Resumão Completo

Frações Parciais

Quando usar o Método de Integração por Frações Parciais?

Primeiro: só use esse método se não der de jeito nenhum pra aplicar alguma substituição simples ou trigonométrica!

Dito isso, usamos esse método pra integrar uma divisão de polinômios, onde o grau do numerador é menor que o do denominador.

Como nessas integrais aqui embaixo:

x + 3 x 2 - x + 3 d x   ,   4 x x 3 - 2 x 2 + x + 3 d x ,   x 2 + 5 x ( x 5 + 1 ) d x

O grau de um polinômio é simplesmente o seu maior expoente:

x + 3 g r a u   1

x 2 - x + 3 g r a u   2

x 3 - 2 x 2 + x + 3 g r a u   3

x x 5 + 1 x 6 + x g r a u   6

Ok? Grau do numerador sempre menor pra mandar frações parciais!

Vejamos um exemplo pra responder a pergunta do Patrick:

x 7 - 1 x 2 + 3

Passo 1: Dividimos o termo x com maior expoente do numerador pelo termo x com maior expoente do denominador:

x 7 x 2 = x 5

Passo 2: Multiplicamos a resposta pelo denominador:

x 5 x 2 + 3 = x 7 + 3 x 5

Passo 3: Diminuímos o numerador pelo resultado obtido acima:

x 7 - 1 - x 7 + 3 x 5 = - 3 x 5 - 1

Passo 4: Chegamos a uma nova divisão, escrevendo o que achamos no passo 1 mais o que achamos no passo 3 , colocando essa soma sobre o denominador:

x 7 - 1 x 2 + 3 = x 5 + - 3 x 5 - 1 x 2 + 3

Caso o grau do polinômio do numerador continue maior que o grau do polinômio do denominador, só aplicar o passo a passo de novo na nova fração.

Desmembrando em Frações Parciais

Caso 1: Os fatores do denominador são todos lineares (1º grau) e com raízes distintas

Vamos desmembrar em frações parciais a seguinte expressão:

x - 5 x 2 - x - 2

É uma divisão de polinômios, sendo que o grau do numerador (1) é menor que o do denominador (2), então tudo ok. Fatorando o denominador, fica:

x - 5 x - 2 x + 1

Esses termos x - 2 e x + 1 que são os fatores do denominador. São 2 fatores do 1º grau, com 2 raízes distintas ( 2 e - 1 ).

A ideia é escrever a expressão assim, ó:

x - 5 x - 2 x + 1 =   A x - 2 + B x + 1

Onde A   e B são constantes.

Pra determinar A e B , vamos botar tudo no mesmo denominador e comparar os 2 lados da equação:

x - 5 x - 2 x + 1 =   A x + 1 + B x - 2 x - 2 x + 1

x - 5 x - 2 x + 1 = A x + A + B x - 2 B x - 2 x + 1

x - 5 x - 2 x + 1 = A + B x + A - 2 B x - 2 x + 1

Comparando, temos:

x - 5 = A + B x + A - 2 B

A + B = 1 A - 2 B = - 5 A = - 1 B = 2  

#HoraDoBizu

Existe um macete que facilita as contas e ainda diminui a chance de erro.

Nesse exemplo específico nem ajudaria tanto, porque ele é bem simples, mas a ideia é: na hora que chegar na equação

x - 5 = A + B x + A - 2 B

substituir os valores de x iguais às raízes dos polinômios, para ir zerando os termos. Nesse caso nossas raízes são 2 e - 1 .

Pra x = 2 :

2 - 5 = A + B 2 + A - 2 B

- 3 = 2 A + 2 B + A - 2 B

3 A = - 3

A = - 1

E pra x = - 1 :

- 1 - 5 = A + B - 1 + A - 2 B

- 6 = - A - B + A - 2 B

- 6 = - 3 B

B = 2

Gostou do macetinho? Fala sério: não facilita muito?? :)

Enfim, com ou sem macete, chegamos à conclusão que:

x - 5 x 2 - x - 2 = x - 5 x - 2 x + 1 = -   1 x - 2 + 2 x + 1

Usando isso pra calcular a integral:

x - 5 x 2 - x - 2 d x = - 1 x - 2 d x + 2 1 x + 1 d x

= - ln x - 2 + 2 ln x + 1 + C

Se quiser deixar isso mais bonitinho usando propriedade do logaritmo, fique à vontade, mas se deixar assim também tá show.

Ah, só mais um bizu! (que vai te ajudar muito em frações parciais):

A x - b d x = A ln x - b + C

Caso 2: Os fatores do denominador são todos do 1º grau e alguns fatores se repetem (aparecem raízes múltiplas)

Agora vamos ver como desmembrar em frações parciais expressões desse tipo:

x x - 1 x + 1 2

O polinômio do denominador tem uma raiz única x = 1 e uma raiz múltipla x = - 1 .

