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Limites Laterais

Limites Laterais

Imagine:

f x = x 2 ,     x < 0 e x ,     x 0

Veja o que acontece com a função próximo do ponto x = 0 :

Se você tentar aproximar o   x a zero, vamos ter um probleminha. Você pode ver que a função tem tendências diferentes naquele ponto. Pela esquerda, é o x 2 . Pela direita, e x . Daí surge uma pergunta: queremos aproximar por onde? Pela esquerda ou pela direita?

Aí surge a notação dos limites laterais. Se aproximarmos   x para um número   a por valores maiores que a , ou seja, pela direita, estamos tendendo a   a + . Aí usamos a notação com o “ + ”.

lim x a + f x = lim x 0 + e x = e 0 = 1

Da mesma forma, se aproximarmos   x de um número   a por valores menores que a , ou seja, pela esquerda, estamos tendendo a   a - . A usamos a notação com “ - ”.

lim x a - f x = lim x 0 - x 2 = 0 2 = 0

Voltando ao desenho do gráfico, você vai perceber que a tendência do limite quando observarmos pela direita é ir para 1 . Essa tendência pela esquerda será a de ir para 0 .

Agora vai para os exercícios praticar!

Existência do Limite

No exemplo anterior, vimos que os limites laterais não batem!

lim x a + f x = lim x 0 + e x = e 0 = 1

lim x a - f x = lim x 0 - x 2 = 0 2 = 0

Bom, mas se os limites laterais são diferentes, como no exemplo anterior, o que acontece com o limite mesmo, em questão?

lim x 0 f x = ( ? ? ? )

Nesse caso, o limite não existe! Mas, por que?

Existem duas regras que o limite deve seguir para existir:

1 Limites laterais não podem explodir para ± .

2 Limites laterais devem possuir o mesmo valor.

Apenas quando os limites seguem essas duas condições, podemos afirmar que existem.

No exemplo inicial, os limites laterais não explodem para ± , respeitando a primeira condição. Porém, eles não convergem para o mesmo valor:

lim x 0 + f x = 1

lim x 0 - f x = 0

Logo o limite não vai existir! De maneira geral, um limite existe se:

lim x a + g x = lim x a - g ( x )

lim x a g x   ±

EXERCÍCIOS, EXERCÍCIOS, EXERCÍCIOS!

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Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5 6 7

Enunciado

Calcule os seguintes limites laterais:

lim x 6 + 3 x - 6                                         lim x 6 - 3 x - 6

Resolução

Enunciado

Resolva o seguinte limite:

lim x - π 2 - sec x  

Resolução

Enunciado

Calcule os limites laterais de f x = g x s e n x em x = 0 , se g x = c o s x + 3   ,       x < 0 x ² - 9                       ,           x 0 .

Resolução

Enunciado

Considere a função f definida pelo gráfico abaixo.

Determine o lim x a f x para a = 0,1 , 2,3 , 4 se existir

Resolução

Enunciado

Esboce o gráfico da função a seguir e use-o para determinar os valores de   a para os quais

lim x a f ( x )

existe:

f x = 2 - x x < - 1 x - 1 x 1 x - 1 2 x > 1

Resolução

Enunciado

Calcule o limite ou prove que não existe:

lim x 3 2 2 x - 3 2 x - 3

Resolução

Enunciado

Dado as duas funções abaixo:

Calcule os limites laterais dados abaixo e verifique se o limite existe, comparando os limites laterais:

a lim x 4 + f ( x ) , lim x 4 - f ( x ) , onde: f x = h x . g ( x )

b   lim x 4 + f ( x ) , lim x 4 - f ( x ) , onde: f x = h g ( x )

Resolução

Videoaulas Curtinhas

Aulão de Limites

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