Resumão Completo

O que é Integral?

A Integral como Área

Esse é um capítulo bem importante para entendermos o conceito de Integrais.

Basicamente, uma Integral representa o valor de uma área.

Tem algumas áreas que conseguimos fazer de boa, como essas aqui debaixo:

Agora, você não deve fazer ideia de como calcular a área disso:

Nesse caso, queremos calcular a área embaixo da função f x = x 2 entre x = 0,6 e x = 1,4 .

Podemos estimar a área A , calculando uma área aproximada, usando retângulos do seguinte modo:

Dá pra perceber que a soma das áreas dos retângulos é menor que a área azul A (repare nas sobras dos retângulos).

Podemos, com os retângulos, encontrar uma estimativa para cima (maior que A ), assim:

Agora, eu posso ver que a primeira estimativa é menor que o resultado certinho dessa área e a última é maior.

Agora, dá uma olhada nesses desenhos

Saca aqui: concorda que o espaço entre o gráfico e os retângulos diminui muito conforme eu aumento o número de retângulos? A ideia é que se eu colocar infinitos retângulos, eu terei exatamente a área A . Portanto, a soma dos n retângulos é denotada por S n e pelo que eu expliquei temos que:

A = lim n S n

A integral vai ter exatamente essa ideia: partir o eixo x em pedacinhos, traçar retângulos e somar a área desses retângulos. Conforme aumentamos o número de retângulos, nos aproximamos mais da área. Assim, escrevemos o seguinte

A = lim n S n = 0,6 1,4 x 2 d x

Onde S n é a soma daqueles retângulos, essa soma é a Soma de Riemann.

Estamos integrando x 2 de 0,6 à 1,4 , é isso que significa essa notação, o cara embaixo é o início do intervalo, nesse caso o 0,6 . O cara em cima é o final do intervalo, no caso 1,4 .

Notação

Vamos entender essa notação de integral de forma mais geral:

a b f ( x ) d x

f ( x ) é chamado de integrando que é a função que queremos a área

a é o limite inferior, que é onde começa o intervalo que queremos a área

b é o limite superior, que é onde termina o intervalo que queremos a área; d x mostra que estamos integrando na variável x (se fosse d t , por exemplo, estaríamos integrando em t ).

A Integral Definida resulta em um número, um valor. Essa integral acontece quando os limites de integração são números também, ou seja, na maioria dos casos.

Sinal da Integral

Esse é um pedaço tranquilo da matéria que pode se tornar problemático se não estiver bem batido. A integral representa, como já conversamos, uma área. Agora, ela é algo como uma área “negativa” se estiver abaixo do eixo x . Acompanha aqui:

As integrais podem ter valores positivos e negativos! Quando a função está abaixo do eixo x , a integral é negativa! Quando a função está acima do eixo x , a integral é positiva! Portanto, temos que ter cuidado se quisermos calcular áreas e não integrais. Por exemplo:

a c f ( x ) d x > 0 A rosa = a c f ( x ) d x

c b f ( x ) d x < 0 A azul = - c b f ( x ) d x

Repare:

a b f ( x ) d x = A rosa - A azul     e NÃO    A r o s a + A a z u l

Propriedades das Integrais

Existem algumas propriedades das integrais que são bastante importantes e é essencial que elas estejam no sangue, porque você vai ter que usá-las o tempo todo. Mas não se preocupe, são relações bem simples e, logo, logo, você estará usando sem nem sentir!

Propriedade 1:

Essa propriedade diz que a integral da soma ou subtração de funções é a soma ou subtração das integrais:

a b [ f x ± g x ] d x = a b f ( x ) d x ± a b g ( x ) d x

Por exemplo:

0 1 cos x + e x d x = 0 1 cos x d x + 0 1 e x d x

Propriedade 2: A integral de uma função vezes uma constante é igual à integral daquela função multiplicada pela constante.

a b   c   f x d x = c a b   f x d x ,   onde   c   é uma constante qualquer

Em outras palavras, a constante pode ser colocada “para fora” da integral. Olha aqui um exemplo disso

0 1 3 cos x d x = 3 0 1 cos x d x

Propriedade 3: Quando uma integral tem limites superior e inferior iguais seu resultado é nulo:

a a f x d x = 0

Propriedade 4:

A integral de uma função constante, f x = c é dada por:

a b c d x = c b - a ,     onde   c   é uma constante qualquer

Se c > 0, veja que a integral é a área A . Agora como essa área é um retângulo a gente vai ter que:

a b c d x = A = c ( b - a )

Se c

a b c d x = -   A = - c ( b - a )

Exemplo:

A = 2   . 3 = 6

Como f x = - 3 está abaixo do eixo x , temos:

