Resumão Completo

Teorema do Confronto / Sanduíche

Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche)

Então, temos mais um limite para você:

lim x + sen x x  

Como que se calcula isso? Para tal, pense num sandubão maneiro. O recheio tem que estar sempre entre um pão e outro, certo? Assim, quanto mais próximo um pão do outro, menor a quantidade recheio entre eles.

Vamos botar matemática no meio para não dar muita fome e deixar isso mais claro. Imagine, então, que você quer calcular o limite de h ( x ) (será nosso recheio) para x a e você sabe que:

f x h x g x

Ou seja, h x está entre f x e g x (os pães). Agora, você poderia jogar o limite em tudo, assim:

lim x a f x lim x a h x lim x a g x

Se, por acaso, tivermos que:

lim x a f x = lim x a g x = L

Então,

lim x a h x = L

Pois h x está entre as duas outras funções. Esse teorema é muito útil principalmente quando trabalhamos com seno e cosseno e eles não existem no limite, como é o caso do primeiro exemplo.

Agora, vamos tentar resolvê-lo. Você sabe que o seno é limitado, por definição, da seguinte maneira:

- 1 sen x 1

Isso vale para qualquer valor de x . Se multiplicarmos por 1 / x e aplicarmos o limite ficaria assim::

- 1 x sen x x 1 x lim x + - 1 x l i m x + sen x x lim x + 1 x

0 l i m x + sen x x 0

Com isso, segue que:

lim x + sen x x = 0

Teorema do confronto sem trigonométricas

Nem sempre o teorema do confronto aparece com funções trigonométricas, como em:

lim x f x x

Se f x é limitada entre esses valores :

2 f x 5

Então:

lim x 2 x lim x f x x lim x 5 x 0 lim x f x x 0

Logo, pelo teorema do confronto:

lim x f x x = 0

Então a dica é: Veja se há alguma função no limite que está limitada, aplique as inequações e manipule até chegar no limite desejado.

Vamos fixar? Vem para os exercícios!

Expandir

Exercícios Passo a Passo

1 2 3 4 5

Enunciado

Calcule o limite:

lim x 0 x 2 sen 1 x 1 3  

Resolução

Enunciado

Resolva o limite:

lim x + sen x 2 + ln 5 x x + 2 x - 4

Resolução

Enunciado

Use as propriedades de limite para calcular

lim x + x 3 x + sen x 2 x 2 - 5 x sen x + 1

Resolução

Enunciado

Considere uma função y = f x satisfazendo

f x - 7 x 2 + 5 x x + 2 x 2 + 16 1 x 2

Para todo x 0 . Calcule, para essa função,

lim x - f x   e   lim x + f x

Resolução

Enunciado

Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x 0 + c o s 1 x s e n x + 1 - 1 x  

Resolução

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