Resumão Completo

O que é Limite?

Afinal, o que é um limite? Mais especificamente, o que é isso?

lim x 3 x 2 = ?

É mais intuitivo do que pode parecer. À medida que o   x se aproxima de   3 , pra qual valor você acha que o x 2   vai se aproximar?

x = 2 x 2 = 4

x = 2,5 x 2 = 6,25

x = 2,999 x 2 = 8,994001

Bom, tá parecendo que ele se aproxima de 9 , certo? Parabéns, você calculou o seu primeiro limite! O limite é o valor do qual a função se aproxima quando sua variável tende a um valor. Vamos aproveitar para já introduzir um pouco de notação. Por exemplo:

lim x 3 x 2 = ?

É lido assim: limite de   x 2   com (ou para) x   tendendo a   3 .

Aliás, 3 2 é justamente igual a 9 . Dá vontade de simplesmente substituir o   3 ali no lugar do   x , não é? Pois é isso mesmo que devemos fazer! Neste caso,

lim x 3 x 2 = 3 2 = 9

Em TODAS as questões dessa matéria de limites a primeira coisa que você deve fazer é substituir o valor da variável na função.

Propriedades Básicas do Limite.

Vou te mostrar umas propriedades de limites para facilitar sua vida. Enunciamos aí as principais propriedades:

lim x a c = c

lim x a c f x = c lim x a f x

lim x a f x ± g x = lim x a f x ± lim x a g x

lim x a f x g x = lim x a f x   .   lim x a g x

lim x a f x g x = lim x a f x lim x a g x

Apenas para f contínua, teremos:

lim x a f g x = f lim x a g x

Mas o que são funções contínuas? Relaxe, você não precisa saber exatamente o que elas são agora, pois temos um capítulo inteiro só pra isso. Por enquanto, lembre-se que você pode usar a propriedade anterior em funções como:

  • Raízes:
  • lim x a x 3 = lim x a x 3 = a 3

  • Exponenciais:
  • lim x a e 4 x = e lim x a 4 x = e 4 a

  • Funções trigonométricas:
  • lim x a sen x 2 = sen lim x a x 2 = sen a 2

  • Funções logarítmicas:

lim x a ln x 3 = ln lim x a x 3 = ln a 3

Indeterminações

Utilizar essas regras só se torna um problema quando elas não forem válidas, ou seja, quando tivermos indeterminações. Agora, que diabos são essas indeterminações?

Existem vários tipos de indeterminações, dentre as quais as mais comuns são:

  • 0 0
  • 0
  • 0 0
  • 0
  • 1
  • -

Quando chegamos numa indeterminação, isto significa que a propriedade, neste caso, não é válida! Resultado: temos que voltar do ponto inicial e manipular a função para chegar em algo que seja válido aplicar as propriedades, conforme veremos nos exercícios.

Operando com ±

Recorrentemente, você terá que aplicar limites de funções com x tendendo a + ou - . Isso pode dar uma complicada em determinado momento. Você pode pensar que tudo cairá em indeterminação, o que nem sempre é verdade. Por isso, separamos um guia para você entender como se substitui e faz “contas” com o . Sendo C uma constante:

C ± = 0  

  0 C = 0  

± C = ±

OBS: Nesse terceiro termo do caso 1, você deve olhar para o sinal do infinito e do C para determinar o sinal do "infinito" resultante.

Temos também que:

2   e + =     ;   e - = 0

3 ± 0 = ±

4 sen ± n ã o   e x i s t e     ;   cos ± = n ã o   e x i s t e

5   + n = +     ;   - n = + ,     s e   n   é   p a r - ,     s e   n   é   í m p a r

6 ln + = +

7 arctg + = π 2     ;   arctg - = - π 2

Esses cobrem todos os casos possíveis. Tá bem? Então tá bem. HAHAHA. VAMOS PARA OS EXERCÍCIOS AGORA!

