Resumão Completo

Anti-Derivação

O que é antiderivada?

Se eu te pedir a derivada dessa função aqui:

f x = cos x + 3 x - 2

Melzinho na chupeta né?

Mas e se eu te pedir uma função cuja derivada é f x ? Aí já complica um pouco. Aqui vamos ver como resolver esse tipo de problema.

Mas primeiro vamos dar nome aos bois. Basicamente, uma função   F é uma antiderivada ou primitiva de uma função f em um intervalo qualquer se, para todo x desse intervalo:

F ' x = f x

Ok, mas o que são integrais indefinidas?

A integral indefinida é uma notação usada para a primitiva. Escrevemos assim, ó:

f x d x =   F x + C

Esse símbolo   significa que estou procurando as antiderivadas ou a integral indefinida de f ( x ) .

Esse C ali no fim é a constante de integração. Ele aparece porque a derivada de qualquer constante é zero, então:

F x + C ' = F ' x + 0 = F ' x = f x

Não se esqueça do C !! Por causa dele, a integral indefinida de f x não é só uma função F x , e sim uma família de funções da forma F x + C , como a da foto aqui embaixo:

A única diferença entre as funções é o valor da constante, mas a derivada de todas elas é a mesma: f x .

Por isso há uma grande diferença entre integrais indefinidas e as definidas:

Agora vamos ver na prática como faz pra achar essas integrais!

Integrando funções trigonométricas

1)

  s e n   x ' = cos x cos x d x = s e n   x + C

(sou chato então vou relembrar: nunca, em hipótese alguma, esqueça a constante C quando estiver trabalhando com uma integral indefinida!)

2)

  - cos x ' = sen x s e n x d x = - c o s   x + C

3)

  s e c   x   ' = sec x t g   x sec x tg x d x = s e c   x + C

4)

  t g   x ' = sec 2 x sec 2 x d x = t g   x + C

5)

- c o t g   x ' = cossec 2 x cossec 2 x   d x = - c o t g   x + C

6)

- c o s s e c   x   ' = c o s s e c   x   c o t g   x cossec x cotg x d x = - c o s s e c   x + C

Tem três que são um pouco mais difíceis de deduzir, mas que também são importantes de saber:

7)

tg x d x = ln sec x + C

8)

sec x d x = ln | sec x + tg x | + C

9)

cossec x d x = - ln cossec x + cotg x + C

Integrando polinômios

1 n + 1 x n + 1 ' = x n x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Detalhe que n não precisa nem ser inteiro!

Só temos um caso especial, quando n = - 1 :

x - 1 d x = 1 x d x = ln x + C

Integrando funções exponenciais

1)

  e x ' = e x e x d x = e x + C

2)

a x l n   a ' = a x a x d x = a x ln a + C

Integrando funções trigonométricas inversas

1)

a r c s e n   x ' = 1 1 - x 2 1 1 - x 2 d x = a r c s e n   x + C

2)

a r c t g x ' = 1 x 2 + 1 1 x 2 + 1 d x = a r c t g   x + C

Pronto, chegamos ao fim! :)

E aí, pronto para treinar e não esquecer mais essas primitivas? Ó, e não vale fazer que nem o Pedrinho que decorou todas as primitivas mas esqueceu da constante!

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Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5 6

Enunciado

Calcule:

4 t 2 + cos t + 1 t d t

Resolução

Enunciado

Calcule a integral abaixo

e 2 x - 3 e x e x d x

Resolução

Enunciado

Ache a integral indefinida geral.

sec t sec t - tg t d t

Resolução

Enunciado

Calcule a integral abaixo

1 - x 2 1 - x 2 d x

Resolução

Enunciado

Calcule a integral abaixo

2 - s s d s

Resolução

Enunciado

Calcule as integrais:

( d ) x 2 - 3 2 x d x

Resolução

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