 n Á r e a   Q u a r t o f 0,6 + 3 0,8 n 0,8 n Á r e a   n - é s i m o f 0,6 + n - 1 0,8 n 0,8 n

S n = f 0,6 0,8 n + f 0,6 + 0,8 n 0,8 n + + f 0,6 + ( n - 1 ) 0,8 n 0,8 n

Temos que substituir a função f x = x 2 aqui, mas como estamos só mostrando as contas vou deixar com f mesmo. A soma é essa coisa horrível mesmo, mas só com exercício que vamos ficar craques nisso.

Essa fórmula pode ser escrita de forma geral, queremos a soma de Riemann de a à b de f x :

Primeiro o valor de Δ x

Δ x = b - a n

Agora a soma

S n = f x 0 Δ x +   f x 1 Δ x + f x 2 Δ x + f x 3 Δ x + + f x n - 1 Δ x

Onde

x i = a + i Δ x

Aqui começamos com i = 0 e terminando com i = n - 1 .

Repara que para as alturas dos retângulos usamos f x no início do retângulo, ou seja, na sua esquerda. Isso é o que chamamos de Soma de Riemann pela esquerda.

Fazendo umas contas bem parecidas conseguimos chegar na fórmula da Soma de Riemann pela direita. Vamos deixar bem arrumadinho aqui para te ajudar

Primeiro Δ x

Δ x = b - a n

Soma de Riemann pela esquerda

Agora a soma

S n = f x 0 Δ x +   f x 1 Δ x + f x 2 Δ x + f x 3 Δ x + + f x n - 1 Δ x

Onde

x i = a + i Δ x

Aqui começamos com i = 0 e terminando com i = n - 1 .

Soma de Riemann pela direita

S n =   f x 1 Δ x + f x 2 Δ x + f x 3 Δ x + + f x n Δ x

Onde

x i = a + i Δ x

Aqui começamos com i = 1 e terminando em i = n .

Escrevendo a soma de Riemann pelo Símbolo de Somatório

Uma forma que pode aparecer na sua prova é essa soma com o somatório.

Vamos começar entendendo esse símbolo

i = 0 n i 2

Esse símbolo representa a soma de alguns termos. Esses termos são dados pela fórmula nele, e variando os índices de i = 0 à n . Seria

i = 0 n i 2 = 0 2 + 1 2 + 2 2 + + n 2

Agora vamos escrever a soma de Riemann por somatório:

Soma pela esquerda

S n = i = 0 n - 1 f a + i Δ x Δ x

Soma pela direita

S n = i = 1 n f a + i Δ x Δ x

Qual das somas escolher?

Bem aqui precisamos de um detalhe importante, uma das somas vai ter valor maior que a Integral, enquanto a outra vai ter valor menor. Para sabermos isso temos que prestar atenção se a função é crescente ou não

Sempre que tivermos uma função crescente a ordem vai ser essa

S d i r e i t a > A > S e s q u e r d a

Quando tivermos uma função decrescente essa ordem vai ser invertida

S e s q u e r d a > A > S d i r e i t a

Beleza?

Escolher pela esquerda ou direita depende do que o problema pede e da função que você tem.

Partiu exercícios?

Achando a Integral pela Soma de Riemann

Aqui vamos ver como converter o somatório da soma de Riemann em integral!!

Vamos ver um exemplo

Dada o seguinte limite da soma de Riemann

lim n + S n = lim n + i = 1 n i 4 n 5

Transforme na integral equivalente e calcule o valor da integral no intervalo 0,1 .

A primeira coisa é entender bem essa soma de Riemann. Ele deu o intervalo de integração, logo ele deu o a e o b . Então podemos achar Δ x

Δ x = 1 - 0 n = 1 n

A nossa soma é

S n = i = 1 n i 4 n 5

O cara dentro do somatório pode ser achado sempre por

f a + i Δ x Δ x

Então precisamos ter

f a + i Δ x Δ x = i 4 n 5

Vamos trocar os valores de a , b e Δ x

f 0 + i n 1 n = i 4 n 5

Aqui temos que procurar relações para achar o que falta para a integral, nesse exemplo é f x , mas podia ser o intervalo de integração também.

Temos

f i n = i 4 n 4

Agora vamos chamar o cara dentro da f de x ,

i n = x i = x n

Assim a nossa função vai ser

f x = x 4 n 4 n 4 = x 4

E pronto, temos a nossa função f x

Ufa, coisa a vera, mas achamos o valor da função, agora é só integrar e correr para o abraço

lim n + S n = lim n + i = 1 n i 4 n 5 = 0 1 x 4 d x

A integral vai ficar

0 1 x 4 d x = x 5 5 x = 0 1 = 1 5 5 - 0 5 5 = 1 5

É basicamente isso que vamos precisar fazer nesses casos, vamos repassar o passo a passo

Passo 1 – Achar Δ x em função de a , b e n

Passo 2 – Fazer f a + i Δ x Δ x igual ao valor dentro do somatório, substituindo a , b e Δ x que tivermos.