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Limites Laterais

Limites Laterais

Imagine:

f x = x 2 ,     x < 0 e x ,     x 0

Veja o que acontece com a função próximo do ponto x = 0 :

Se você tentar aproximar o   x a zero, vamos ter um probleminha. Você pode ver que a função tem tendências diferentes naquele ponto. Pela esquerda, é o x 2 . Pela direita, e x . Daí surge uma pergunta: queremos aproximar por onde? Pela esquerda ou pela direita?

Aí surge a notação dos limites laterais. Se aproximarmos   x para um número   a por valores maiores que a , ou seja, pela direita, estamos tendendo a   a + . Aí usamos a notação com o “ + ”.

lim x a + f x = lim x 0 + e x = e 0 = 1

Da mesma forma, se aproximarmos   x de um número   a por valores menores que a , ou seja, pela esquerda, estamos tendendo a   a - . A usamos a notação com “ - ”.

lim x a - f x = lim x 0 - x 2 = 0 2 = 0

Voltando ao desenho do gráfico, você vai perceber que a tendência do limite quando observarmos pela direita é ir para 1 . Essa tendência pela esquerda será a de ir para 0 .

Agora vai para os exercícios praticar!

Existência do Limite

No exemplo anterior, vimos que os limites laterais não batem!

lim x a + f x = lim x 0 + e x = e 0 = 1

lim x a - f x = lim x 0 - x 2 = 0 2 = 0

Bom, mas se os limites laterais são diferentes, como no exemplo anterior, o que acontece com o limite mesmo, em questão?

lim x 0 f x = ( ? ? ? )

Nesse caso, o limite não existe! Mas, por que?

Existem duas regras que o limite deve seguir para existir:

1 Limites laterais não podem explodir para ± .

2 Limites laterais devem possuir o mesmo valor.

Apenas quando os limites seguem essas duas condições, podemos afirmar que existem.

No exemplo inicial, os limites laterais não explodem para ± , respeitando a primeira condição. Porém, eles não convergem para o mesmo valor:

lim x 0 + f x = 1

lim x 0 - f x = 0

Logo o limite não vai existir! De maneira geral, um limite existe se:

lim x a + g x = lim x a - g ( x )

lim x a g x   ±

EXERCÍCIOS, EXERCÍCIOS, EXERCÍCIOS!

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Como sair de indeterminações?

Veja que:

lim x 2 x 3 - 8 x 2 - 5 x + 6 = 2 3 - 8 2 2 - 5 2 + 6 = 0 0

Como obtemos uma indeterminação 0 / 0 , não podemos usar as propriedades. Então como resolver o limite?

Como o 2 zerou o numerador e o denominador, ele é a raíz dos dois polinômios. Para tirar o termo que zera, vamos dividir em cima e embaixo por ( x - 2 ) , ou seja, x - n ú m e r o   q u e   z e r a .

Para isso, é bom conhecer sobre métodos de divisão/fatoração polinomial. Se você já sabe, pode pular essa parte.

Fatoração de polinômios

  • Fatoração de polinômio do 2 º grau por Bhaskara:
  • x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a ,   y = a x 2 + b x + c

    OBS: É bom lembrar que ao abrir um polinômio do segundo grau ( a x 2 + b x + c ) , com x 1 e x 2 sendo raízes, colocamos ele como a x - x 1 x - x 2 . Não esquece desse a aí quando ele for diferente de 1 !

  • Produtos notáveis:
  • x 2 - b 2 = x - b x + b

    x 3 - b 3 = x - b ( x 2 + x b + b 2 )

    x 3 + b 3 = x + b x 2 - x b + b 2

    x 2 ± 2 x b + b 2 = x ± b 2

  • Briot-Ruffini:

Imagine que temos:

lim x 3 2 x 4 - 3 x 3 - 17 x - 30 x - 3 = 2 3 4 - 3 3 3 - 17 3 - 30 x - 3 = 0 / 0  

Para sair dessa indeterminação, dividimos numerador por denominador usando Briot-Ruffini:

Passo 1: Arme o quadro:

Escreva num quadro, como abaixo, os coeficientes do polinômio que se quer dividir alinhados do lado direito superior. A raiz do polinômio que dividimos deve estar do lado esquerdo superior. Já o primeiro coeficiente, do maior grau do polinômio, fica do lado direito inferior, logo abaixo de onde o escreveu em cima:

OBS.: Repare que colocamos um 0 ali ocupando o espaço do grau x 2 . Para qualquer grau entre o grau máximo e o grau 0 que tenha coeficiente nulo no polinômio, você precisa sempre escrever um 0 no lugar do seu coeficiente.

