Resumão Completo

Integrais Impróprias

Integrandos Descontínuos

Agora vamos ver mais um tipo de integral imprópria, que acontece quando a função que estamos integrando é descontínua.

Se f ( x ) é contínua em [ a , b ) e possui uma descontinuidade infinita em b :

a b f ( x ) d x = lim t b - a t f ( x ) d x

Se f ( x ) é contínua em ( a , b ] e possui uma descontinuidade infinita em a :

a b f ( x ) d x = lim t a + t b f ( x ) d x

Se f ( x ) tem uma descontinuidade infinita em c no meio do intervalo [ a , b ] e as integrais a c f ( x ) d x e c b f ( x ) d x forem convergentes, ou seja, derem como resultado um número, então:

a b f ( x ) d x = a c f ( x ) d x + c b f ( x ) d x = lim t c - a t f ( x ) d x + lim t c + t b f ( x ) d x

Os problemas de integrais impróprias com integrandos descontínuos podem parecer problemas de integrais definidas a princípio. Por isso, o primeiro passo é identificar se f ( x ) tem uma descontinuidade infinita no intervalo [ a , b ] .

Aí eu resolvo a integral, uso o Teorema Fundamental do Cálculo e calculo o limite. Olha só um exemplo camarada aqui:

0 2 1 x - 1 2 3 d x

O denominador se anula em x = 1 , então esse é um ponto de descontinuidade. E temos:

lim x 1 1 x - 1 2 3 = +

Observação: Por causa do expoente 2, o denominador sempre tende a zero por valores positivos. Consegue perceber?

Essa descontinuidade infinita ocorre entre os limites de integração dados, 0 e 2 .

Então vamos dividir o intervalo de integração em dois, assim ó:

0 2 1 x - 1 2 3 d x = 0 1 1 x - 1 2 3 d x + 1 2 1 x - 1 2 3 d x

Mas se eu colocar x = 1 ali direto vai dar ruim, por causa da descontinuidade. O que eu quero é o limite quando x é muito próximo de 1 , pela direita e pela esquerda. Deu pra acompanhar? Vamos fazer

lim t 1 - 0 t 1 x - 1 2 3 d x + l i m r 1 + r 2 1 x - 1 2 3 d x

A integral indefinida é

1 x - 1 2 3 d x = 3 x - 1 3 + C

Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo e aplicando os limites:

0 t 1 x - 1 2 3 d x =   3 t - 1 3 - 3 0 - 1 3 =   3 t - 1 3 - 3 - 1 3

lim t 1 - 0 t 1 x - 1 2 3 d x = l i m t 1 -   3 t - 1 3 - 3 - 1 3 = 0 + 3 = 3

A outra integral vai ser bem parecida:

r 2 1 x - 1 2 3 d x = 3 2 - 1 3 - 3 r - 1 3 =   3 1 3 - 3 r - 1 3

l i m r 1 + r 2 1 x - 1 2 3 d x = l i m r 1 + 3 1 3 - 3 r - 1 3 = 3 - 0 = 3

Juntando as duas:

lim t 1 - 0 t 1 x - 1 2 3 d x + l i m r 1 + r 2 1 x - 1 2 3 d x = 6

Como os dois limites existem, essa integral imprópria é convergente e podemos escrever:

0 2 1 x - 1 2 3 d x = 6

Deu pra pegar a ideia? Então agora é mão na massa!

Expandir

Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4

Enunciado

Calcule a integral:

1 2 x x 2 - 1 d x

Resolução

Enunciado

Diga se a integral converge ou diverge

- 1 1 e x e x - 1 d x

Resolução

Enunciado

Calcule as integrais abaixo.

0 1 ln x 2 d x

Resolução

Enunciado

Determine se as integrais abaixo são divergentes ou convergentes e calcule o valor daquelas que forem convergentes:

b   1 e d x x ln x 3

Resolução

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