Passo 3 – Procurar relações para encontrar os valores que faltam para a integral

Passo 4 – Resolver a Integral

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Problemas de Valor Inicial

O que são Problemas de Valor Inicial?

Um problema de valor inicial está quase sempre na forma: d y d x = 2 x + 1 y 0 = 5

E pede a expressão de y . Ou seja, temos:

  • A expressão para derivada.
  • O valor da função num ponto.

E queremos a expressão da função.

Resolvendo um problema de valor inicial

Vamos resolver o problema de valor inicial, ou PVI, para os íntimos, que vimos agora a pouco:

d y d x = 2 x + 1 y 0 = 5

Queremos y x , e temos sua derivada: d y d x = y ' x = 2 x + 1

Pra achar y x , temos que fazer a operação inversa da derivação, ou seja, integrar!

Primeiramente, vamos deixar cada infinitesimal num lado da equação:

d y d x = 2 x + 1 d y = 2 x + 1 d x

Agora, aplicamos a integral em cada lado:

d y = 2 x + 1 d x d y = 2 x + 1 d x

Vamos ver cada integral separadamente. A da esquerda vai dar: d y = 1 d y = y + C 1

Nada de esquecer a constante hein!!

E a integral da direita é: 2 x + 1 d x = x 2 + x + C 2

Substituindo: y + C 1 = x 2 + x + C 2

Isolando y : y = x 2 + x + C 2 - C 1

Para ficar mais elegante, podemos chamar C 2 - C 1 de C :

y x = x 2 + x + C

Veja que já temos uma expressão geral para y . Para chegar no resultado final, usamos a segunda informação do problema: o valor inicial:

y 0 = 5

Nesse ponto, temos:

y 0 = 0 2 + 0 + C = 5

C = 5

Substituindo, ficamos com: y x = x 2 + x + 5

Ou seja, o valor de y num ponto serve justamente para identificar o valor constante para a expressão encontrada que satisfaça as condições do problema.

Legal? Vamos para os exercícios para fixar bem isso!

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Exercícios Passo a Passo

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Enunciado

Considere o seguinte gráfico da função f

Sabendo que as áreas das regiões R 1 , R 2 , R 3 , R 4 e R 5 são:

A R 1 = 4 5 ,   A R 2 = 1 ,   A R 3 = 2 3 ,   A R 4 = 3 4   e   A R 5 = 5 6 .

Calcule:

- 1 0 f t d t

0 2 f t d t

0 3 f t d t

Resolução

Enunciado

Se - 2 2 3   f x d x = 12 , - 2 5 3   f ( x ) d x =   6 e - 2 5 3 g ( x ) d x = 2 , determine:

a )   - 2 2 f x d x

b )   2 5   f ( x ) d x

c )   5 - 2 g ( x ) d x

d )   - 2 5 ( - π   g x ) d x

e )   - 2 5 f x +   g x 5 d x

Resolução

Enunciado

Escreva como uma integral única na forma a b f x d x :

- 2 2 f ( x ) d x + 2 5 f ( x ) d x - - 2 - 1 f ( x ) d x

Resolução

Enunciado

Sabendo que f ( x ) , g ( x ) e h ( t ) são contínuas para todos os reais e sendo válidas as expressões abaixo:

- 1 3 f ( x ) d x = 17 2

- 1 2 f ( x ) d x = 1 2

3 2 g ( x ) d x = 4

h t = 2 t 2 + 7 t + 15 f ( x ) d x

Calcule:

a)

2 3 2 f x + 3 g x d x

b)

h ( - 3 )

Resolução

Enunciado

Use as propriedades das integrais para verificar a desigualdade sem calcular as integrais.

2 - 1 1 1 + x 2 d x 2 2

Resolução

Enunciado

Calcular a derivada:

d 1 x 3 t 2 + 1 3 d t d x

Resolução

Enunciado

Seja

f x = x 2 1 1 + t 4 d t

É dado que

1 2 1 1 + t 4 d t = 0,2

  1. Determine f ' 1
  2. Ache a área do triangulo limitado pelos eixos e pela reta tangente ao gráfico de f no ponto 1 , f 1 .

Resolução

Enunciado

Seja

F x = sen x cos x e 2 x + t 2 d t

Calcule F ' x e determine F ' π 4 .

Resolução