Passo 2: Multiplique e some:

Multiplique a raiz pelo primeiro coeficiente, que você reescreveu embaixo ainda no passo 1, e some-o com o próximo coeficiente (nesse caso, 2 . 3 + - 3 = 3 ). Escreva o resultado embaixo do segundo coeficiente:

Passo 3: Repita:

Passo 4: Junte:

Escreva o resultado com os coeficientes ordenados, sendo o primeiro que aparece na direita inferior aquele que acompanha x elevado a n - 1 e assim por diante até o penúltimo, que será o termo independente de x , uma constante! O último termo é o resto da divisão:

Logo, podemos escrever:

l i m x 3 2 x 4 - 3 x 3 - 17 x - 30 x - 3 = l i m x 3 2 x 3 + 3 x 2 + 9 x + 10 = 2 3 3 + 3 3 2 + 3 3 + 10 = 118

Caso com módulo

Agora que você conhece como fazer a fatoração de termos polinomiais. Como fica se no limite aparecer um módulo?

lim x 3 x 2 - 7 x + 12 x - 3

Substituindo esse valor (pra variar...) teremos uma indeterminação 0 0 . Agora a questão é fatorar esse cara de cima. Usando Bhaskara, a gente chega ao seguinte:

lim x 3 x 2 - 7 x + 12 x - 3 = lim x 3 x - 3 x - 4 x - 3

Ok, mas e esse módulo aí? Por definição, ele é dado assim:

| x - 3 | = - ( x - 3 ) ,     x < 3 ( x - 3 ) ,     x 3

Então vamos dividir a análise lateralmente também! Para valores maiores que 3 será:

lim x 3 + x - 3 x - 4 ( x - 3 ) = lim x 3 + x - 4 = 3 - 4 = - 1

Para os valores menores que 3 , por sua vez:

lim x 3 - x - 3 x - 4 - ( x - 3 ) = lim x 3 + - x - 4 = - 3 - 4 = 1

E, enfim, a gente vê que os limites laterais não batem e portanto o limite:

lim x 3 x 2 - 7 x + 12 x - 3

não existe!

Agora vamos aos exercícios!

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Teorema do Confronto / Sanduíche

Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche)

Então, temos mais um limite para você:

lim x + sen x x  

Como que se calcula isso? Para tal, pense num sandubão maneiro. O recheio tem que estar sempre entre um pão e outro, certo? Assim, quanto mais próximo um pão do outro, menor a quantidade recheio entre eles.

Vamos botar matemática no meio para não dar muita fome e deixar isso mais claro. Imagine, então, que você quer calcular o limite de h ( x ) (será nosso recheio) para x a e você sabe que:

f x h x g x

Ou seja, h x está entre f x e g x (os pães). Agora, você poderia jogar o limite em tudo, assim:

lim x a f x lim x a h x lim x a g x

Se, por acaso, tivermos que:

lim x a f x = lim x a g x = L

Então,

lim x a h x = L

Pois h x está entre as duas outras funções. Esse teorema é muito útil principalmente quando trabalhamos com seno e cosseno e eles não existem no limite, como é o caso do primeiro exemplo.

Agora, vamos tentar resolvê-lo. Você sabe que o seno é limitado, por definição, da seguinte maneira:

- 1 sen x 1

Isso vale para qualquer valor de x . Se multiplicarmos por 1 / x e aplicarmos o limite ficaria assim::

- 1 x sen x x 1 x lim x + - 1 x l i m x + sen x x lim x + 1 x

0 l i m x + sen x x 0

Com isso, segue que:

lim x + sen x x = 0

Teorema do confronto sem trigonométricas

Nem sempre o teorema do confronto aparece com funções trigonométricas, como em:

lim x f x x

Se f x é limitada entre esses valores :

2 f x 5

Então:

lim x 2 x lim x f x x lim x 5 x 0 lim x f x x 0

Logo, pelo teorema do confronto:

lim x f x x = 0

Então a dica é: Veja se há alguma função no limite que está limitada, aplique as inequações e manipule até chegar no limite desejado.

Vamos fixar? Vem para os exercícios!

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Limites Fundamentais

Limites fundamentais trigonométricos

Segure essa:

lim x 0 tg x x

POW! Como resolver esse limite? Para tal, vamos usar o limite fundamental trigonométrico:

lim x 0 sen x x = 1

Esse limite costuma aparecer em indeterminações 0 / 0 ou em 0 , de uma forma mais “escondida” algebricamente. Então, o detalhe é que nem sempre ele vai estar claro para ser substituído e o desafio da questão é justamente achar o limite fundamental escondido.

No nosso exemplo, veja que:

tg x = sen x cos x

Assim, podemos substituir:

lim x 0 tg x x = lim x 0 sen x x cos x = lim x 0 sen x x lim x 0 1 cos x

Repare que, com isso, apareceu o limite fundamental trigonométrico. Agora é só substituir e partir para o abraço:

lim x 0 sen x x lim x 0 1 cos x = 1 1 cos 0 = 1

Limites fundamentais e propriedades trigonométricas

Nem sempre poderemos resolver um limite com uma propriedade trigonométrica tão tranquila quanto essa. Em alguns momentos, será necessário usar outras relações, como:

sen 2 θ + cos 2 θ = 1

1 + tg 2 θ = sec 2 θ

1 + cotg 2 θ = cossec 2 θ

sen ( x ± y ) = sen x cos y ± sen y cos x

cos x ± y = cos x cos y sen x sen y

sen ( 2 x ) = 2 sen x cos x

cos 2 x = cos 2 x - sen 2 x = 2 cos 2 x - 1 = 1 - 2 sen 2 x

cos 2 x = 1 + cos 2 x 2

sen 2 x = 1 - cos 2 x 2

Além disso, podemos precisar multiplicar pelo conjundo para usá-la, como em:

lim x 0 1 - cos x x = lim x 0 1 - cos x x 1 + cos x 1 + cos x

= lim x 0 1 - cos 2 x x 1 + cos x = lim x 0 sen 2 x x 1 + cos x

Separamos o seno de x sobre x do resto do limite:

lim x 0 sen 2 x x 1 + cos x = lim x 0 sen x x lim x 0 sen x 1 + cos x = = 1 0 1 + 1 = 0

Agora, para aprender toda essas manipulações. Todas, de verdade! É só ir nos exercícios. Vá lá praticar!

Limite com substituição

Por conta da sua recorrência, nós apresentamos a você o limite fundamental trigonométrico. Acontece, porém, que eles nem sempre vem com a cara que você espera. Originalmente ele tinha essa cara:

lim u 0 sen u u = 1

Entretanto, existe uma penca de questões em que os limites precisam ser adaptados ao seu formato original para podermos substituí-los de primeira. Confere o exemplo.

Ex:

lim x 0 sen 3 x x

Nesse caso, para fugir da indeterminação precisamos substituir o termo dentro do seno por u . Fazendo isso, teríamos u = 3 x , sendo o termo embaixo x , que ficará agora valendo u 3 . Quando x 0 , temos:

u = 3 x   ; x 0

u 3 0 = 0

Vemos que u vai tender a 0 , bem como o x . Assim,

lim x 0 sen 3 x x = lim u 0 sen u u 3

= lim u 0 3 sen u u = 3 lim u 0 sen u u

A partir daí, podemos substituir o valor de primeira no Limite Fundamental Trigonométrico:

3 lim u 0 sen u u = 3 1 = 3

Esse seria o nosso resultado.

