Enunciado

Achar a distância do ponto P ao plano π nos casos:

P 1 ,   1 ,   1                 π : x = 2 + 2 h + 3 t y = - 1 + h + t z = 2 - h

Passo 1

Antes de qualquer coisa, vamos encontrar a equação geral de π , pois vamos precisar dela pra encontrar a distância entre ele e o ponto P .

Para encontrar a equação geral de π , precisamos de um vetor normal e um ponto que ele contém. Da sua equação, temos que ele passa pelo ponto A = ( 2 ,   - 1 ,   2 ) e tem vetores diretores ( 2 ,   1 ,   - 1 ) e ( 3 ,   1 ,   0 ) .

Um vetor normal de π deve ser perpendicular a ele, então para encontrar esse vetor, podemos fazer o produto vetorial dos seus vetores diretores:

n → = ( 2 ,   1 ,   - 1 ) × ( 3 ,   1 ,   0 )

Então

n → = ( 1 ,   - 3 ,   - 1 )

Logo, o plano π tem uma equação geral no formato

1 x - 3 y - 1 z + d = 0

Agora é só encontrarmos d :D

Passo 2

Para encontrarmos d em 1 x - 3 y - 1 z + d = 0 , vamos substituir um ponto pertencente ao plano π , por exemplo, o ponto A = ( 2 ,   - 1 ,   2 ) , que sabemos que pertence a ele pela equação dada no enunciado. Então:

1 x - 3 y - 1 z + d = 0

1.2 - 3 . - 1 - 1.2 + d = 0

2 + 3 - 2 + d = 0

d = - 3

Logo, a equação geral de π é

π :   1 x - 3 y - 1 z - 3 = 0

Passo 3

Sabemos que a distância entre um ponto A = ( x ,   y ,   z ) e um plano π ' : a x + b y + c z + d = 0 é dada por

d A ,   π ' = a x + b y + c z + d a 2 + b 2 + c 2

No nosso caso, temos o ponto P ( 1 ,   1 ,   1 ) e o plano π : x - 3 y - z - 3 = 0 , logo, a distância entre eles vai ser

d P ,   π = 1.1 - 3 . 1 - 1.1 - 3 1 2 + - 3 2 + ( - 1 ) ²

d P ,   π = 6 11

Resposta

6 11

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