Enunciado

Calcular a distância entre as retas r e s nos seguintes casos:

b) r passa pelos pontos A = ( 1 ,   0 ,   1 ) e B = ( - 1 ,   - 1 ,   0 ) e s pelos pontos C = ( 0 ,   1 ,   - 2 ) e D = ( 1 ,   1 ,   1 ) .

Passo 1

Vamos começar encontrando a equação da reta r . Ela passa pelos pontos A = ( 1 ,   0 ,   1 ) e B = ( - 1 ,   - 1 ,   0 ) , então, um vetor diretor para ela é A B → :

A B → = B - A = ( - 2 ,   - 1 ,   - 1 )

Logo, podemos escrever a equação vetorial de r assim:

r : X = 1 ,   0 ,   1 + t . ( - 2 ,   - 1 ,   - 1 )

Agora vamos encontrar a equação da reta s . Seu vetor diretor será C D → :

C D → = D - C = ( 1 ,   0 ,   3 )

Então, a equação de s pode ser escrita assim:

s : X = 0 ,   1 ,   - 2 + t . ( 1 ,   0 ,   3 )

Passo 2

As retas r e s são reversas, pois seus vetores diretores não são paralelos e se calcularmos o determinante com linhas A B → ,   C D → ,   A C → = ( - 1 ,   1 ,   - 3 ) , esse determinante é diferente de 0 (lembrando que se fosse igual a 0, as retas seriam concorrentes)

Sendo as retas reversas, vamos usar a seguinte fórmula para calcular sua distância:

d r ,   s = | A B → ,   C D → ,   A C → | | A B → × C D → |

d r ,   s = 5 | ( - 3 ,   5 ,   1 ) |

d r ,   s = 5 9 + 25 + 1

d r ,   s = 5 35

Resposta

d r ,   s = 5 35

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