Resumão Completo

O que é Integral?

A Integral como Área

Esse é um capítulo bem importante para entendermos o conceito de Integrais.

Basicamente, uma Integral representa o valor de uma área.

Tem algumas áreas que conseguimos fazer de boa, como essas aqui debaixo:

Agora, você não deve fazer ideia de como calcular a área disso:

Nesse caso, queremos calcular a área embaixo da função f x = x 2 entre x = 0,6 e x = 1,4 .

Podemos estimar a área A , calculando uma área aproximada, usando retângulos do seguinte modo:

Dá pra perceber que a soma das áreas dos retângulos é menor que a área azul A (repare nas sobras dos retângulos).

Podemos, com os retângulos, encontrar uma estimativa para cima (maior que A ), assim:

Agora, eu posso ver que a primeira estimativa é menor que o resultado certinho dessa área e a última é maior.

Agora, dá uma olhada nesses desenhos

Saca aqui: concorda que o espaço entre o gráfico e os retângulos diminui muito conforme eu aumento o número de retângulos? A ideia é que se eu colocar infinitos retângulos, eu terei exatamente a área A . Portanto, a soma dos n retângulos é denotada por S n e pelo que eu expliquei temos que:

A = lim n S n

A integral vai ter exatamente essa ideia: partir o eixo x em pedacinhos, traçar retângulos e somar a área desses retângulos. Conforme aumentamos o número de retângulos, nos aproximamos mais da área. Assim, escrevemos o seguinte

A = lim n S n = 0,6 1,4 x 2 d x

Onde S n é a soma daqueles retângulos, essa soma é a Soma de Riemann.

Estamos integrando x 2 de 0,6 à 1,4 , é isso que significa essa notação, o cara embaixo é o início do intervalo, nesse caso o 0,6 . O cara em cima é o final do intervalo, no caso 1,4 .

Notação

Vamos entender essa notação de integral de forma mais geral:

a b f ( x ) d x

f ( x ) é chamado de integrando que é a função que queremos a área

a é o limite inferior, que é onde começa o intervalo que queremos a área

b é o limite superior, que é onde termina o intervalo que queremos a área; d x mostra que estamos integrando na variável x (se fosse d t , por exemplo, estaríamos integrando em t ).

A Integral Definida resulta em um número, um valor. Essa integral acontece quando os limites de integração são números também, ou seja, na maioria dos casos.

Sinal da Integral

Esse é um pedaço tranquilo da matéria que pode se tornar problemático se não estiver bem batido. A integral representa, como já conversamos, uma área. Agora, ela é algo como uma área “negativa” se estiver abaixo do eixo x . Acompanha aqui:

As integrais podem ter valores positivos e negativos! Quando a função está abaixo do eixo x , a integral é negativa! Quando a função está acima do eixo x , a integral é positiva! Portanto, temos que ter cuidado se quisermos calcular áreas e não integrais. Por exemplo:

a c f ( x ) d x > 0 A rosa = a c f ( x ) d x

c b f ( x ) d x < 0 A azul = - c b f ( x ) d x

Repare:

a b f ( x ) d x = A rosa - A azul     e NÃO    A r o s a + A a z u l

Propriedades das Integrais

Existem algumas propriedades das integrais que são bastante importantes e é essencial que elas estejam no sangue, porque você vai ter que usá-las o tempo todo. Mas não se preocupe, são relações bem simples e, logo, logo, você estará usando sem nem sentir!

Propriedade 1:

Essa propriedade diz que a integral da soma ou subtração de funções é a soma ou subtração das integrais:

a b [ f x ± g x ] d x = a b f ( x ) d x ± a b g ( x ) d x

Por exemplo:

0 1 cos x + e x d x = 0 1 cos x d x + 0 1 e x d x

Propriedade 2: A integral de uma função vezes uma constante é igual à integral daquela função multiplicada pela constante.

a b   c   f x d x = c a b   f x d x ,   onde   c   é uma constante qualquer

Em outras palavras, a constante pode ser colocada “para fora” da integral. Olha aqui um exemplo disso

0 1 3 cos x d x = 3 0 1 cos x d x

Propriedade 3: Quando uma integral tem limites superior e inferior iguais seu resultado é nulo:

a a f x d x = 0

Propriedade 4:

A integral de uma função constante, f x = c é dada por:

a b c d x = c b - a ,     onde   c   é uma constante qualquer

Se c > 0, veja que a integral é a área A . Agora como essa área é um retângulo a gente vai ter que:

a b c d x = A = c ( b - a )

Se c

a b c d x = -   A = - c ( b - a )

Exemplo:

A = 2   . 3 = 6

Como f x = - 3 está abaixo do eixo x , temos:

2 4 - 3 d x = - A = - 6

Propriedade 5: Ao trocar os limites de integração inferior e superior, troco o sinal da integral:

a b f ( x ) d x = - b a f x d x

Por exemplo

0 1 cos x d x = - 1 0 cos x d x

Propriedade 6:

a b f ( x ) d x + b c f ( x ) d x = a c f ( x ) d x

Para se lembrar dessa propriedade, pensa na interpretação de integral como área:

