Resumão Completo

Substituição Trigonométrica

Já vimos aquele milhões de integrais, com substituição, partes e tudo mais. Ai, na hora da prova você pega e encontra essa integral

1 x x 2 + 9 d x

Tem uma raiz, com x no denominador, não surge nenhuma substituição na cabeça, não rola LIATE. O que fazer? Chorar?

RELAAAAAAAAXA... vamos usar substituição trigonométrica, ela vai salvar nossas vidas.

Quando usar substituição trigonométrica?

Naquele exemplo da integral

1 x x 2 + 9 d x

Apareceu x 2 + a 2 , aquele a 2 é o 9 .

a 2 = 9 a = ± 3

Em substituição trigonométrica, precisamos ignorar esse negativo. Vamos sempre pegar o positivo.

Esse a é sempre um número.

Então, se tivéssemos

x 2 - 9 a 2 = 9 a = 3

4 - x 2 a 2 = 4 a = 2

x 2 - 2 a 2 = 2 a = 2

Beleza, estamos em SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA. Isso quer dizer que vamos fazer uma SUBSTITUIÇÃO, e ela é uma função TRIGONOMÉTRICA.

A questão é saber qual substituição fazer. Em cada caso, vamos usar uma substituição diferente.

Usando a substituição trigonométrica

Vamos voltar para o nosso exemplo

1 x x 2 + 9 d x

Passo 1: Identificamos qual caso.

Aqui temos o primeiro caso: x 2 + a 2 , já vimos que a = 3 . Vamos fazer

x = a tg θ x = 3 tg θ

Passo 2: Achamos d x , derivando o x

Agora, precisamos achar d x , é só derivar o x

d x = 3 sec 2 θ d θ

Passo 3: Substituir o x e d x na integral dada.

Primeiro, vamos olhar a substituição só na raiz

x 2 + 9 3 tg θ 2 + 9 = 9 tg 2 θ + 9 = 9 tg 2 θ + 1

Usando

tg 2 θ + 1 = sec 2 θ

9 tg 2 θ + 1 = 9 sec 2 θ = 3 sec θ

Repara que sumiu a raiz ne? Esse tipo de integração serve exatamente para tirar essa raiz, então fica atento: Se a raiz não sumir, errei conta.

1 x x 2 + 9 d x 3 sec 2 θ d θ 3 tg θ . 3 tg θ 2 + 9 = 3 sec 2 θ d θ 3 tg θ . 3 sec θ = sec θ 3   tg θ   d θ

Arrumando isso

= 1 3 1 c o s θ s e n θ c o s θ = 1 3 1 s e n θ d θ =   1 3 c o s s e c θ d θ

Passo 4: Resolver a integral na variável θ .

Aqui é só resolver a integral mesmo xD

1 3 c o s s e c θ d θ = 1 3 ln cossec θ - cotg θ + C

Passo 5: Usar o triângulo retângulo para converter o θ na variável inicial.

Não interessa chegar à resposta em função θ , precisamos achar em x porque era a variável que eu tinha lá no início. Como fazemos isso? E agora?

Usamos

x = 3 tg θ

Então

tg θ = x 3

Olhando o triângulo retângulo:

É só usar as relações trigonométricas

sen θ = C a t e t o   O p o s t o H i p o t e n u s a

cos θ = C a t e t o   A d j a c e n t e H i p o t e n u s a

tg θ = C a t e t o   O p o s t o C a t e t o   A d j a c e n t e

tg θ = C a t e t o   O p o s t o C a t e t o   A d j a c e n t e = x 3

O cateto oposto vai ser x e o cateto adjacente vai ser 3 . O nosso triângulo vai ficar

Cara, mas e aquela bendita Hipotenusa? Pitágoras.

H i p o t e n u s a = x 2 + 9

Aqui, sempre vai faltar um lado, para achar esse bendito basta fazer um Pitágoras.

O triângulo do nosso exemplo é

Queremos escrever

1 3 ln cossec θ - cotg θ + C

Com x . Aqui, vamos ter

cotg θ = 1 tg θ = 1 x / 3 = 3 x

E

cossec θ = 1 sen θ = 1 x / x 2 + 9 = x 2 + 9 x

Voltando agora para x

1 3 ln x 2 + 9 x - 3 x   + C

O passo a passo é sempre esse:

Passo 1: Identificamos qual caso.

Passo 2: Achamos d x

Passo 3: Substituir o x e d x na integral dada.

Passo 4: Resolver a integral na variável θ .

Passo 5: Usar o triângulo retângulo para converter o θ na variável inicial.

Ufa...

Agora chega de papo e mãos-a-obra!!

Expandir

Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5

Enunciado

Calcule as seguintes integrais indefinidas:

a x 5 3 + x 2 d x

Resolução

Enunciado

Calcule a integral abaixo

8 x - x 2 d x

Resolução

Enunciado

Resolva a integral definida:

- 2 / 5 - 6 / 5 d y | y | 5 y 2 - 3

Resolução

Enunciado

Calcule a integral

d x e x 1 - e - 2 x

Resolução

Enunciado

Calcule as seguintes integrais:

a   x ln x x 2 - 1 d x

Resolução

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3h05min

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