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Integração por Partes

Quando integrar por partes?

Esse método é recomendado quando temos um produto de funções de tipos diferentes (logarítmica, inversa, polinomial, trigonométrica, exponencial, ...), sendo uma delas fácil de integrar e a outra mais fácil de derivar.

Para que você entenda de onde ele nasce, o método da integração por partes vem da Regra do Produto na derivação. Lembrando essa regra:

f x g x ' = f ' x g x + f x g ' x

Seja u = f ( x ) e v = g ( x ) . Então:

u v ' = d u   v + u   d v u   d v = u v ' - v   d u u d v = u v - v d u

Essa expressão é a “fórmula” da integração por partes. De novo:

u d v = u v - v d u

Agora para ter certeza de que você não vai esquecer:

u d v = u v - v d u

u d v = u v - v d u

u d v = u v - v d u

Gravou? Sério, esquece o dia do aniversário da sua mãe, mas não esquece isso aí.

Por exemplo, vamos calcular a integral

x e 2 x d x

Passo 1. Chamar uma parte da integral de u e outra de d v , de modo que o u seja o mais difícil de ser integrado. O macete é escolher o u nessa ordem: LIATE.

L logarítmica ( ln x )

I inversa trigonométrica ( arcsen x , arctg x ,   )

A algébrica (ou polinomial) ( x n )

T trigonométrica ( sen x , cos x , sec x , ...)

E exponencial ( e x )

Então, nesse caso:

u = x     ( a l g é b r i c a )

d v = e 2 x d x     ( e x p o n e n c i a l )

Passo 2. Calcular d u derivando u e calcular v integrando d v .

d u = 1   d x = d x

v = 1 2 e 2 x

Passo 3. Fazer u d v = u v - v d u

x e 2 x d x = x . 1 2 e 2 x - 1 2 e 2 x d x

Passo 4. Verificar como calcular a integral v d u . Se necessário, aplique a Integração por partes novamente nesse termo. Caso pareça que não vai dar em lugar nenhum, volte para o passo 1 e tente outro u e d v .

Nesse caso tá tranquilo, dá pra calcular diretamente esse nova integral que apareceu!

Passo 5. Calcular v d u e obter o resultado!

1 2 e 2 x d x = 1 2 1 2 e 2 x = 1 4 e 2 x x e 2 x d x = x 2 e 2 x - 1 4 e 2 x + C

Sem esquecer da constante, hein? :p

Observação: Para integrar a função ln x também usamos a integração por partes. Afinal, é como se eu tivesse um polinômio x 0 vezes a função logarítmica, beleza?

ln x d x = x 0 ln x   d x

Aí é só fazer o mesmo: chamar ln x de u e o polinômio 1 de d v ;)

Integral por partes com equação

Existem alguns casos em que você vai integrar por partes feliz da vida achando que tá abafando e de repente você vai voltar para a integral que você tinha no início e não vai entender nada, vai achar que está rodando em círculos. Mas é assim mesmo! :D

Um caso bem clássico é uma função exponencial multiplicada por uma função trigonométrica, por exemplo:

e 3 x sen 5 x d x

Nesses casos, você nem precisa se fixar tanto à regrinha do LIATE, qualquer uma das duas funções pode ser o u .

Vou chamar de u a função exponencial, ok?

u = e 3 x d u = 3   e 3 x d x

d v = sen 5 x d x v = - 1 5 cos ( 5 x )

Aplicando a fórmula, vai dar:

e 3 x sen 5 x d x = - 1 5 e 3 x cos 5 x + 3 5 e 3 x cos 5 x d x  

Observa que eu caí novamente numa integral que é o produto de uma função exponencial e de uma função trigonométrica:

e 3 x c o s   5 x d x

Então vamos integrar por partes novamente!

Um detalhe bem importante: agora não tem mais como escolher, temos que manter a escolha da primeira integração e chamar de u a função exponencial.

u = e 3 x d u = 3   e 3 x d x

d v = cos 5 x d x v = 1 5 s e n   ( 5 x )

Assim,

e 3 x c o s   5 x d x = 1 5 e 3 x   s e n   5 x - 3 5 s e n   5 x . e 3 x d x

Percebe que voltei para a mesma integral que eu tinha no enunciado e que era justamente a que eu queria resolver?

Relaxa que você não fez trabalho à toa! Vamos voltar à integral original e acompanha aqui comigo:

e 3 x s e n   5 x d x = - 1 5 e 3 x cos 5 x + 3 5 e 3 x cos 5 x d x  

e 3 x s e n   5 x d x = - 1 5 e 3 x cos 5 x + 3 5   1 5 e 3 x   s e n   5 x   - 3 5 s e n   5 x . e 3 x d x  

e 3 x s e n   5 x d x = - 1 5 e 3 x cos 5 x + 3 25   e 3 x   s e n   5 x   - 9 25 s e n   5 x . e 3 x d x  

Agora olha que lindo: eu posso simplesmente passar a integral que é igual à integral original para o outro lado, “isolando” a integral que eu quero resolver:

e 3 x s e n   5 x d x + 9 25 s e n   5 x . e 3 x d x   = - 1 5 e 3 x cos 5 x + 3 25   e 3 x   s e n   5 x

Depois é só desenvolver isso aí! No fim vai dar:

s e n   5 x . e 3 x d x   = - 5 34 e 3 x cos 5 x + 3 34   e 3 x   s e n   5 x + C

Curtiu essa rataria? ;)

Agora é só treinar muito com os exercícios! Vambora?

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Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5 6 7 8

Enunciado

Calcule a integral.

x 2 cos 3 x d x

Resolução

Enunciado

Calcule:

x arctg x 2 d x

Resolução

Enunciado

Calcule a Integral:

x 4 ln x 2 d x

Resolução

Enunciado

Calcule:

  sec 2 x ln cos x d x

Resolução

Enunciado

Calcule as seguintes integrais:

  ln ( x 2 + 4 x + 5 ) d x

Resolução

Enunciado

Resolva a integral:

e 2 x sen x   d x

Resolução

Enunciado

Resolva a integral:

e sen x cos sen x cos x d x

Resolução

Enunciado

Calcule a integral indicada, utilizando a técnica de integração por partes.

sen ( ln x ) d x

Resolução

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