A 1 + A 2 = A t o t a l

a b f x d x = A 1

b c f x d x = A 2

a c f x d x = A t o t a l

O mais importante é que essa propriedade não depende de que a, b e c estejam em ordem, isto é, não importa que c seja maior que b. Se b for maior que c, a propriedade continua valendo. Veja esse exemplo aqui:

0 1 cos x d x - 2 1 cos x d x = 0 1 cos x d x - - 1 2 cos x d x = 0 1 cos x d x + 1 2 cos x d x

0 1 cos x d x - 2 1 cos x d x = 0 2 cos x d x

Propriedade 7:

  S e   f x 0   para   a x b ,   então   a b f ( x ) d x 0

Se   f x 0   para   a x b ,   então   a b f x d x 0

Para lembrar dessa propriedade, também facilita lembrar da interpretação como área.

  • Se f x é sempre maior que zero no intervalo [ a , b ] , então a integral será sempre igual à área da região delimitada naquele intervalo. Lembre-se que área é sempre um número positivo!
  • Por outro lado, se f x é sempre menor que zero naquele intervalo, a integral será sempre igual ao simétrico da área delimitada naquele intervalo. Como a área é sempre um número positivo, então a integral será um número negativo!

Propriedade 8:

Se   f x g x   para   a x b ,   então   a b f ( x ) d x a b g ( x ) d x

Novamente, pensando na integral como área, se f x está sempre acima de g x no intervalo [ a , b ] , então a área delimitada pela função f ( x ) naquele intervalo será maior que aquela delimitada pela função g ( x ) no mesmo intervalo!

Propriedade 9:

Para chegar a essa propriedade, vou tirar um conceito lá do fundo do baú. Lá do Teorema do Valor Extremo, sabemos que toda função contínua em um intervalo fechado possui um máximo e um mínimo absolutos naquele intervalo fechado.

Então, se tivermos uma função f ( x ) num intervalo fechado [ a , b ] e sabendo que o mínimo absoluto dessa função é m e o máximo é M , olha só o que temos:

m f x M ,   p a r a   t o d o   a x b

Vou representar agora isso num gráfico, para pensarmos em integral novamente com a interpretação de área.

Observe que a área hachurada é igual a:

A = m ( b - a ) (área de retângulo)

Portanto sabendo que a integral de f x no intervalo [ a , b ] corresponde à área abaixo dela e que f ( x ) é sempre maior ou igual a m nesse intervalo, vê se não podemos escrever o seguinte:

a b f x   d x m   ( b - a )

Agora, da propriedade 8, sabemos que:

Se   g x f x   para   a x b ,   então   a b g ( x ) d x a b f ( x ) d x

Nesse caso, imaginemos g x como M :

M ( b - a ) a b f x

Juntando as duas coisas, teremos:

S e   m f x M ,   p a r a   t o d o   a x b   m   ( b - a ) a b f x M ( b - a )

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Teorema Fundamental do Cálculo

O Teorema Fundamental do Cálculo é super importante (afinal ele é o teorema “fundamental” do Cálculo todo!).

A primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo diz o seguinte:

Se f t é uma função contínua em [ a , b ] e

g x = a x f ( t ) d t                 a x b

Então g ( x ) também é contínua no intervalo [ a , b ] e:

g ' x = f x ,     n o   i n t e r v a l o   [ a , b ]

Parece grego? Calma, olha essa função g x :

g   x = 1 x e t 2 d t

A função dentro da integral, que é exponencial, é contínua. Logo, eu posso utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo para achar sua derivada.

Vamos comparar com a integral do teorema.

Aqui

f t = e t 2

Aplicando o teorema, a g ' x vai ser

g ' x = f x

Agora, é só trocar o t por x na f :

g ' x = f x = e x 2

Se liga que não importa o limite inferior, pode ser qualquer constante.

E se aparecer uma função no limite de integração?

Vamos agora derivar

h   x = 1 sen x e t 2   d t

Aqui temos aquele sen x ao invés de x . Como fazemos agora?

Vamos chamar aquela função de u x = sen x

h   x = 1 u x   e t 2   d t

Se considerarmos a integral,

g x = 1 x e t 2 d t

Temos

h x = g u x

Derivando isso, usando a regra da cadeia temos

h ' x = g ' u x u ' x

Pelo teorema,

g ' x = e x 2

g ' u x = e sen 2 x

E

u ' x = cos x

Ou seja:

h ' x = e sen 2 x cos x

Tranquilo? De forma geral é só fazer:

h x = a u ( x ) f ( t ) d t  

h ' x = f u x   u ' ( x )  

E se aparecerem DUAS funções nos limites de integração?

Você pode se deparar com alguma função do tipo

f x = e x 2 x ( ln t 2 ) d t

Observe que os dois limites de integração são funções de x . Então vamos dividir a integral da seguinte forma:

f x = e x 2 x ( ln t 2 ) d t = e x C ln t 2 d t + C 2 x ( ln t 2 ) d t

Onde C é uma constante qualquer.

