Exercícios Resolvidos de Achar a Integral pela Soma de Riemann

Elaboração Própria

Dada a função

f x = 1 x

Determine a soma de Riemann tanto pela esquerda quando pela direita no intervalo 1,5 .

Compare os dois valores encontrados.

Passo 1

Vamos começar fazendo a soma de Riemann pela esquerda, lembra como é sua fórmula que vimos na teoria?

S n e s q u e r d a = f x 0 Δ x +   f x 1 Δ x + f x 2 Δ x + f x 3 Δ x + + f x n - 1 Δ x

Podemos ver essa soma também como

S n e s q u e r d a = i = 0 n - 1 f x i Δ x

Onde

x i = a + i Δ x

Aqui começamos com i = 0 e terminando com i = n - 1 .

Com

Δ x = b - a n

Beleza, vamos identificar cada uma dessas paradas. Aqui ele não deu o número de retângulos, então vamos deixar como n mesmo.

Além disso temos os valores do intervalo então

a = 1

b = 5

Beleza já temos praticamente tudo que precisamos para a soma

O valor de Δ x vai ser

Δ x = 5 - 1 n = 4 n

Agora vamos achar os valores de x i

x i = a + i Δ x

x i = 1 + i . 4 n

A soma vai ficar

S n e s q u e r d a = i = 0 n - 1 f 1 + i . 4 n 4 n

Que vai ser

S n e s q u e r d a = i = 0 n - 1 1 1 + i . 4 n 4 n

Dando uma arrumada vamos ter

S n e s q u e r d a = i = 0 n - 1 n n + 4 i 4 n

S n e s q u e r d a = i = 0 n - 1 4 n + 4 i

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora para a soma pela direita

S n d i r e i t a =   f x 1 Δ x + f x 2 Δ x + f x 3 Δ x + + f x n Δ x

Podemos ver essa soma também como

S n d i r e i t a = i = 1 n f x i Δ x

Onde

x i = a + i Δ x

Aqui começamos com i = 1 e terminando em i = n .

O valor de x i não vai mudar, o que vai mudar é quais desses valores vamos pegar, nesse caso começando com x 1 e terminando com x n

O primeiro cara sai e acrescentamos um novo último.

A soma vai ficar

S n d i r e i t a = i = 1 n f 1 + i . 4 n 4 n

S n d i r e i t a = i = 1 n 1 1 + i . 4 n 4 n

Arrumando isso

S n d i r e i t a = i = 1 n 4 n + 4 i

Passo 3

Vamos agora compara os dois caras, vamos lembrar quem eles são

S n e s q u e r d a = i = 0 n - 1 4 n + 4 i

S n d i r e i t a = i = 1 n 4 n + 4 i

Repara que o termo geral é igual, mas um começa com i = 0 e termina em i = n - 1 e outro começa em i = 1 e termina em i = n

Vamos ver quem é maior que vem fazendo a subtração desses dois caras.

S n d i r e i t a - S n e s q u e r d a = i = 1 n 4 n + 4 i - i = 0 n - 1 4 n + 4 i

Bem, o termo geral é o mesmo, então para todos os valores de i = 1 até i = n - 1 o termo geral do primeiro somatório será igual ao do segundo, logo eles vão se anular. Sendo assim, só sobra o termo i = n do primeiro somatório e o termo i = 0 do segundo:

S n d i r e i t a - S n e s q u e r d a = 4 n + 4 n - 4 n + 4.0

S n d i r e i t a - S n e s q u e r d a = 4 5 n - 4 n

S n d i r e i t a - S n e s q u e r d a = 4 5 n - 20 5 n

S n d i r e i t a - S n e s q u e r d a = - 16 5 n

Isso nos diz que a soma pela esquerda é maior, o que faz todo sentido de acordo com o que já vimos na teoria, já que 1 x é uma função decrescente.

Resposta

S n e s q u e r d a = i = 0 n - 1 4 n + 4 i

S n d i r e i t a = i = 1 n 4 n + 4 i

S n e s q u e r d a - S n d i r e i t a = - 16 5 n

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