Exercícios Resolvidos de Achar a Integral pela Soma de Riemann

Elaboração Própria

Dada a função

f x = x 2           0 x 2

Determine a soma de Riemann pela esquerda e pela direita usando 8 retângulos, e coloque em ordem crescente o valor calculado e o valor real da área.

Passo 1

Vamos começar fazendo a soma de Riemann pela esquerda, lembra como é sua fórmula que vimos na teoria?

S n e s q u e r d a = f x 0 Δ x +   f x 1 Δ x + f x 2 Δ x + f x 3 Δ x + + f x n Δ x

Onde

x i = a + i Δ x

Aqui começamos com i = 0 e terminando com i = n - 1 .

Com

Δ x = b - a n

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, vamos identificar cada uma dessas paradas. O número de retângulos é o valor de n , então

n = 8

Além disso temos os valores do intervalo então

a = 0

b = 2

Beleza já temos praticamente tudo que precisamos para a soma

S 8 e s q u e r d a = f x 0 Δ x +   f x 1 Δ x + f x 2 Δ x + f x 3 Δ x + + f x 7 Δ x

O valor de Δ x vai ser

Δ x = 2 - 0 8 = 1 4

Agora vamos achar os valores de x i

x 0 = a = 0

x 1 = a + 1 . Δ x = 0 + 1 4 = 1 4

x 2 = a + 2 . Δ x = 0 + 2 . 1 4 = 2 4 = 1 2

x 3 = a + 3 . Δ x = 0 + 3 . 1 4 = 3 4

x 4 = a + 4 . Δ x = 0 + 4 . 1 4 = 1

x 5 = a + 5 . Δ x = 0 + 5 . 1 4 = 5 4

x 6 = a + 6 . Δ x = 0 + 6 . 1 4 = 6 4 = 3 2

x 7 = a + 7 . Δ x = 0 + 7 1 4 = 7 4

Passo 3

A soma vai ficar

S 8 e s q u e r d a = 0 2 . 1 4 + 1 4 2 . 1 4 + 1 2 2 . 1 4 + 3 4 2 . 1 4 + 1 2 . 1 4 + 5 4 2 . 1 4 + 3 2 2 . 1 4 + 7 4 2 . 1 4

S 8 e s q u e r d a = 0 + 1 64 + 1 16 + 9 64 + 1 4 + 25 64 + 9 16 + 49 64

S 8 e s q u e r d a = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 64

S 8 e s q u e r d a = 140 64 = 35 16

Passo 4

Vamos agora para a soma pela direita

S n d i r e i t a =   f x 1 Δ x + f x 2 Δ x + f x 3 Δ x + + f x n Δ x

Onde

x i = a + i Δ x

Aqui começamos com i = 1 e terminando em i = n .

Passo 5

No caso da soma pela direita vamos ter x i levemente diferentes, vamos recalcular para você ver.

x 1 = a + 1 . Δ x = 0 + 1 4 = 1 4

x 2 = a + 2 . Δ x = 0 + 2 . 1 4 = 2 4 = 1 2

x 3 = a + 3 . Δ x = 0 + 3 . 1 4 = 3 4

x 4 = a + 4 . Δ x = 0 + 4 . 1 4 = 1

x 5 = a + 5 . Δ x = 0 + 5 . 1 4 = 5 4

x 6 = a + 6 . Δ x = 0 + 6 . 1 4 = 6 4 = 3 2

x 7 = a + 7 . Δ x = 0 + 7 1 4 = 7 4

x 8 = a + 8 . Δ x = 0 + 8 1 4 = 8 4 = 2

Repara que o x 0 não entra nessa conta e o x 8 que não tinha agora apareceu, essa é a grande diferença.

O primeiro cara sai e acrescentamos um novo último.

Passo 6

A soma vai ficar

S 8 d i r e i t a = 1 4 2 . 1 4 + 1 2 2 . 1 4 + 3 4 2 . 1 4 + 1 2 . 1 4 + 5 4 2 . 1 4 + 3 2 2 . 1 4 + 7 4 2 . 1 4 + 2 2 . 1 4

S 8 d i r e i t a = 1 64 + 1 16 + 9 64 + 1 4 + 25 64 + 9 16 + 49 64 + 1

S 8 d i r e i t a = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 64

S 8 d i r e i t a = 204 64 = 51 16

Passo 7

Ele quer agora comparar as duas contas que fizemos com o valor real da área, que seria a integral. Vamos chamar esse valor de A .

Como x 2 é crescente nesse intervalo vamos ter, como vimos na teoria, que

S 8 e s q u e r d a < A < S 8 d i r e i t a

Resposta

S 8 e s q u e r d a = 35 16

S 8 d i r e i t a = 51 16

S 8 e s q u e r d a < A < S 8 d i r e i t a

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