Resumão Completo

Substituição Simples

Já vimos que, pra calcular integrais, precisamos conhecer as primitivas das funções. Mas e se eu te lanço essa integral daqui, como calcula??

x 2 5 + x 3 d x

Complicou né Jackie? Mas relaxa que é aí que entra a linda e maravilhosa substituição simples!

Basta seguir o passo-a-passo:

Passo 1. Identificar dentro da integral uma parte que é derivada da outra ou só se diferencia de sua derivada por constantes.

5 + x 3 ' = 3 x 2

é diferente de outra parte da integral ( x 2 ) , pelo 3 que vem multiplicando antes. Esse é um bom indício de que é válido usar a substituição simples!

Passo 2. Mudança de variável: chamar a parte a ser derivada de u .

u = 5 + x 3

Passo 3. Achar a diferencial d u .

d u = 3 x 2 d x

Passo 4. Manipular a expressão de d u para ficar igualzinha a alguma parte da integral.

x 2 d x = 1 3 d u

Passo 5. Substituir as partes em x por suas correspondentes em u .

x 2 5 + x 3 d x 1 3 u d u

Passo 6. Verificar se não sobrou x na integral! Se não sobrou, parabéns! Se sobrou, você errou na substituição, volte atrás!

Nesse caso mandamos bem, não sobrou x nenhum.

Passo 7. Resolver a integral em u normalmente.

1 3 u d u = 1 3 2 3 . u 3 2 + C = 2 9 u 3 + C

Passo 8. Substituir u por sua correspondente em x (“DES-Substituir!”)

2 9 u 3 + C = 2 9 5 + x 3 3 + C

Pronto! Integral devidamente resolvida! ;)

Existem várias possibilidades para o método da substituição simples: o que você vai chamar de u pode ser:

  • Argumento de uma função trigonométrica
  • A própria função trigonométrica
  • Função exponencial ou o argumento dela
  • Função logarítmica ou o argumento dela
  • Etc.

O importante é identificar um termo que seja derivado de outro a menos de uma constante!

Por exemplo, nessa integral:

cos ( x 5 ) 5 x 4 d x

Tá na cara que 5 x 4 é a derivada de x 5 , né? Então o u vai ser ele mesmo:

u = x 5 d u = 5 x 4 d x

Depois é só resolver que nem fizemos agora a pouco!

Vejamos outra:

e cos x + 2 sen x d x

Nessa vamos fazer

u = cos x + 2 d u = - sen x d x

sen x d x = - d u

Como calcular Integrais Definidas pelo método da substituição?

Voltando pro exemplo que vimos no começo, agora fazendo a integral definida:

0 1 x 2 5 + x 3 d x

Tem dois jeitos:

Jeito 1: Calcular a integral indefinida e depois usar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Vimos que

x 2 5 + x 3 d x = 2 9 5 + x 3 3 + C

Então

0 1 x 2 5 + x 3 d x = 2 9 5 + x 3 3 0 1 = 2 9 6 3 - 2 9 5 3

Jeito 2: Já calcular direto do u , sem voltar pro x .

Só temos que adaptar os limites de integração, de acordo com a nossa substituição!

Os limites de integração são 0 e 1 , e temos u = 5 + x 3 :

x = 0 u = 5 + 0 3 = 5

x = 1 u = 5 + 1 3 = 6

Daí a integral fica:

0 1 x 2 5 + x 3 d x = 5 6 1 3 u d u

Resolvendo:

5 6 1 3 u d u = 2 9 u 3 5 6 = 2 9 6 3 - 2 9 5 3

Perceba que pelos dois jeitos encontramos o mesmo resultado!

Então partiu exercícios!

Expandir

Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5

Enunciado

Calcule as integrais:

cos π x x 2 d x

Resolução

Enunciado

Calcule as integrais abaixo:

e 3 a r c t g t t 2 + 1 d t

Resolução

Enunciado

Calcule as seguintes integrais:

0 1 ln x 2 + 2 x + 1 x + 1 d x

Resolução

Enunciado

Resolva a integral definida

1 e d x x 9 - ln 2 x

Resolução

Enunciado

Determine o valor de R tal que

1 R d x x 3 + x = 1

Resolução

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