O importante aqui é você entender como manipulá-lo: chame algum dos termos de uma variável auxiliar u . Aplique essa substituição para todos os termos que aparecem com a variável anterior (ou seja, transforme tudo, sem excessão, de x para u ) e no valor da tendência. Por fim, chegue ao formato original do Limite Fundamental Trigonométrico.

Vai exercitar agora!

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Continuidade

Continuidade

O conceito da continuidade não é difícil: visualmente, uma função é contínua quando ela não é feita de pedacinhos, ou seja, ela é (como a palavra sugere) uma linha só, sem nenhuma interrupção.

Uma ponte importante com o assunto de limites laterais é a definição matemática da continuidade. Uma função é contínua num ponto x = a quando:

lim x a f ( x ) = f ( a )

Ou seja, olhando para o domínio todo, se a tendência dela é igual ao seu valor em todos os pontos, ela é dita contínua em todo seu domínio (ou seja, para todo a ). Faz sentido, não? Mas para começar a falar em continuidade, precisamos que o limite da f ( x ) exista! E quando isto acontece? Quando os limites laterais são iguais:

lim x a + f ( x ) = lim x a - f ( x )

Agora, se os limites laterais são iguais, a função será necessariamente contínua? Olhe esse exemplo aqui:

f x = x 2 ,       x 3 10 ,       x = 3

Pois é. Esta função tem o valor 10 quando x = 3 , mas é igual à função x 2 em todo o resto da reta real. O gráfico dessa função é assim:

lim x 3 x 2 = 9

Mas f 3 = 10 .

Portanto, a função f é descontínua no ponto em que x = 3 , pois a função não está tendendo para o seu valor.

Resolvendo questões

Vão aparecer para você dois tipos principais de questões sobre continuidade:

1 Questão perguntando se a função é contínua em um certo ponto:

Para resolver esse primeiro tipo, basta que você aplique a condição de continuidade no ponto determinado (digamos, no ponto x = a ), ou seja:

lim x a + f ( x ) = lim x a - f ( x ) = f a

2 Questão perguntando se a função é contínua em todo domínio.

f x = x 2 ,     x 0 x ,     x > 0

Nesse caso, para que a função seja contínua em todo o domínio, temos que garantir que a função é contínua em x < 0 , x > 0 e em x = 0 . Ou seja, precisamos analisar a continuidade de x 2 em x < 0 e de x em x > 0

Existem funções que são sempre contínuas em seus domínios, ou seja, você não precisa fazer a análise para esses casos. Essas funções são:

  1. Polinômios, para todo R .
  2. Funções raízes, para x 0 em raízes pares x 2 ,   x 4 ;   e todo R para impares.
  3. Funções seno e cosseno, para todo R .
  4. Funções Trigonométricas Inversas, como a r c s e n ,   a r c t g , etc. Para todo R .
  5. Funções exponenciais, para todo R .
  6. Funções logarítmicas, para todo x > 0 .
  7. Funções com razão de polinômios, exceto nos pontos onde o denominador zera.

Como x 2 e x são contínuas, como vimos. Resta testar para x = 0 , aí é só ver se:

lim x 0 + f ( x ) = lim x 0 - f ( x ) = f 0

Se for verdade, então será contínua. Nesse caso, isso é verdade e a função será contínua.

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Teorema do Valor Intermediário

Teorema do Valor Intermediário (Para raízes de uma função)

Tente, com apenas uma linha, conectar os pontos da figura sem passar por y = 0 , ou seja, sem passar pelo eixo x , lembrando que o eixo x vai de menos a mais infinito.

Você pode quebrar a cabeça, mas esse problema não tem solução: a reta necessariamente vai cruzar o eixo x .

O Teorema do valor Intermediário nos faz concluir exatamente isso!

