Resumão Completo

Problemas de Valor Inicial

O que são Problemas de Valor Inicial?

Um problema de valor inicial está quase sempre na forma: d y d x = 2 x + 1 y 0 = 5

E pede a expressão de y . Ou seja, temos:

  • A expressão para derivada.
  • O valor da função num ponto.

E queremos a expressão da função.

Resolvendo um problema de valor inicial

Vamos resolver o problema de valor inicial, ou PVI, para os íntimos, que vimos agora a pouco:

d y d x = 2 x + 1 y 0 = 5

Queremos y x , e temos sua derivada: d y d x = y ' x = 2 x + 1

Pra achar y x , temos que fazer a operação inversa da derivação, ou seja, integrar!

Primeiramente, vamos deixar cada infinitesimal num lado da equação:

d y d x = 2 x + 1 d y = 2 x + 1 d x

Agora, aplicamos a integral em cada lado:

d y = 2 x + 1 d x d y = 2 x + 1 d x

Vamos ver cada integral separadamente. A da esquerda vai dar: d y = 1 d y = y + C 1

Nada de esquecer a constante hein!!

E a integral da direita é: 2 x + 1 d x = x 2 + x + C 2

Substituindo: y + C 1 = x 2 + x + C 2

Isolando y : y = x 2 + x + C 2 - C 1

Para ficar mais elegante, podemos chamar C 2 - C 1 de C :

y x = x 2 + x + C

Veja que já temos uma expressão geral para y . Para chegar no resultado final, usamos a segunda informação do problema: o valor inicial:

y 0 = 5

Nesse ponto, temos:

y 0 = 0 2 + 0 + C = 5

C = 5

Substituindo, ficamos com: y x = x 2 + x + 5

Ou seja, o valor de y num ponto serve justamente para identificar o valor constante para a expressão encontrada que satisfaça as condições do problema.

Legal? Vamos para os exercícios para fixar bem isso!

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Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5

Enunciado

Resolva o problema de valor inicial: d y d x = x 2 x 2 + 1 y 0 = 1

Resolução

Enunciado

Resolva o problema de valor inicial:

f ' x = 1 - sen 2 x sen 2 x f π 2 = 0

Resolução

Enunciado

Um tanque com água está enchendo a uma taxa de:

d V d t = 2 5 e - 5 t

Em litros/minuto. Determine a expressão do volume de água no tanque se V 0 = 5 litros.

Resolução

Enunciado

Em um tanque CSTR, uma reação de segunda ordem ocorre segundo a lei

- d C A d t = k C A C B

Sendo A e B substratos dessa reação. Sabe-se que k é uma constante de reação e que C A se relacionam com a conversão de A da seguinte forma:

C A = C A 0 1 - X A

C B = C A 0 1 - X A

Onde C A 0 é a concentração inicial de A e X A é a conversão de A . Ache uma expressão para X A t sabendo que X A 0 = 0,8

Resolução

Enunciado

Resolva o problema:

y ' = x sin x y + 1 y π 2 = 0

Resolução

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