2 4 - 3 d x = - A = - 6

Propriedade 5: Ao trocar os limites de integração inferior e superior, troco o sinal da integral:

a b f ( x ) d x = - b a f x d x

Por exemplo

0 1 cos x d x = - 1 0 cos x d x

Propriedade 6:

a b f ( x ) d x + b c f ( x ) d x = a c f ( x ) d x

Para se lembrar dessa propriedade, pensa na interpretação de integral como área:

A 1 + A 2 = A t o t a l

a b f x d x = A 1

b c f x d x = A 2

a c f x d x = A t o t a l

O mais importante é que essa propriedade não depende de que a, b e c estejam em ordem, isto é, não importa que c seja maior que b. Se b for maior que c, a propriedade continua valendo. Veja esse exemplo aqui:

0 1 cos x d x - 2 1 cos x d x = 0 1 cos x d x - - 1 2 cos x d x = 0 1 cos x d x + 1 2 cos x d x

0 1 cos x d x - 2 1 cos x d x = 0 2 cos x d x

Propriedade 7:

  S e   f x 0   para   a x b ,   então   a b f ( x ) d x 0

Se   f x 0   para   a x b ,   então   a b f x d x 0

Para lembrar dessa propriedade, também facilita lembrar da interpretação como área.

  • Se f x é sempre maior que zero no intervalo [ a , b ] , então a integral será sempre igual à área da região delimitada naquele intervalo. Lembre-se que área é sempre um número positivo!
  • Por outro lado, se f x é sempre menor que zero naquele intervalo, a integral será sempre igual ao simétrico da área delimitada naquele intervalo. Como a área é sempre um número positivo, então a integral será um número negativo!

Propriedade 8:

Se   f x g x   para   a x b ,   então   a b f ( x ) d x a b g ( x ) d x

Novamente, pensando na integral como área, se f x está sempre acima de g x no intervalo [ a , b ] , então a área delimitada pela função f ( x ) naquele intervalo será maior que aquela delimitada pela função g ( x ) no mesmo intervalo!

Propriedade 9:

Para chegar a essa propriedade, vou tirar um conceito lá do fundo do baú. Lá do Teorema do Valor Extremo, sabemos que toda função contínua em um intervalo fechado possui um máximo e um mínimo absolutos naquele intervalo fechado.

Então, se tivermos uma função f ( x ) num intervalo fechado [ a , b ] e sabendo que o mínimo absoluto dessa função é m e o máximo é M , olha só o que temos:

m f x M ,   p a r a   t o d o   a x b

Vou representar agora isso num gráfico, para pensarmos em integral novamente com a interpretação de área.

Observe que a área hachurada é igual a:

A = m ( b - a ) (área de retângulo)

Portanto sabendo que a integral de f x no intervalo [ a , b ] corresponde à área abaixo dela e que f ( x ) é sempre maior ou igual a m nesse intervalo, vê se não podemos escrever o seguinte:

a b f x   d x m   ( b - a )

Agora, da propriedade 8, sabemos que:

Se   g x f x   para   a x b ,   então   a b g ( x ) d x a b f ( x ) d x

Nesse caso, imaginemos g x como M :

M ( b - a ) a b f x

Juntando as duas coisas, teremos:

S e   m f x M ,   p a r a   t o d o   a x b   m   ( b - a ) a b f x M ( b - a )

Expandir

Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5

Enunciado

Considere o seguinte gráfico da função f

Sabendo que as áreas das regiões R 1 , R 2 , R 3 , R 4 e R 5 são:

A R 1 = 4 5 ,   A R 2 = 1 ,   A R 3 = 2 3 ,   A R 4 = 3 4   e   A R 5 = 5 6 .

Calcule:

- 1 0 f t d t

0 2 f t d t

0 3 f t d t

Resolução

Enunciado

Se - 2 2 3   f x d x = 12 , - 2 5 3   f ( x ) d x =   6 e - 2 5 3 g ( x ) d x = 2 , determine:

a )   - 2 2 f x d x

b )   2 5   f ( x ) d x

c )   5 - 2 g ( x ) d x

d )   - 2 5 ( - π   g x ) d x

e )   - 2 5 f x +   g x 5 d x

Resolução

Enunciado

Escreva como uma integral única na forma a b f x d x :

- 2 2 f ( x ) d x + 2 5 f ( x ) d x - - 2 - 1 f ( x ) d x

Resolução

Enunciado

Sabendo que f ( x ) , g ( x ) e h ( t ) são contínuas para todos os reais e sendo válidas as expressões abaixo:

- 1 3 f ( x ) d x = 17 2

- 1 2 f ( x ) d x = 1 2

3 2 g ( x ) d x = 4

h t = 2 t 2 + 7 t + 15 f ( x ) d x

Calcule:

a)

2 3 2 f x + 3 g x d x

b)

h ( - 3 )

Resolução

Enunciado

Use as propriedades das integrais para verificar a desigualdade sem calcular as integrais.

2 - 1 1 1 + x 2 d x 2 2

Resolução

Videoaulas Curtinhas

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Aulão de Integrais
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3h05min

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