Resumão Completo

Teorema Fundamental do Cálculo

O Teorema Fundamental do Cálculo é super importante (afinal ele é o teorema “fundamental” do Cálculo todo!).

A primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo diz o seguinte:

Se f t é uma função contínua em [ a , b ] e

g x = a x f ( t ) d t                 a x b

Então g ( x ) também é contínua no intervalo [ a , b ] e:

g ' x = f x ,     n o   i n t e r v a l o   [ a , b ]

Parece grego? Calma, olha essa função g x :

g   x = 1 x e t 2 d t

A função dentro da integral, que é exponencial, é contínua. Logo, eu posso utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo para achar sua derivada.

Vamos comparar com a integral do teorema.

Aqui

f t = e t 2

Aplicando o teorema, a g ' x vai ser

g ' x = f x

Agora, é só trocar o t por x na f :

g ' x = f x = e x 2

Se liga que não importa o limite inferior, pode ser qualquer constante.

E se aparecer uma função no limite de integração?

Vamos agora derivar

h   x = 1 sen x e t 2   d t

Aqui temos aquele sen x ao invés de x . Como fazemos agora?

Vamos chamar aquela função de u x = sen x

h   x = 1 u x   e t 2   d t

Se considerarmos a integral,

g x = 1 x e t 2 d t

Temos

h x = g u x

Derivando isso, usando a regra da cadeia temos

h ' x = g ' u x u ' x

Pelo teorema,

g ' x = e x 2

g ' u x = e sen 2 x

E

u ' x = cos x

Ou seja:

h ' x = e sen 2 x cos x

Tranquilo? De forma geral é só fazer:

h x = a u ( x ) f ( t ) d t  

h ' x = f u x   u ' ( x )  

E se aparecerem DUAS funções nos limites de integração?

Você pode se deparar com alguma função do tipo

f x = e x 2 x ( ln t 2 ) d t

Observe que os dois limites de integração são funções de x . Então vamos dividir a integral da seguinte forma:

f x = e x 2 x ( ln t 2 ) d t = e x C ln t 2 d t + C 2 x ( ln t 2 ) d t

Onde C é uma constante qualquer.

O problema é que na primeira integral o limite superior que é uma constante. Pra corrigir isso vamos malandramente aplicar aquela propriedade da integral de inverter os limites de integração:

e x C ln t 2 d t = - C e x ln t 2 d t

Então a função vai ficar:

f x = e x 2 x ( ln t 2 ) d t = - C e x ln t 2 d t +   C 2 x ( ln t 2 ) d t

Depois é só resolver como vimos lá em cima! Show?

Regra de L’Hospital

Cara, pode parecer bruxaria, mas muitas vezes o professor pede para calcular esse limite aqui:

lim x 0 1 x 0 sen x e t 2   d t

Antes de chamar o chapolin, deixa eu te ajudar!

A gente já viu uma propriedade da integral que diz o seguinte

a a f x d x = 0

Ou seja, se os limites forem iguais a integral vale zero! Como o seno de zero é zero, temos que o numerador será zero. Por coincidência (ou não xD), o denominador também será zero.

Momento reação bovina: hmmmm... Numerador e denominador indo para zero. O que isso te lembra?? Isso mesmo, regra de L’Hospital!

Então, vamos ter que derivar em cima e embaixo. Ai que vem o nosso truque novo: como deriva a integral? Do jeitinho que te ensinei ali em cima.

Então vamos ficar com

lim x 0 0 sen x e t 2   d t x = lim x 0 0 sen x e t 2   d t ' ( x ) ' = lim x 0 e sen x 2 cos x = 1  

Pronto! É só correr pro abraço e fazer umas questõezinhas para treinar, combinado?

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Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5 6 7

Enunciado

Calcular a derivada:

d 1 x 3 t 2 + 1 3 d t d x

Resolução

Enunciado

Seja

f x = x 2 1 1 + t 4 d t

É dado que

1 2 1 1 + t 4 d t = 0,2

  1. Determine f ' 1
  2. Ache a área do triangulo limitado pelos eixos e pela reta tangente ao gráfico de f no ponto 1 , f 1 .

Resolução

Enunciado

Seja

F x = sen x cos x e 2 x + t 2 d t

Calcule F ' x e determine F ' π 4 .

Resolução

Enunciado

Considere a função

g x = 0 2 cos x 3 + sen t 2 d t

definida em R .

Seja

f x = 0 g ( x ) t 2 4 + t 4 d t

Calcule f ' π 2 .

Resolução

Enunciado

Calcule o limite:

lim x 0 0 x cos t 2008 d t x

Resolução

Enunciado

Calcule o seguinte limite:

lim x 0 0 x 3 e t 3 d t 0 x 2 e 2 t 2 d t

Resolução

Enunciado

Calcule os seguintes limites:

b   lim x 0 0 sen x 3 x e t 2 d t cos x 1 e t 2 d t

Resolução

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3h05min

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