Resumão Completo

Continuidade

Continuidade

O conceito da continuidade não é difícil: visualmente, uma função é contínua quando ela não é feita de pedacinhos, ou seja, ela é (como a palavra sugere) uma linha só, sem nenhuma interrupção.

Uma ponte importante com o assunto de limites laterais é a definição matemática da continuidade. Uma função é contínua num ponto x = a quando:

lim x a f ( x ) = f ( a )

Ou seja, olhando para o domínio todo, se a tendência dela é igual ao seu valor em todos os pontos, ela é dita contínua em todo seu domínio (ou seja, para todo a ). Faz sentido, não? Mas para começar a falar em continuidade, precisamos que o limite da f ( x ) exista! E quando isto acontece? Quando os limites laterais são iguais:

lim x a + f ( x ) = lim x a - f ( x )

Agora, se os limites laterais são iguais, a função será necessariamente contínua? Olhe esse exemplo aqui:

f x = x 2 ,       x 3 10 ,       x = 3

Pois é. Esta função tem o valor 10 quando x = 3 , mas é igual à função x 2 em todo o resto da reta real. O gráfico dessa função é assim:

lim x 3 x 2 = 9

Mas f 3 = 10 .

Portanto, a função f é descontínua no ponto em que x = 3 , pois a função não está tendendo para o seu valor.

Resolvendo questões

Vão aparecer para você dois tipos principais de questões sobre continuidade:

1 Questão perguntando se a função é contínua em um certo ponto:

Para resolver esse primeiro tipo, basta que você aplique a condição de continuidade no ponto determinado (digamos, no ponto x = a ), ou seja:

lim x a + f ( x ) = lim x a - f ( x ) = f a

2 Questão perguntando se a função é contínua em todo domínio.

f x = x 2 ,     x 0 x ,     x > 0

Nesse caso, para que a função seja contínua em todo o domínio, temos que garantir que a função é contínua em x < 0 , x > 0 e em x = 0 . Ou seja, precisamos analisar a continuidade de x 2 em x < 0 e de x em x > 0

Existem funções que são sempre contínuas em seus domínios, ou seja, você não precisa fazer a análise para esses casos. Essas funções são:

  1. Polinômios, para todo R .
  2. Funções raízes, para x 0 em raízes pares x 2 ,   x 4 ;   e todo R para impares.
  3. Funções seno e cosseno, para todo R .
  4. Funções Trigonométricas Inversas, como a r c s e n ,   a r c t g , etc. Para todo R .
  5. Funções exponenciais, para todo R .
  6. Funções logarítmicas, para todo x > 0 .
  7. Funções com razão de polinômios, exceto nos pontos onde o denominador zera.

Como x 2 e x são contínuas, como vimos. Resta testar para x = 0 , aí é só ver se:

lim x 0 + f ( x ) = lim x 0 - f ( x ) = f 0

Se for verdade, então será contínua. Nesse caso, isso é verdade e a função será contínua.

Expandir

Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5

Enunciado

Determine as constantes A e B para que a função abaixo seja contínua em x 0 = 2 .

f x = x 3 - x 2 + x - 1 ,     x > 2 A ,     x = 2 B - x 2 ,     x < 2

Resolução

Enunciado

Verifique se a função é contínua no ponto indicado. Justifique a resposta.

f t = 1 - t 1 - t 3                       s e     t 1 3 / 2                                       s e   t = 1

Resolução

Enunciado

Calcule o valor das constantes a e b para que a função abaixo seja contínua em x = 0 .

f ( x ) = 1 x + 2 ,       s e   x < 0 a ,       s e   x = 0 sen ( b x ) x ,       s e   x > 0

Resolução

Enunciado

Calcule a constante A para que a função abaixo seja contínua:

f x = sen 1 x - x + x ,       x < 0 cos x - A ,       x 0

Resolução

Enunciado

Considere

f x = a 2 sen 4 x x   s e x < 0 b s e x = 0 b 2 + 1 - cos x x sen 1 x s e x > 0

Determine os pares ordenados a , b de forma que essa função seja contínua em x = 0 .

Resolução

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