Problemas de Valor Inicial
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Resumão Completo
Problemas de Valor Inicial
O que são Problemas de Valor Inicial?
Um problema de valor inicial está quase sempre na forma:
E pede a expressão de . Ou seja, temos:
- A expressão para derivada.
- O valor da função num ponto.
E queremos a expressão da função.
Resolvendo um problema de valor inicial
Vamos resolver o problema de valor inicial, ou PVI, para os íntimos, que vimos agora a pouco:
Queremos , e temos sua derivada:
Pra achar , temos que fazer a operação inversa da derivação, ou seja, integrar!
Primeiramente, vamos deixar cada infinitesimal num lado da equação:
Agora, aplicamos a integral em cada lado:
Vamos ver cada integral separadamente. A da esquerda vai dar:
Nada de esquecer a constante hein!!
E a integral da direita é:
Substituindo:
Isolando :
Para ficar mais elegante, podemos chamar de :
Veja que já temos uma expressão geral para . Para chegar no resultado final, usamos a segunda informação do problema: o valor inicial:
Nesse ponto, temos:
Substituindo, ficamos com:
Ou seja, o valor de num ponto serve justamente para identificar o valor constante para a expressão encontrada que satisfaça as condições do problema.
Legal? Vamos para os exercícios para fixar bem isso!
Exercícios Passo a Passo
Enunciado
Resolva o problema de valor inicial:
Resolução
Enunciado
Resolva o problema de valor inicial:
Resolução
Enunciado
Um tanque com água está enchendo a uma taxa de:
Em litros/minuto. Determine a expressão do volume de água no tanque se litros.
Resolução
Enunciado
Em um tanque CSTR, uma reação de segunda ordem ocorre segundo a lei
Sendo e substratos dessa reação. Sabe-se que é uma constante de reação e que se relacionam com a conversão de da seguinte forma:
Onde é a concentração inicial de e é a conversão de . Ache uma expressão para sabendo que
Resolução
Enunciado
Resolva o problema:
Resolução
Videoaulas Curtinhas
Aulão de Integrais

3h05min