O problema é que na primeira integral o limite superior que é uma constante. Pra corrigir isso vamos malandramente aplicar aquela propriedade da integral de inverter os limites de integração:

e x C ln t 2 d t = - C e x ln t 2 d t

Então a função vai ficar:

f x = e x 2 x ( ln t 2 ) d t = - C e x ln t 2 d t +   C 2 x ( ln t 2 ) d t

Depois é só resolver como vimos lá em cima! Show?

Regra de L’Hospital

Cara, pode parecer bruxaria, mas muitas vezes o professor pede para calcular esse limite aqui:

lim x 0 1 x 0 sen x e t 2   d t

Antes de chamar o chapolin, deixa eu te ajudar!

A gente já viu uma propriedade da integral que diz o seguinte

a a f x d x = 0

Ou seja, se os limites forem iguais a integral vale zero! Como o seno de zero é zero, temos que o numerador será zero. Por coincidência (ou não xD), o denominador também será zero.

Momento reação bovina: hmmmm... Numerador e denominador indo para zero. O que isso te lembra?? Isso mesmo, regra de L’Hospital!

Então, vamos ter que derivar em cima e embaixo. Ai que vem o nosso truque novo: como deriva a integral? Do jeitinho que te ensinei ali em cima.

Então vamos ficar com

lim x 0 0 sen x e t 2   d t x = lim x 0 0 sen x e t 2   d t ' ( x ) ' = lim x 0 e sen x 2 cos x = 1  

Pronto! É só correr pro abraço e fazer umas questõezinhas para treinar, combinado?

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Anti-Derivação

O que é antiderivada?

Se eu te pedir a derivada dessa função aqui:

f x = cos x + 3 x - 2

Melzinho na chupeta né?

Mas e se eu te pedir uma função cuja derivada é f x ? Aí já complica um pouco. Aqui vamos ver como resolver esse tipo de problema.

Mas primeiro vamos dar nome aos bois. Basicamente, uma função   F é uma antiderivada ou primitiva de uma função f em um intervalo qualquer se, para todo x desse intervalo:

F ' x = f x

Ok, mas o que são integrais indefinidas?

A integral indefinida é uma notação usada para a primitiva. Escrevemos assim, ó:

f x d x =   F x + C

Esse símbolo   significa que estou procurando as antiderivadas ou a integral indefinida de f ( x ) .

Esse C ali no fim é a constante de integração. Ele aparece porque a derivada de qualquer constante é zero, então:

F x + C ' = F ' x + 0 = F ' x = f x

Não se esqueça do C !! Por causa dele, a integral indefinida de f x não é só uma função F x , e sim uma família de funções da forma F x + C , como a da foto aqui embaixo:

A única diferença entre as funções é o valor da constante, mas a derivada de todas elas é a mesma: f x .

Por isso há uma grande diferença entre integrais indefinidas e as definidas:

Agora vamos ver na prática como faz pra achar essas integrais!

Integrando funções trigonométricas

1)

  s e n   x ' = cos x cos x d x = s e n   x + C

(sou chato então vou relembrar: nunca, em hipótese alguma, esqueça a constante C quando estiver trabalhando com uma integral indefinida!)

2)

  - cos x ' = sen x s e n x d x = - c o s   x + C

3)

  s e c   x   ' = sec x t g   x sec x tg x d x = s e c   x + C

4)

  t g   x ' = sec 2 x sec 2 x d x = t g   x + C

5)

- c o t g   x ' = cossec 2 x cossec 2 x   d x = - c o t g   x + C

6)

- c o s s e c   x   ' = c o s s e c   x   c o t g   x cossec x cotg x d x = - c o s s e c   x + C

Tem três que são um pouco mais difíceis de deduzir, mas que também são importantes de saber:

7)

tg x d x = ln sec x + C

8)

sec x d x = ln | sec x + tg x | + C

9)

cossec x d x = - ln cossec x + cotg x + C

Integrando polinômios

1 n + 1 x n + 1 ' = x n x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Detalhe que n não precisa nem ser inteiro!

Só temos um caso especial, quando n = - 1 :

x - 1 d x = 1 x d x = ln x + C

Integrando funções exponenciais

1)

  e x ' = e x e x d x = e x + C

2)

a x l n   a ' = a x a x d x = a x ln a + C

Integrando funções trigonométricas inversas

1)

a r c s e n   x ' = 1 1 - x 2 1 1 - x 2 d x = a r c s e n   x + C

2)

a r c t g x ' = 1 x 2 + 1 1 x 2 + 1 d x = a r c t g   x + C

Pronto, chegamos ao fim! :)

E aí, pronto para treinar e não esquecer mais essas primitivas? Ó, e não vale fazer que nem o Pedrinho que decorou todas as primitivas mas esqueceu da constante!

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Substituição Simples

Já vimos que, pra calcular integrais, precisamos conhecer as primitivas das funções. Mas e se eu te lanço essa integral daqui, como calcula??

x 2 5 + x 3 d x