Vamos fazer o seguinte:

x x - 1 x + 1 2 =   A x - 1 + B x + 1 + C x + 1 2

Depois é só conta, trabalho braçal: botar tudo no mesmo denominador, montar e resolver o sistema...

Agora, saca só essa outra aqui:

x x - 1 x + 1 3 = A x - 1 + B x + 1 + C x + 1 2 + D x + 1 3

Deu pra pegar a ideia? Uma última pra não restar dúvida:

x + 2 x + 1 10 = A x + 1 + B x + 1 2 + + I x + 1 9 + J x + 1 10

Caso 3: Os fatores do denominador são lineares e quadráticos irredutíveis (e os fatores quadráticos não se repetem)

E se quiséssemos calcular:

3 x 2 - 7 x + 5 x ( x 2 - 4 x + 5 ) d x

Aliás, reparou que estamos começando a encarar umas integrais mais casca grossa, né?

No denominador tem um termo linear: x . O outro termo, x 2 - 4 x + 5 , é o que eu vou chamar de fator quadrático irredutível. Isso só significa que não tem como simplificar ele, não dá pra fatorá-lo em termos de fatores lineares, do tipo x + a x + b ou x + a 2 .

E uma maneira bem simples de testar se um termo quadrático é irredutível é calculando o discriminante (famoso Δ ) e testando se ele é negativo. Nesse nosso exemplo, temos

x 2 - 4 x + 5 Δ = - 4 2 - 4.1 . 5

= 16 - 20 = - 4 < 0

Pronto, deu negativo, então x 2 - 4 x + 5 é um fator quadrático irredutível.

Ok, agora que vimos o que isso significa, vejamos como desmembrar nosso integrando lá em frações parciais:

3 x 2 - 7 x + 5 x ( x 2 - 4 x + 5 ) = A x + B x + C x 2 - 4 x + 5

Opa, reparou a diferença?

Na fração correspondente ao termo quadrático, em vez de só um constante B , apareceu um termo B x + C , beleza?

#HoraDoBizu

Se o b do fator quadrático irredutível a x 2 + b x + c for diferente de zero, que nem no nosso exemplo ( b = - 4 0 ), então a boa é escrever a fração parcial correspondente assim:

A 2 a x + b +   B a x 2 + b x +   c

Observa que o termo ( 2 a x + b ) é a derivada do polinômio de baixo.

Eu sei que parece um pouco aleatório, mas acredite: isso facilita muito depois na hora de calcular as integrais. Confia em mim, eu sou legal!

Então vamos fazer

3 x 2 - 7 x + 5 x x 2 - 4 x + 5 = A x + B [ x 2 - 4 x + 5 ) ' + C   x 2 - 4 x + 5

3 x 2 - 7 x + 5 x x 2 - 4 x + 5 = A x + B ( 2 x - 4 ) + C   x 2 - 4 x + 5

Depois disso, o procedimento é o mesmo: montar o sistema, resolver, etc. etc.

Caso 4: Os fatores do denominador são lineares e quadráticos e alguns fatores quadráticos se repetem

Esse caso meio que mistura tudo que vimos até aqui. Vamos ver integrais do tipo:

x - 2 x x 2 - 4 x + 5 2 d x

O termo quadrático x 2 - 4 x + 5 no denominador é irredutível.

Montando as frações parciais:

x - 2 x x 2 - 4 x + 5 2 = A x + B x + C   x 2 - 4 x + 5 + D x + E   x 2 - 4 x + 5 2

E assim como pro caso 2, se aparecesse um cubo no denominador por exemplo, teríamos:

x - 2 x x 2 - 4 x + 5 3 = A x + B x + C   x 2 - 4 x + 5 + D x + E   x 2 - 4 x + 5 2 + F x + G x 2 - 4 x + 5 3

E assim por diante.

Observação: nesse exemplo podia usar aquele macete de botar a derivada do polinômio do denominador no lugar do x , tá? Só não usei pra não misturar coisa demais e ficar confuso.

Enfim, deu pra ver que frações parciais é um método trabalhoso né? Pra ficar afiado nisso tem que treinar bastante! ;)

Expandir

Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5 6 7

Enunciado

h   x 2 5 x - x 2 d x

Resolução

Enunciado

Avalie a integral

x 2 - x + 6 x 3 + 3 x d x

Resolução

Enunciado

Avalie a integral

x 4 + 1 x x 2 + 1 2 d x

Resolução

Enunciado

Calcule as integrais abaixo:

ln x 3 + 1 x 3 d x

Resolução

Enunciado

Calcule as seguintes integrais:

a   d x x + 1 x + 5

Resolução

Enunciado

Calcule a integral indicada, fazendo uma substituição do tipo x = y n

2 x 1 + x 3 d x

Resolução

Enunciado

Calcule a integral

cosh x sinh x + 4 cosh x sinh x 2 - sinh x - 2 d x

Resolução

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