Ele diz que se uma função contínua troca de sinal num certo intervalo, ela tem ao menos uma raiz real naquele intervalo. Repare no desenho, o ponto de cima tem y com sinal positivo e o ponto de baixo tem y negativo. Não tem como cruzar sem passar pelo eixo x , aonde teríamos uma raiz.

Então vamos aplicá-lo na prática, provando que f x = x 2 - 1 tem ao menos uma raiz real no intervalo [ 0 ,   2 ] :

Como f 0 = - 1 e f 2 = 3 , a função trocou de sinal, logo, pelo teorema do Valor Intermediário, TVI para os íntimos, existe ao menos uma raiz real no intervalo [ 0 ,   2 ] .

Simples assim? Sim, as questões desse Teorema costumam ser indolores.

Teorema do Valor Intermediário (Caso geral).

De maneira geral, o TVI serve para provar que a função passa por qualquer ponto N , desde que exista pontos menores que N e maiores que N e a função seja contínua no intervalo formado por eles.

Assim sendo, o TVI é definido por:

“Suponha que f seja contínua em um intervalo fechado [ a ,   b ] e seja N um número qualquer entre f ( a ) e f ( b ) , em que f ( a ) f ( b ) . Então existe um número c em ( a ,   b ) tal que f c = N . "

Teorema do Valor Intermediário (Para raízes de uma equação)

Imagine que eu te perguntasse se essa equação tem solução:

ln x = x 2

Por onde você começaria?

Observa comigo aqui, veja se você concorda que pedir essa igualdade é a mesma coisa que pedir isso:

ln x = x 2 ln x - x 2 = 0

Ora, chamando f x essa função auxiliar, ln x - x 2 , podemos usar o TVI para verificar sobre a existência de raízes dela. Isso é a mesma coisa que procurar pontos onde as funções são iguais!

Ou seja, se você achar dois pontos em que f x mude seu sinal nós já garantimos que haverá pelo menos uma solução para essa igualdade inicial!

Temos várias questões com essa cara, vai dar uma conferida nos exercícios!

Show? Exercícios agora!

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Assíntotas

Existem funções que geram efeitos interessantes: os efeitos das assíntotas verticais e assíntotas horizontais. Se você não sabe, assíntotas são retas fixas das quais temos a função principal se aproximando, mas nunca tocando.

Assíntotas verticais

Esses troços tem um formato parecido com esse aqui:

Nesse caso, temos a função f ( x ) = 1 / ( x - 1 ) . Essa função não pode assumir o valor x = 1 , pois teríamos 1 / 0 nesse ponto.

Se aplicarmos os limites laterais, veremos que:

lim x 1 - 1 x - 1 = - lim x 1 + 1 x - 1 =

Beleza? Isso mostra que em x = 1 existe uma Assíntota vertical!

Assim, teremos assíntotas verticais, quando a função explode lateralmente para ± (se explodir por um ou pelos dois lados, será assíntota vertical mesmo assim), ou seja, valores proibidos de x .

As assíntotas verticais ocorrem em pontos que não pertencem ao domínio da função. Então quando a questão te perguntar onde há assíntotas, teste o limite nesses pontos!

Assíntotas horizontais

Veja que:

lim x + 7 x 2 + 2 + 1 = 1 lim x - 7 x 2 + 2 + 1 = 1

Os limites para x tendendo a mais ou menos infinito existem! Ou seja, não explodem para mais ou menos infinito e sim têm a um número finito, nesse caso, 1 . Assim, dizemos que há uma assíntota horizontal em:

y = 1

Repare que a função está se aproximando, sem nunca tocar, da reta y = 1 nos extremos:

Assim, para acharmos assíntotas horizontais, testamos dois limites: um para x indo para mais e outro para x indo para menos infinito. Se um ou os dois limites derem um valor finito, teremos assíntota horizontal.

Não é necessário que os dois limites deem iguais a uma constante, só é preciso que um deles dê. Se os dois limites derem constantes diferentes, teremos duas assíntotas, uma em cada constante.

Sacou? Partiu fazer uns exercícios?

