Resumão Completo

Integrais Trigonométricas

Identidades Trigonométricas

Muitas integrais podem ser calculadas manipulando o integrando através de identidades trigonométricas, como:

sen 2 θ + cos 2 θ = 1

1 + tg 2 θ = sec 2 θ

1 + cotg 2 θ = cossec 2 θ

sen ( x ± y ) = sen x cos y ± sen y cos x

cos x ± y = cos x cos y sen x sen y

Tente gravar pelo menos essas que são as principais! A partir delas ainda dá pra achar outras identidades:

sen ( 2 x ) = 2 sen x cos x

cos 2 x = cos 2 x - sen 2 x = 2 cos 2 x - 1 = 1 - 2 sen 2 x

cos 2 x = 1 + cos 2 x 2

sen 2 x = 1 - cos 2 x 2

sen x cos y = 1 2 sen x + y + sen ( x - y )

cos x cos y = 1 2 cos x + y + cos x - y

sen x sen y = 1 2 [ cos x - y - cos x + y ]

Potências envolvendo seno e cosseno

Caso 1:

Por exemplo, na integral

sen 2 ( x ) cos 3 ( x ) d x

a potência do cosseno é ímpar. Vamos fazer o seguinte:

sen 2 ( x ) cos 2 x cos ( x ) d x = sen 2 ( x ) 1 - sen 2 ( x ) cos ( x ) d x

Agora lançamos a substituição:

u = sen x d u = cos x d x

Aí sobra uma integral tranquilinha de resolver:

u 2 1 - u 2 d u = u 2 - u 4 d u

Caso 2:

Vamos calcular a integral

sen 2 x cos 2 x d x

Usando a identidade:

1 - cos 2 x 2 1 + cos 2 x 2 d x = 1 4 1 - cos 2 2 x d x

Aplicando de novo pro cos ²   2 x , vai dar

1 4 1 - 1 2 - cos 4 x 2 d x

Agora é só utilizar uma substituição u = 4 x   e partir pro abraço!

Obs.: também dá pra usar a relação

sen x cos x = 1 2 sen 2 x

Potências envolvendo tangente e secante ou cotangente e cossecante

Caso 1:

Vejamos um exemplo:

tg 3 x sec 6 x d x

Temos que n é par e m é ímpar, então nesse caso vai dar até pra escolher entre as substituições u = tg x e u = sec x .

Calma, galera! Não há necessidade disso, vamos resolver das duas formas.

forma: u = t g x d u = sec ²   x d x

tg 3 x sec 6 x d x

= tg 3 x sec 4 x sec 2 x d x = tg 3 x 1 + tg 2 x 2 sec 2 x d x

= u 3 1 + u 2 2 d u = u 3 + 2 u 5 + u 7 d u

2ª forma: u = sec x d u = sec  x tg x d x

tg 3 x sec 6 x d x

= tg 2 x sec 5 x sec x tg x d x = sec 2 x - 1 sec 5 x sec x tg x d x

= u 2 - 1 u 5 d u = u 7 - u 5 d u

Caso 2:

Vamos calcular a seguinte integral:

tg 2 x sec 3 x d x

A ideia aqui é usar a identidade trigonométrica pra eliminar qualquer tangente da expressão, deixando somente as secantes. Então vamos escrever ela assim:

( sec 2 x - 1 ) sec 3 x d x = sec 5 x d x - sec 3 x d x

Depois disso, em vez de uma substituição faremos uma integração por partes, usando

d v = sec 2 x d x

Isso tudo que fizemos pra tangente/secante vale o mesmo pra dupla cotangente/cossecante. ;)

Integrais envolvendo produtos de seno e cosseno

Nesses casos, vamos usar as seguintes identidades:

sen ( x ) cos ( y ) = 1 2 sen ( x + y ) + sen x - y

cos ( x ) cos ( y ) = 1 2 cos x + y + cos x - y

sen ( x ) sen ( y ) = 1 2 [ cos x - y - cos x + y ]

Essas fórmulas são chatas de gravar, mas olha um exemplo de como isso facilita nossa vida:

sen ( 5 x ) cos 2 x d x = 1 2 sen ( 7 x ) + sen ( 3 x ) d x

Bem melhor, né?

Agora vem comigo ver uns exercícios! ;)

Expandir

Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5 6

Enunciado

Calcule a integral.

0 π 3 sen θ + sen θ tg 2 θ sec 2 θ d θ

Resolução

Enunciado

Calcule as seguintes integrais.

cos 5 ( e x ) sen 4 ( e x ) e x d x

Resolução

Enunciado

Calcule a integral:

t sec 2 t 2 tg 4 ( t 2 ) d t

Resolução

Enunciado

Calcule a integral do produto ou quociente de potenciais de funções trigonométricas.

tg 5 x sec 3 x d x

Resolução

Enunciado

Sabendo-se que m e n são números inteiros positivos, mostre que

- 1 1 cos ( n π x ) cos ( m π x ) d x = 0 ,     m n 1 ,     m = n

Resolução

Enunciado

Calcule a integral definida

0 π 4 d x 1 + 3 sec 2 x

Resolução

Videoaulas Curtinhas

Aulão de Integrais

Aulão de Integrais
Saia do zero para a aprovação em
3h05min

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas