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Teorema do Valor Intermediário

Teorema do Valor Intermediário (Para raízes de uma função)

Tente, com apenas uma linha, conectar os pontos da figura sem passar por y = 0 , ou seja, sem passar pelo eixo x , lembrando que o eixo x vai de menos a mais infinito.

Você pode quebrar a cabeça, mas esse problema não tem solução: a reta necessariamente vai cruzar o eixo x .

O Teorema do valor Intermediário nos faz concluir exatamente isso!

Ele diz que se uma função contínua troca de sinal num certo intervalo, ela tem ao menos uma raiz real naquele intervalo. Repare no desenho, o ponto de cima tem y com sinal positivo e o ponto de baixo tem y negativo. Não tem como cruzar sem passar pelo eixo x , aonde teríamos uma raiz.

Então vamos aplicá-lo na prática, provando que f x = x 2 - 1 tem ao menos uma raiz real no intervalo [ 0 ,   2 ] :

Como f 0 = - 1 e f 2 = 3 , a função trocou de sinal, logo, pelo teorema do Valor Intermediário, TVI para os íntimos, existe ao menos uma raiz real no intervalo [ 0 ,   2 ] .

Simples assim? Sim, as questões desse Teorema costumam ser indolores.

Teorema do Valor Intermediário (Caso geral).

De maneira geral, o TVI serve para provar que a função passa por qualquer ponto N , desde que exista pontos menores que N e maiores que N e a função seja contínua no intervalo formado por eles.

Assim sendo, o TVI é definido por:

“Suponha que f seja contínua em um intervalo fechado [ a ,   b ] e seja N um número qualquer entre f ( a ) e f ( b ) , em que f ( a ) f ( b ) . Então existe um número c em ( a ,   b ) tal que f c = N . "

Teorema do Valor Intermediário (Para raízes de uma equação)

Imagine que eu te perguntasse se essa equação tem solução:

ln x = x 2

Por onde você começaria?

Observa comigo aqui, veja se você concorda que pedir essa igualdade é a mesma coisa que pedir isso:

ln x = x 2 ln x - x 2 = 0

Ora, chamando f x essa função auxiliar, ln x - x 2 , podemos usar o TVI para verificar sobre a existência de raízes dela. Isso é a mesma coisa que procurar pontos onde as funções são iguais!

Ou seja, se você achar dois pontos em que f x mude seu sinal nós já garantimos que haverá pelo menos uma solução para essa igualdade inicial!

Temos várias questões com essa cara, vai dar uma conferida nos exercícios!

Show? Exercícios agora!

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Exercícios Passo a Passo

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Enunciado

A partir dos gráficos abaixo, justifique, se para cada função:

  1. A tese do Teorema do Valor Intermediário é satisfeita.
  2. A hipótese Teorema do Valor Intermediário é satisfeita.

Obs: A tese pode ser interpretada como o “resultado” de um teorema. A hipótese pode ser interpretada como a “condição” para que o teorema funcione.

a):

b):

c):

Resolução

Enunciado

Determine um intervalo de amplitude 1, no qual está localizado pelo menos um zero dessa função.

f x = 1 + x c o s π x 2

Resolução

Enunciado

Mostre que a equação x 3 - 15 x + 1 = 0 possui três soluções no intervalo [ - 4 ; 4 ]

Resolução

Enunciado

Mostre que os gráficos de y = 1 e y = x 2 tg x têm interseção em pelo menos um ponto do intervalo - π 2 , π 2 .

Resolução

Enunciado

Seja f uma função contínua em ℝ tal que f 0 = 1 e f 2 = - 1 , e seja g x = x 2 + 3 x + 2 . A função composta h x = f g x possui duas raízes negativas distintas. Determine intervalos abertos disjuntos contendo cada uma dessas raízes.

Resolução

Enunciado

Faça o que se pede:

a ) Dê um exemplo de uma função tal que em dois pontos distintos x   =   a   e   x   =   b a função tem sinais contrários, f não é contínua no intervalo [ a ,   b ]   e a tese do Teorema do Valor Intermediário é verdadeira.

b )   Dê um exemplo de uma função tal que em dois pontos distintos x   =   a   e   x   =   b a função tem sinais contrários, f não é contínua no intervalo [ a ,   b ]   e a tese do Teorema do Valor Intermediário é falsa.

Resolução

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