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Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

Enunciado

Avalie o seguinte limite:

lim x 1 2 x 2 e x

Resolução

Enunciado

Suponha lim x - 2 p x = 4   ,   lim x - 2 r x = 0   e   lim x - 2 s x = - 3   . Determine:

a lim x - 2 p x + r x + s x

b lim x - 2 p x . r x . s x

c lim x - 2 - 4 p x + 5 r x s x

Resolução

Enunciado

Calcule o limite:

lim x 1 x 3 x + x 2 cos π x . e x 2 + ln x

Resolução

Enunciado

Calcule os limites:

lim x - 1 2 x + 3 arctg 5 x + lim x + e - x ln 1 x

Resolução

Enunciado

Se lim x 0 f x x 2 = 1 , determine:

a lim x 0 f x

b lim x 0 f x x

Resolução

Enunciado

Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x - ( x n - x n - 1 )  

Obs: considere n N

Resolução

Enunciado

Calcule os seguintes limites laterais:

lim x 6 + 3 x - 6                                         lim x 6 - 3 x - 6

Resolução

Enunciado

Resolva o seguinte limite:

lim x - π 2 - sec x  

Resolução

Enunciado

Calcule os limites laterais de f x = g x s e n x em x = 0 , se g x = c o s x + 3   ,       x < 0 x ² - 9                       ,           x 0 .

Resolução

Enunciado

Considere a função f definida pelo gráfico abaixo.

Determine o lim x a f x para a = 0,1 , 2,3 , 4 se existir

Resolução

Enunciado

Esboce o gráfico da função a seguir e use-o para determinar os valores de   a para os quais

lim x a f ( x )

existe:

f x = 2 - x x < - 1 x - 1 x 1 x - 1 2 x > 1

Resolução

Enunciado

Calcule o limite ou prove que não existe:

lim x 3 2 2 x - 3 2 x - 3

Resolução

Enunciado

Dado as duas funções abaixo:

Calcule os limites laterais dados abaixo e verifique se o limite existe, comparando os limites laterais:

a lim x 4 + f ( x ) , lim x 4 - f ( x ) , onde: f x = h x . g ( x )

b   lim x 4 + f ( x ) , lim x 4 - f ( x ) , onde: f x = h g ( x )

Resolução

Enunciado

Resolva o limite:

lim x 5 x 2 - 25 x - 5

Resolução

Enunciado

Calcule o limite abaixo usando as propriedades operatórias:

lim y - 2 y 3 + 8 y + 2

Resolução

Enunciado

Calcule o limite:

lim x - 4 x 2 + 8 x + 16 x + 4

Resolução

Enunciado

Calcule o limite:

lim y - 3 y 2 - 9 2 y 2 + 7 y + 3

Resolução

Enunciado

Calcule o limite:

lim x 1 3 3 x 3 - 25 x 2 + 44 x - 12 - 3 x 2 + 7 x - 2

Resolução

Enunciado

Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x 1 x 100 - 2 x + 1 x 50 - 2 x + 1  

Resolução

Enunciado

Calcule o limite:

lim x 0 x 2 sen 1 x 1 3  

Resolução

Enunciado

Resolva o limite:

lim x + sen x 2 + ln 5 x x + 2 x - 4

Resolução

Enunciado

Use as propriedades de limite para calcular

lim x + x 3 x + sen x 2 x 2 - 5 x sen x + 1

Resolução

Enunciado

Considere uma função y = f x satisfazendo

f x - 7 x 2 + 5 x x + 2 x 2 + 16 1 x 2

Para todo x 0 . Calcule, para essa função,

lim x - f x   e   lim x + f x

Resolução

Enunciado

Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x 0 + c o s 1 x s e n x + 1 - 1 x  

Resolução

Enunciado

Calcule:

lim x 0 e x 2 tg x e x x

Resolução

Enunciado

Calcule o limite, caso exista.

lim x 0 sec x - 1 x

Resolução

Enunciado

Calcule o limite, caso exista.

lim x 0 3 + sen 2 x - 3 - tg x