Resumão Completo

Limites Fundamentais

Limites fundamentais trigonométricos

Segure essa:

lim x 0 tg x x

POW! Como resolver esse limite? Para tal, vamos usar o limite fundamental trigonométrico:

lim x 0 sen x x = 1

Esse limite costuma aparecer em indeterminações 0 / 0 ou em 0 , de uma forma mais “escondida” algebricamente. Então, o detalhe é que nem sempre ele vai estar claro para ser substituído e o desafio da questão é justamente achar o limite fundamental escondido.

No nosso exemplo, veja que:

tg x = sen x cos x

Assim, podemos substituir:

lim x 0 tg x x = lim x 0 sen x x cos x = lim x 0 sen x x lim x 0 1 cos x

Repare que, com isso, apareceu o limite fundamental trigonométrico. Agora é só substituir e partir para o abraço:

lim x 0 sen x x lim x 0 1 cos x = 1 1 cos 0 = 1

Limites fundamentais e propriedades trigonométricas

Nem sempre poderemos resolver um limite com uma propriedade trigonométrica tão tranquila quanto essa. Em alguns momentos, será necessário usar outras relações, como:

sen 2 θ + cos 2 θ = 1

1 + tg 2 θ = sec 2 θ

1 + cotg 2 θ = cossec 2 θ

sen ( x ± y ) = sen x cos y ± sen y cos x

cos x ± y = cos x cos y sen x sen y

sen ( 2 x ) = 2 sen x cos x

cos 2 x = cos 2 x - sen 2 x = 2 cos 2 x - 1 = 1 - 2 sen 2 x

cos 2 x = 1 + cos 2 x 2

sen 2 x = 1 - cos 2 x 2

Além disso, podemos precisar multiplicar pelo conjugado para usá-la, como em:

lim x 0 1 - cos x x = lim x 0 1 - cos x x 1 + cos x 1 + cos x

= lim x 0 1 - cos 2 x x 1 + cos x = lim x 0 sen 2 x x 1 + cos x

Separamos o seno de x sobre x do resto do limite:

lim x 0 sen 2 x x 1 + cos x = lim x 0 sen x x lim x 0 sen x 1 + cos x = 1 0 1 + 1 = 0

Agora, para aprender toda essas manipulações. Todas, de verdade! É só ir nos exercícios. Vá lá praticar!

Limite com substituição

Por conta da sua recorrência, nós apresentamos a você o limite fundamental trigonométrico. Acontece, porém, que eles nem sempre vem com a cara que você espera. Originalmente ele tinha essa cara:

lim u 0 sen u u = 1

Entretanto, existe uma penca de questões em que os limites precisam ser adaptados ao seu formato original para podermos substituí-los de primeira. Confere o exemplo.

Ex:

lim x 0 sen 3 x x

Nesse caso, para fugir da indeterminação precisamos substituir o termo dentro do seno por u . Fazendo isso, teríamos u = 3 x , sendo o termo embaixo x , que ficará agora valendo u 3 . Quando x 0 , temos:

u = 3 x   ; x 0

u 3 0 = 0

Vemos que u vai tender a 0 , bem como o x . Assim,

lim x 0 sen 3 x x = lim u 0 sen u u 3

= lim u 0 3 sen u u = 3 lim u 0 sen u u

A partir daí, podemos substituir o valor de primeira no Limite Fundamental Trigonométrico:

3 lim u 0 sen u u = 3 1 = 3

Esse seria o nosso resultado.

O importante aqui é você entender como manipulá-lo: chame algum dos termos de uma variável auxiliar u . Aplique essa substituição para todos os termos que aparecem com a variável anterior (ou seja, transforme tudo, sem excessão, de x para u ) e no valor da tendência. Por fim, chegue ao formato original do Limite Fundamental Trigonométrico.

Vai exercitar agora!

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Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Enunciado

Calcule:

lim x 0 e x 2 tg x e x x

Resolução

Enunciado

Calcule o limite, caso exista.

lim x 0 sec x - 1 x

Resolução

Enunciado

Calcule o limite, caso exista.

lim x 0 3 + sen 2 x - 3 - tg x x 5

Resolução

Enunciado

Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x 0 x 1 - cos 3 x sen 3 x

Resolução

Enunciado

Calcule cada limite, quando possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x π 2 sen cos x cos x

Resolução

Enunciado

Calcule o limite, caso exista.

lim x x sen 3 C x

Resolução

Enunciado

Calcule o limite abaixo. Justifique suas respostas.

lim x 3 sen x 2 - 2 x - 3 x 2 - 6 x + 9

Resolução

Enunciado

Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x 1 s e n ( π x ) 1 - x ²  

Resolução

Enunciado

Calcule:

lim x p sec x - sec p x - p

Resolução

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