Enunciado

Em cada parte encontre a inversa da matriz 4 × 4 dada, em que k 1 , k 2 ,   k 3 ,   k 4 e k são todos não nulos.

k 0 0 0 1 k 0 0 0   1 k 0 0 0 1 k

Passo 1

Utilizando o método do Exemplo 4 desta seção, conhecido também como as operações elementares têm-se:

k 0 0 0 1 k 0 0 0   1 k 0 0 0 1 k 1 0 0 0 0 1 0 0 0   0 1 0 0 0 0 1     L 1 → L 1 k     ~

1 0 0 0 1 k 0 0 0   1 k 0 0 0 1 k 1 k 0 0 0 0 1 0 0 0   0 1 0 0 0 0 1   L 2 → L 2 - L 1 ~

1 0 0 0 0 k 0 0 0   1 k 0 0 0 1 k 1 / k 0 0 0 - 1 / k 1 0 0 0   0 1 0 0 0 0 1 L 2 → L 2 k   ~

1 0 0 0 0 1 0 0 0   1 k 0 0 0 1 k 1 / k 0 0 0 - 1 / k 2 1 / k 0 0 0   0 1 0 0 0 0 1   L 3 → L 3 - L 2 ~

1 0 0 0 0 1 0 0 0   0 k 0 0 0 1 k 1 / k 0 0 0 - 1 / k 2 1 / k 0 0 1 / k 2 - 1 / k 1 0 0 0 0 1   L 3 → L 3 k ~

1 0 0 0 0 1 0 0 0   0 1 0 0 0 1 k 1 / k 0 0 0 - 1 / k 2 1 / k 0 0 1 / k 3 - 1 / k 2 1 / k 0 0 0 0 1   L 4 → L 4 - L 3 ~

1 0 0 0 0 1 0 0 0   0 1 0 0 0 0 k 1 / k 0 0 0 - 1 / k 2 1 / k 0 0 1 / k 3 - 1 / k 2 1 / k 0 - 1 / k 3 1 / k 2 - 1 / k 1   L 4 → L 4 k ~

1 0 0 0 0 1 0 0 0   0 1 0 0 0 0 1 1 / k 0 0 0 - 1 / k 2 1 / k 0 0 1 / k 3 - 1 / k 2 1 / k 0 - 1 / k 4 1 / k 3 - 1 / k 2 1 / k

É importante ressaltar que, só conseguimos efetuar a operação L i / k i ,   porque no enunciado foi dado que k i ≠ 0 ,   i = 1,2 , 3,4 .  

Resposta

Logo, a inversa é dada por:

1 / k 0 0 0 - 1 / k 2 1 / k 0 0 1 / k 3 - 1 / k 2 1 / k 0 - 1 / k 4 1 / k 3 - 1 / k 2 1 / k .

Exercícios de Livros Relacionados

O semicírculo com diâmetro P Q está sobre um triangulo isósceles P Q R para formar uma região com um formato de sorvete, conforme mostra a figura. Se A ( θ ) for a área do semicírc...
46. Determine as forças no elemento G C da treliça e indique que se ele está sob tração ou compressão.
Calcule o centroide da área a seguir em termos das variáveis dos raios:
Considere o trilho de uma estrada de ferro reta e horizontal com um vagão ferroviário de 50000kg se deslocando ao longo da linha férrea a uma velocidade constante de 15m/s. Determi...
Uma correia feita de material isolante, com 50   c m de largura, se move a uma velocidade de 30   m / s . A carga que a correia transporta até um aparelho de laboratório correspond...
Se A for uma matriz m × n e se o sistema linear A x = b for consistente com qualquer vetor b em R m , o que pode ser dito sobre a imagem de T A : R n → R m ?
(Requer cálculo) Seja V o espaço vetorial das funções reais com derivadas continuas de todas as ordens no intervalo   - ∞ ,   ∞ e W = F ( - ∞ ,   ∞ ) o espaço vetorial de todas as ...
Calcule a integral. ∫ z 3 e z   d z
Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.
Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3
Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →